E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Une agence a lancé une campagne de publicité afin de faire connaître un nouveau produit. Elle a réalisé un sondage dans une zone géographique déterminée afin de connaître l’impact de cette campagne.

  • $28\%$ des personnes interrogées ont plus de 60 ans. Parmi elles, $40\%$ ont déclaré connaitre le produit.
  • $42 \%$ des personnes interrogées ont entre 25 et 60 ans. Parmi elles, $55\%$ ont déclaré connaitre le produit.
  • Parmi les personnes de moins de 25 ans, $75\%$ ont déclaré connaitre le produit.

On choisit au hasard une personne interrogée par l’agence de publicité et on considère les événements suivants :

  • $S$ : « la personne interrogée a plus de 60 ans » ;
  • $M$ ∶ « la personne interrogée a entre 25 et 60 ans » ;
  • $J$ ∶ « la personne interrogée a moins de 25 ans » ;
  • $C$ ∶ « la personne interrogée déclare connaitre le produit ».
  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

    $\quad$

  2. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait entre 25 et 60 ans et déclare ne pas connaître le produit.
    $\quad$
  3. a. Calculer la probabilité de l’événement $S\cap C$
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité de l’évènement $C$.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité que la personne ait plus de 60 ans, sachant qu’elle déclare connaitre le produit. Arrondir le résultat au millième.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P\left(S\cap \conj{C}\right)&=P(S)\times P_S\left(\conj{C}\right) \\
    &=0,28\times 0,6\\
    &=0,168\end{align*}$
    La probabilité que la personne interrogée ait entre 25 et 60 ans et déclare ne pas connaître le produit est égale à $0,168$.
    $\quad$
  3. a. On a
    $\begin{align*} P(S\cap C)&=P(S)\times P_S(C)\\
    &=0,28\times 0,4\\
    &=0,112\end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(C)&=P(S\cap C)+P(M\cap C)+P(J\cap C)\\
    &=0,112+0,42\times 0,55+0,3\times 0,75\\
    &=0,568\end{align*}$
    La probabilité de l’événement $C$ est égale à $0,568$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_C(S)&=\dfrac{P(C\cap S)}{P(C)} \\
    &=\dfrac{0,112}{0,568}\\
    &\approx 0,197\end{align*}$
    La probabilité que la personne ait plus de 60 ans, sachant qu’elle déclare connaitre le produit est environ égale à $0,197$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence