E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

L’annexe est à rendre avec la copie

Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : $f(x)=0,1+0,9x^2-x^3$.

  1. Justifier que pour tout réel $x$, $f'(x)=x(1,8-3x)$.
    $\quad$
  2. a. Calculer $f(1)$ et $f'(1)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $1$.
    $\quad$
  3. La représentation graphique de la fonction $f$ est donnée en annexe.
    a. Donner les variations de la fonction $f$ par lecture graphique.
    $\quad$
    b. En utilisant les résultats de la question 2., construire sur ce graphique la tangente à la courbe de la fonction $f$ au point d’abscisse $1$.
    $\quad$

Annexe

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Correction Exercice

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=0,9\times 2x-3x^2 \\
    &=1,8x-3x^2\\
    &=x(1,8-3x)\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a $f(1)=0,1+0,9-1=0$
    $f'(1)=1\times (1,8-3)=-1,2$
    $\quad$
    b. Une équation de la tangente à la courbe représentant la fonction $f$ au point d’abscisse $1$ est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
    C’est-à-dire $y=-1,2(x-1)$ ou $y=-1,2x+1,2$.
    $\quad$
  3. a. Graphiquement, il semblerait que la fonction $f$ soit :
    – strictement décroissante sur $]-\infty;0]$;
    – strictement croissante sur $[0;0;6]$
    – strictement décroissante sur $[0,6;+\infty[$.
    $\quad$
    b. Une équation de cette tangente est $y=-1,2x+1,2$
    Si $x=0$ alors $y=1,2$
    Si $x=1$ alors $y=0$
    Cette droite passe donc par les points de coordonnées $(0;1,2)$ et $(1;0)$.

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