E3C – Séries technologiques – Géométrie – Janvier 2020

E3C – Géométrie

Séries technologiques

Un designer veut réaliser une boite originale pour un bijoutier. Une vue de la boite ouverte est présentée ci-dessous.

 

Il décide de partir d’un cube $ABCDEFGH$ dont une partie est représentée en annexe.

  1. Terminer la représentation du cube en perspective cavalière en annexe (à remettre avec la copie) en traçant en pointillés les arêtes cachées. Le plan $(ABE)$ est un plan de face.
    $\quad$
  2. On se place dans le repère orthonormé de l’espace $(A,B,D,E)$. Dans ce repère on a $A(0,0,0)$ et $G(1,1,1)$. Donner les coordonnées des autres sommets du cube dans ce repère.
    $\quad$
  3. On considère les points $I\left(0;\dfrac{2}{3};1\right), J\left(0;0;\dfrac{2}{3}\right)$ et $K\left(1;0;\dfrac{1}{6}\right)$.
    Placer les points $I$, $J$ et $K$ sur la figure de l’annexe.
    $\quad$
  4. Tracer la section du cube par le plan $(IJK)$. Quelle est la nature de cette section ?
    $\quad$
  5. On suppose que $[JK]$ représente la charnière de la boîte et que l’unité de longueur $AB$ vaut $6$ cm.
    a. Calculer la longueur $JK$ de la charnière de la boîte.
    $\quad$
    b. Quelle propriété de la perspective cavalière permet de vérifier la
    cohérence de votre résultat sur la figure de l’annexe ? Conclure.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient la figure suivante :

    $\quad$

  2. On a $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $E(0,0,1)$, $F(1,0,1)$ et $H(0,1,1)$.
    $\quad$
  3. On obtient la figure suivante :


    $\quad$

  4. On obtient la section suivante :

    La section est un pentagone.
    $\quad$

  5. a. On appelle $L$ le point de coordonnées $\left(0;0;\dfrac{1}{6}\right)$.
    Le triangle $JKL$ est alors rectangle en $L$.
    On a $JL=\dfrac{1}{2}\times 6=3$ cm et $LK=6$ cm.
    D’après le théorème de Pythagore on a :
    $\begin{align*} JK^2&=LK^2+LJ^2 \\
    &=36+9\\
    &=45\end{align*}$
    Donc $JK=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$ cm.
    $\quad$
    b. On vérifie que dans les longueurs sont conservées dans le plan de face.
    $\quad$

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$\quad$

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