E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise fabrique et vend des boîtes de petits fours. La production mensuelle varie de $20$ à $150$ centaines de boîtes.
Le chiffre d’affaires en euro, obtenu pour la vente de $x$ centaines de boîtes de petits fours est donnée par la fonction $R$ définie sur l’intervalle $[20; 150]$ par $$R(x)=450x$$
Le coût total de production de $x$ centaines de boîtes de petits fours est donné en euros par la fonction $C$ définie par $$C(x) = 6x^2-246x+5~184$$
On admet dans l’étude qui suit que chaque mois toute la production est vendue.

1. On a représenté dans le repère orthogonal ci-dessous deux courbes $C_1$ et $C_2$.
   L’une est la représentation graphique de $R$ et l’autre celle de $C$ mais on ne sait pas dans quel ordre.a.Préciser la courbe représentant la fonction $R$ et la courbe représentant la fonction $C$.
   $\quad$
   b. Déterminer avec la précision permise par le graphique dans quel intervalle doit se situer le nombre de centaines de boîtes vendues pour que l’entreprise réalise un bénéfice.
   $\quad$
2. Le résultat de l’entreprise en euro, c’est-à-dire le bénéfice ou le déficit de l’entreprise selon que le résultat est positif ou négatif, est donné par la fonction $D$ définie sur l’intervalle $[20; 150]$ par : $$D(x)=-6x^2+696x-5~184$$
   On note $D’$ la fonction dérivée de la fonction $D$.
   a. Calculer $D'(x)$.
   $\quad$
   b. Déterminer le signe de $D'(x)$ sur l’intervalle $[20; 150]$.
   $\quad$
   c. En déduire le tableau de variation de la fonction $D$ et le nombre de boîtes que l’entreprise doit produire et vendre pour obtenir un bénéfice maximal.
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