DNB – Polynésie – Septembre 2015

Polynésie – Septembre 2015

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1

  1. a. $4 \underset{+3}{\longrightarrow} 7 \underset{\text{carré}}{\longrightarrow}49 \underset{-4^2}{\longrightarrow}33$
    Elle obtient bien $33$ en partant de $4$.
    $\quad$
    b. $-5 \underset{+3}{\longrightarrow} -2 \underset{\text{carré}}{\longrightarrow}4\underset{-(-5)^2}{\longrightarrow}-21$
    Elle obtient $-21$ en partant de $-5$.
    $\quad$
  2. Soit $x$ un nombre quelconque.
    Avec le programme A : $(x+3)^2-x^2 = x^2+6x+9-x^2=6x+9$
    Avec le programme B : $x\times 6 + 9 = 6x+9$
    On obtient le même résultat avec les deux programmes de calcul.
    $\quad$
  3. On veut que $6x+9=54$ soit $6x=45$ et donc $x=\dfrac{45}{6}=7,5$.
    Il faut choisir $7,5$ pour obtenir $54$ avec ces programmes.
    $\quad$

Exercice 2

Affirmation 1 : on ne connait les longueurs d’aucun côté de ce triangle rectangle. Il est donc impossible de déterminer la mesure de l’angle $\widehat{ABC}$.
Affirmation fausse
$\quad$

Affirmation 2 : $3^2+2\times 3 -15 = 9 + 6-15 = 15-15=0$
Affirmation vraie
$\quad$

Affirmation 3 : $63,70 \times \left(1-\dfrac{30}{100}\right)=44,59 \neq 49$
Affirmation fausse
Remarque : on pouvait également calculer le prix initial : $\dfrac{49}{1-\dfrac{30}{100}}=70$
$\quad$

Affirmation 4 : probabilité d’obtenir une boule blanche :
Urne $1$ : $\dfrac{35}{35+65} = 0,35$
Urne $2$ : $\dfrac{19}{19+31} = 0,38>0,35$
Affirmation vraie
$\quad$

Exercice 3

  1. D’après le graphique, il faut que la pression des pneus de la sa voiture soit environ de $2,5$ bars.
    $\quad$
  2. On appelle $x$ la distance qui la sépare de Morlaix.
    On veut donc que $64-x=123-64$
    Soit $64-123+64=x$
    Donc $5=x$.
    Dans $5$ km, la distance qui la sépare de Morlaix sera la même que celle de Morlaix à Brest.
    $\quad$

Exercice 4

On résout le système $\begin{cases} 5T+2R=13,70\\\\T+R=4,3\end{cases}$

Par conséquent $\begin{cases} T=4,3-R\\\\5(4,3-R)+2R=13,70\end{cases}$

Soit $\begin{cases} T=4,3-R\\\\21,5-5R+2R=13,70\end{cases}$

Donc $\begin{cases} T=4,3-R\\\\-3R=-7,8\end{cases}$

D’où $\begin{cases} R= 2,6\\\\T=4,3-2,6\end{cases}$

Finalement une rose coûte $2,6$ euros et une tulipe $1,7$ euros.

$\quad$

Exercice 5

Partie 1 : La production de lait

  1. Aire du pâturage : $620\times 240+240^2 = 206~400$m$^2$ soit $20,64$ hectares.
    $20,64 \times 12 = 247,68$. Il peut donc posséder, au maximum, $247$ chèvres.
    $\quad$
  2. $1,8\times 247=444,6$. Il peut espérer produire, en moyenne, $444,6$ litres de lait par jour avec $247$ chèvres.
    $\quad$

Partie 2 : Le stockage du lait

Volume de la cuve B, dont le rayon est $R = 5$dm : $V=\pi \times 7,6 \times 5^2 =190\pi$ dm$^3$ $\approx 597$ litres.

La cube B possède donc un plus grand volume. C’est celle-ci qu’il va choisir.

$\quad$

Exercice 6

On va supposer que $\color{red}{EB = 360}$ cm pour pouvoir répondre à la question 1

  1. Dans le triangle $ABD$ rectangle en $B$, on applique le théorème de Pythagore :
    $$\begin{align*} ED^2&=EB^2+BD^2 \\\\
    &=360^2+270^2 \\\\
    &=202~500\\\\
    ED&=450
    \end{align*}$$
    Donc $ED=450$ cm
    $\quad$
  2. Dans les triangles $ABC$ et $EBD$ :
    – les droites $(AC)$ et $(ED)$ sont parallèles;
    – les points $E, A$ et $B$ et $B, C$ et $D$ sont alignés dans le même ordre.
    D’après le théorème de Thalès :
    $$\dfrac{BA}{BE}=\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{AC}{ED}$$
    Donc $\dfrac{BA}{360}=\dfrac{250}{270}=\dfrac{AC}{450}$
    Par conséquent $BA=\dfrac{250\times 360}{270} = \dfrac{1~000}{3}$ et $AC=\dfrac{450\times 250}{270} =\dfrac{1250}{3}$
    Ainsi $AC \approx 417$ cm et $AE = 360 – BA \approx 27$ cm.
    $\quad$

Exercice 7

  1. Si $V=130$ alors $D=\dfrac{5}{18} \times 130 + 0,006\times 130^2 \approx 137,5$ m.
    Le conducteur ne pourra pas s’arrêter à temps.
    $\quad$
  2. On a saisi $=5/18*A2+0,006*A2*A2$ ou $=5/18*A2+0,006*A2\text{^}2$.
    $\quad$
  3.  Si $V=50$ alors $D=29$ et si $V=100$ alors $D=88$.
    Or $88\neq 2\times 29$.
    Cette affirmation est fausse.
    $\quad$
  4. Avec cette méthode $D \approx 8^2 = 64$ qui est cohérent avec la vitesse fournie par le tableau.
    $\quad$