E3C – Séries technologiques – Géométrie – Janvier 2020

E3C – Géométrie

Séries technologiques

L’objectif de cet exercice est de représenter en perspective cavalière la sculpture de Victor Vasarely représentée en photo ci-dessous avec uniquement les cercles extérieurs sur chaque face visible.

La figure donnée en annexe, qui est à rendre avec la copie, représente le cube de Vasarely en perspective cavalière sur lequel sont représentées les cercles inscrits des faces $ABFE$ et de $BCGF$.

  1. Sur figure donnée en annexe, on considère le cercle inscrit dans la face $ABFE$.
    Tracer la tangente $(t)$ en $M$ à ce cercle et montrer que $(t)$ et $(BE)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Justifier que $OM=\dfrac{\sqrt{2}}{2}OA$.
    $\quad$
  3. Sur la face $ABCD$, construire le centre $O’$ de la face $ABCD$.
    $\quad$
  4. Le cercle inscrit dans la face $ABCD$ coupe respectivement les segments $[O’D]$, $[O’C]$, $[O’B]$ et $[O’A]$ en $M’$, $N’$, $P’$ et $Q’$.
    En utilisant les résultats établis dans la partie A (note personnelle : il s’agit du texte original !) et en effectuant les mesures nécessaires, construire ces points $M’$, $N’$, $P’$ et $Q’$.
    $\quad$
  5. Tracer ensuite les tangentes au cercle inscrit dans la face $ABCD$ en ces mêmes points en justifiant la construction, puis terminer le tracé de l’ellipse représentant le cercle inscrit dans le carré $ABCD$.
    $\quad$

Annexe

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Correction Exercice

  1. On obtient la figure suivante :
    $(t)$ est par définition perpendiculaire au rayon $[OM]$.
    Les diagonales d’un carré sont perpendiculaires. Donc $[OM]$ et $(BE)$ sont perpendiculaires.
    Par conséquent, $(t)$ et $(BE)$ sont parallèles.
    $\quad$
  2. Dans le triangle $AEF$ rectangle en $E$ on applique le théorème de Pythagore.
    $AF^2=AE^2+EF^2$.
    $ABFE$ est un carré donc $AE=EF$
    Par conséquent $AF^2=2AE^2$. $AF$ et $AE$ sont des longueurs; elles sont des positives.
    Ainsi $AF=AE\sqrt{2} \ssi AE=\dfrac{1}{\sqrt{2}} AF\ssi AE=\dfrac{\sqrt{2}}{2}AF$
    Or $AF=2AO$ et $AE=2OM$ (car $[OM]$ est un rayon du cercle comme $[OI]$
    Ainsi $2OM=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times 2AO \ssi OM=\dfrac{\sqrt{2}}{2}OA$.
    $\quad$
  3. Voir figure plus bas
    $\quad$
  4. Voir figure plus bas
    On a $O’N’=O’Q’=\dfrac{\sqrt{2}}{2}O’A$ et $O’M’=O’P’=\dfrac{\sqrt{2}}{2}O’D$.
    $\quad$
  5. Les tangentes sont parallèles aux diagonales $[AC]$ et [BD]$.

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