Exercice 1

1. On obtient successivement les nombres suivants :
   $-7 \underset{+2}{\longrightarrow} 5 \underset{\text{au carré}}{\longrightarrow} 25$On obtient donc le nombre $25$.
   $\quad$
2. On a :
   $\begin{align*} (2x-3)(4x+1)&=8x^2+2x-12x-3\\
   &=8x^2-10x-3\end{align*}$
   $\quad$
3. Dans les triangles $ABC$ et $CDE$ on a :
   – les droites $(AB)$ et $(ED)$ sont parallèles;
   – le point $C$ appartient à $[AD]$ à $[EB]$
   D’après le théorème de Thalès on a donc $\dfrac{CA}{CD}=\dfrac{CB}{CE}=\dfrac{AB}{ED}$
   Ainsi $\dfrac{3,5}{1}=\dfrac{CB}{1,5}$
   Par conséquent $CB=3,5\times 1,5$ soit $CB=5,25$ cm.
   $\quad$
4. Le nouveau prix est $22\times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)=18,7$ €.
   $\quad$
5. L’effectif total est $11+6+5+3+3+1+1=30$.
   La médiane est donc la moyenne de la $15\ieme$ et $16\ieme$ valeur, c’est-à-dire $\dfrac{1~400+1~400}{2}=1~400$.
   $\quad$
6. On a :
   $\begin{align*} 41~895&= 3\times 13~965\\
   &=3^2\times 4~655\\
   &=3^2\times 5\times 931 \\
   &=3^2\times 5\times 7\times 133\\
   &=3^2\times 5\times 7^2\times 19\end{align*}$
   Le plus grand nombre premier qui divise $41~895$ est $19$.
   $\quad$

Exercice 2

1. Le point de départ a pour coordonnées $(0;40)$.
   $\quad$
2. On répète $5$ fois l’instruction Rectangle.
   Le script principal dessine donc $5$ rectangles.
   $\quad$
3. On obtient la figure suivante :
   $\quad$
4. a. Il suffit d’intervertir les blocs “avancer de 40” et “avancer de 20” dans le bloc Rectangle.
   $\quad$
   b. On peut placer cette instruction après le bloc Rectangle.
   $\quad$

Exercice 3

Partie 1

1. Le triangle $EDC$ est rectangle isocèle en $D$.
   Par conséquent $\widehat{DEC}=\widehat{DCE}=45$°.
   $\quad$
2. Dans le triangle $EDC$ rectangle et isocèle en $D$ on applique le théorème de Pythagore.
   Donc $EC^2=DE^2+DC^2$
   Soit $5^2=DE^2+DE^2$
   Par conséquent $2DE^2=25$ soit $DE^2=12,5$.
   On déduit donc que $DE=\sqrt{12,5} \approx 3,5$.
   $\quad$
3. L’aire du triangle $EDC$ est $\dfrac{DE^2}{2}$ soit $\dfrac{12,5}{2}=6,25$ cm$^2$.
   L’aire du carré est $5^2=25$ cm$^2$.
   L’aire du motif est donc égale à $25+6,25=31,25$ cm$^2$ soit environ $31$ cm$^2$.
   $\quad$

Partie 2

a. La rotation de centre $B$ et d’angle $90$° dans le sens des aiguilles d’une montre.
$\quad$

b. La translation qui transforme $A$ en $K$.
$\quad$

c. La symétrie de centre $B$.
$\quad$

d. La symétrie d’axe $(GH)$ ou la rotation de centre $H$ d’angle $90$° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
$\quad$

Partie 3

1. On obtient la figure suivante$\quad$
2. On doit donc multiplier l’aire du motif initial par $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}$ pour obtenir l’aire du motif agrandi.
   $\quad$

Exercice 4

1. a. La probabilité que l’album choisi soit un album « Lucky-Luke » est $p_a=\dfrac{45}{365}=\dfrac{9}{73}$.
   $\quad$
   b. La probabilité que l’album choisi soit un comics est $p_b=\dfrac{35+90}{365}=\dfrac{25}{73}$.
   $\quad$
   c. La probabilité que l’album choisi ne soit pas un manga est $p_c=1-\dfrac{85+65}{365}=\dfrac{43}{73}$.
   $\quad$
2. a. $7$ albums portent le numéro $1$.
   La probabilité que l’album choisi porte le numéro $1$ est $p_1=\dfrac{7}{365}$
   $\quad$
   b. Seuls $4$ albums portent le numéro $40$.
   La probabilité que l’album choisi porte le numéro $40$ est $p_{40}=\dfrac{4}{365}$
   $\quad$

Exercice 5

1. La fonction $g$ est linéaire. Sa représentation graphique est donc une droite passant par l’origine du repère. Elle est par conséquent représentée par la droite $\left(d_1\right)$.
   Ainsi, la fonction $f$ est représentée par la droite $\left(d_2\right)$.
   $\quad$
2. $f(t)=g(t)$ revient à $4t+3=6t$ soit $3=2t$ et donc $t=1,5$.
   La solution de l’équation $f(t)=g(t)$ est $1,5$.
   Remarque : on pouvait également lire l’abscisse du point d’intersection des deux droites.
   $\quad$
3. Camille marche à la vitesse de $4$ km/h. Elle parcourt donc $1$ km par quart d’heure.
   Ainsi en $45$ min elle a parcouru $3$ km.
   Au moment du départ de Claude, Camille a déjà parcouru $3$ km.
   $\quad$
4. D’après la question précédente quand $t=0$ Camille a parcouru $3$ km.
   Après $t$ heure de marche elle a parcouru $4t$ km de plus soit $3+4t$.
   $\quad$
5. Après $t$ heure de marche, Claude a parcouru $6t$ km et Camille $4t+3$ km.
   D’après la question 2. Claude va rattraper Camille au bout d’une heure et demi.
   $\quad$

Exercice 1     22 points

Dans cet exercice, toutes les questions sont indépendantes

1. Quel nombre obtient-on avec le programme de calcul ci-dessous, si l’on choisit comme nombre de départ $-7$ ?
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   ~~\textbf{Programme de calcul}\\
   \text{Choisir un nombre de départ}\\
   \text{Ajouter $2$ au nombre de départ}\\
   \text{Élever au carré le résultat.}\\
   \hline\end{array}$$
   $\quad$
2. Développer et réduire l’expression $(2x-3)(4x + 1)$.
   $\quad$
3. Sur la figure ci-dessous, qui n’est pas à l’échelle, les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont parallèles. Les points $A$, $C$ et $D$ sont alignés.
   Les points $B$, $C$ et $E$ sont alignés.
   Calculer la longueur $CB$.
   $\quad$
4. Un article coûte $22$ €. Son prix baisse de $15\%$. Quel est son nouveau prix ?
   $\quad$
5. Les salaires mensuels des employés d’une entreprise sont présentés dans le tableau suivant.
   Déterminer le salaire médian et l’étendue des salaires dans cette entreprise.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \begin{array}{c} \text{Salaire mensuel}\\\text{(en euro)}\end{array}&1~300&1~400&1~500&1~900&2~000&2~700&3~500\\
   \hline
   \text{Effectif}&11&6&5&3&3&1&1\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
6. Quel est le plus grand nombre premier qui divise $41~895$ ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     15 points

On souhaite réaliser une frise composée de rectangles.
Pour cela, on a écrit le programme ci-dessous :

On rappelle que l’instruction « s’orienter à $90$ » consiste à s’orienter horizontalement vers la droite.

Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée.

1. Quelles sont les coordonnées du point de départ du tracé ?
   $\quad$
2. Combien de rectangles sont dessinés par le script principal ?
   $\quad$
3. Dessiner à main levée la figure obtenue avec le script principal.
   $\quad$
4. a. Sans modifier le script principal, on a obtenu la figure ci-dessous composée de rectangles de longueur $40$ pixels et de largeur $20$ pixels. Proposer une modification du bloc « rectangle » permettant d’obtenir cette figure.

   
   $\quad$
   b. Où peut-on alors ajouter l’instruction dans le script principal pour obtenir la figure ci-dessous ?

   
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     26 points

On considère le motif initial ci-dessous.

 

Il est composé d’un carré $ABCE$ de côté $5$ cm et d’un triangle $EDC$, rectangle et isocèle en $D$.

Partie 1

1. Donner, sans justification, les mesures des angles $\widehat{DEC}$ et $\widehat{DCE}$.
   $\quad$
2. Montrer que le côté $[DE]$ mesure environ $3,5$ cm au dixième de centimètre près.
   $\quad$
3. Calculer l’aire du motif initial. Donner une valeur approchée au centimètre carré près.
   $\quad$

Partie 2

On réalise un pavage du plan en partant du motif initial et en utilisant différentes transformations du plan.

 

Dans chacun des quatre cas suivants, donner sans justifier une transformation du plan qui permet de passer :

a. Du motif 1 au motif 2.
$\quad$
b. Du motif 1 au motif 3.
$\quad$
c. Du motif 1 au motif 4.
$\quad$
d. Du motif 2 au motif 3.
$\quad$

Partie 3

Suite à un agrandissement de rapport $\dfrac{3}{2}$ de la taille du motif initial, on obtient un motif agrandi.

1. Construire en vraie grandeur le motif agrandi.
   $\quad$
2. Par quel coefficient doit-on multiplier l’aire du motif initial pour obtenir l’aire du motif agrandi ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     16 points

Jean possède $365$ albums de bandes dessinées. Afin de trier les albums de sa collection, il les range par série et classe les séries en trois catégories : franco-belges, comics et mangas comme ci-dessous.

$$\begin{array}{|l|l|l|}
\hline
\text{Séries franco-belges}&\text{Séries de comics}&\text{Séries de mangas}\\
\hline
\\
23 \text{ albums « Astérix »}&35 \text{ albums « Batman »}&85 \text{ albums « One-Piece »}\\
22 \text{ albums « Tintin »}&90 \text{ albums « Spider-Man »}&65\text{ albums « Naruto »}\\
45 \text{ albums « Lucky-Luke »}&&\\
\\
\hline\end{array}$$

Il choisit au hasard un album parmi tous ceux de sa collection.

1. a. Quelle est la probabilité que l’album choisi soit un album « Lucky-Luke » ?
   $\quad$
   b. Quelle est la probabilité que l’album choisi soit un comics ?
   $\quad$
   c. Quelle est la probabilité que l’album choisi ne soit pas un manga ?
   $\quad$
2. Tous les albums de chaque série sont numérotés dans l’ordre de sortie en librairie et chacune des séries est complète du numéro 1 au dernier numéro.
   a. Quelle est la probabilité que l’album choisi porte le numéro $1$ ?
   $\quad$
   b. Quelle est la probabilité que l’album choisi porte le numéro $40$ ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 5     21 points

On considère les fonctions $f$ et $g$ suivantes : $$f~:~ t \mapsto 4t + 3 \text{  et  } g~:~t \mapsto 6t$$
Leurs représentations graphiques $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ sont tracées ci-dessous.

 

1. Associer chaque droite à la fonction qu’elle représente.
   $\quad$
2. Résoudre par la méthode de votre choix l’équation $f(t) = g(t)$.
   $\quad$

Camille et Claude décident de faire exactement la même randonnée mais Camille part $45$ min avant Claude. On sait que Camille marche à la vitesse constante de $4$ km/h et Claude marche à la vitesse constante de $6$ km/h.

3. Au moment du départ de Claude, quelle est la distance déjà parcourue par Camille ?

On note $t$ le temps écoulé, exprimé en heure, depuis le départ de Claude. Ainsi  $t = 0$ correspond au moment du départ de Claude.

4. Expliquer pourquoi la distance en kilomètre parcourue par Camille en fonction de $t$ peut s’écrire $4t + 3$.
   $\quad$
5. Déterminer le temps que mettra Claude pour rattraper Camille.
   $\quad$

$\quad$