E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise fabrique et commercialise des trottinettes. La capacité maximale de production de l’entreprise est de $21$ trottinettes.
Le coût total de fabrication (en euros) de $x$ trottinettes est modélisé par la fonction $C$ définie par : $$C(x) = 2x^3-50x^2+452x$$
Le prix de vente est de $200$ € par trottinette.

Calculer, pour $12$ objets fabriqués et vendus, le coût de fabrication, la recette et le bénéfice.
$\quad$
On note $R(x)$ et $B(x)$ la recette et le bénéfice pour $x$ trottinettes vendues.
a. Exprimer $R(x)$.
$\quad$
b. Montrer que le bénéfice réalisé pour $x$ trottinettes vendues est : $$B(x)=-2x^3+50x^2-252x$$
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a. Montrer que $B(x)=-2x(x-7)(x-18)$.
$\quad$
b. Étudier le signe de $B(x)$ sur l’intervalle $[0 ; 21]$ et interpréter le signe de $B(x)$ dans le contexte de l’exercice.
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Correction Exercice

Le coût de fabrication est $C(12)=1~680$ €.
La recette est $200\times 12 = 2~400$ €.
Le bénéfice est $2~400-1~680=720$ €
$\quad$
a. On a $R(x)=200x$.
$\quad$
b. Le bénéfice réalisé pour $x$ trottinettes vendues est :
$\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x)\\
&=200x-\left(2x^3-50x^2+452x\right) \\
&=200x-2x^3+50x^2-452x\\
&=-2x^3+50x^2-252x\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} -2x(x-7)(x-18)&=-2x\left(x^2-18x-7x+126\right) \\
&=-2x\left(x^2-25x+126\right)\\
&=-2x^3+50x^2-252x\\
&=B(x)\end{align*}$
$\quad$
b. $2x=0 \ssi x=0$ et $2x>0 \ssi x>0$
$x-7=0\ssi x=7$ et $x-7>0\ssi x>7$
$x-18=0\ssi x=18$ et $x-18>0 \ssi x>18$
On obtient alors le tableau de signes suivant :L’entreprise réalise donc un bénéfice si elle produit et vend entre $7$ et $18$ trottinettes.
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