E3C – Fonctions

Séries technologiques

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $$g(x) = 0,5(x + 1)(x-3)$$

a. Quelle est la nature de la fonction $g$ et celle de sa représentation graphique ?
$\quad$
b. Résoudre l’équation $g(x) = 0$.
$\quad$
c. En déduire la valeur pour laquelle $g$ admet un extremum.
On précisera si cet extremum est un maximum ou un minimum en argumentant et on calculera sa valeur.
$\quad$
On a tracé en annexe la représentation graphique de la fonction $g$.
Résoudre graphiquement l’équation $g(x) = 2$. On laissera sur le graphique les traces de raisonnement.
$\quad$
On appelle $x_1$ la solution de l’équation $g(x) = 2$ appartenant à l’intervalle $[-2; -1]$ et $x_2$ la solution appartenant à l’intervalle $[3; 4]$. On cherche à déterminer un encadrement de $x_2$ d’amplitude $10^{-n}$.
Pour cela on a écrit l’algorithme ci-contre en langage Python
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\textcolor{blue}{\textbf{def }} \textcolor{Emerald}{\text{g}}\textcolor{Maroon}{(}\text{x}\textcolor{Maroon}{):} \\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\textbf{return }}\textcolor{Emerald}{0.5}\textcolor{Maroon}{*(}\text{x}\textcolor{Maroon}{+}\textcolor{Emerald}{1}\textcolor{Maroon}{)*(}\text{x}\textcolor{Maroon}{-}\textcolor{Emerald}{3}\textcolor{Maroon}{)}\\\\
\textcolor{blue}{\textbf{def }} \textcolor{Emerald}{\text{balayage}}\textcolor{Maroon}{(}\text{n}\textcolor{Maroon}{):} \\
\hspace{1cm} \text{x}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{3}\\
\hspace{1cm} \text{pas}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{10}\textcolor{Maroon}{**(-}\text{n}\textcolor{Maroon}{)}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\textbf{while }} \text{g}\textcolor{Maroon}{(}\text{x}\textcolor{Maroon}{)<}\textcolor{Emerald}{2}\textcolor{Maroon}{:} \\
\hspace{2cm} \text{x}\textcolor{Maroon}{=}\text{x}\textcolor{Maroon}{+}\text{pas}\\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\textbf{return }}\textcolor{Maroon}{(}\text{x}\textcolor{Maroon}{-}\text{pas}\textcolor{Maroon}{,}\text{x}\textcolor{Maroon}{)}\\
\hline
\end{array}$$
Que faut-il taper dans la console pour obtenir un encadrement de $x_2$ d’amplitude $0,001$ ?
$\quad$

Annexe

$\quad$

Correction Exercice

a. Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g(x)&=0,5(x+1)(x-3)\\
&=0,5\left(x^2-3x+x-3\right)\\
&=0,5\left(x^2-2x-3\right)\\
&=0,5x^2-x-1,5\end{align*}$
$g$ est donc une fonction du second degré et sa représentation graphique est une parabole.
$\quad$
b. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Ainsi $g(x)=0 \ssi x+1=0$ ou $x-3=0$ $\ssi x=-1$ ou $x=3$.
Les solutions de l’équation $g(x)=0$ sont donc $-1$ et $3$.
$\quad$
c. L’extremum est donc atteint pour $x=\dfrac{-1+3}{2}=1$.
Le coefficient principal est $a=0,5>0$. Il s’agit donc d’un minimum.
$g(1)=-2$.
$\quad$
À l’aide du graphique suivant

on en déduit que, graphiquement, les solutions de l’équation $f(x)=2$ sont environ $-1,8$ et $3,8$.
$\quad$
Il faut saisir $\text{balayage(0.001)}$.
$\quad$

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$\quad$

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