E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Antoine désire partir en vacances et consulte le catalogue d’une agence de voyage.

  • Le catalogue comprend $400$ références différentes.
  • $60 \%$ comprennent un forfait « voyage + séjour », les autres ne comprenant que le séjour sur place.
  • $45 \%$ des références proposant le forfait « voyage + séjour » sont à destination d’un pays d’Amérique du Sud.
  • Parmi les références incluant uniquement le séjour, $55$ sont à destination d’un pays d’Amérique du Sud, $85$ sont à destination d’un pays d’Asie.
  • Aucune référence correspondant à une destination en Asie ne propose le forfait « voyage + séjour ».
  1. Compléter le tableau croisé d’effectifs donné en annexe à remettre avec la copie.
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, on choisit une référence au hasard et on admet que la répartition du tableau est conservée. Si A est un évènement, on notera $p(A)$ la probabilité de l’évènement $A$ ;
Les résultats seront arrondis au dix millième.

  1. Soit $V$ l’évènement « la référence comprend un forfait « voyage+séjour » » et $A$ l’évènement « la référence correspond à un pays d’Amérique du Sud ».
    Calculer $p(A)$ et $p(V)$.
    $\quad$
  2. Décrire à l’aide d’une phrase l’événement $V \cap A$ puis déterminer sa
    probabilité.
    $\quad$
  3. Calculer $p_A(V)$ et interpréter le résultat avec une phrase.
    $\quad$
  4. Traduire à l’aide d’une probabilité la phrase : « $45\%$ des références comprenant un forfait « voyage + séjour » correspondent à un pays d’Amérique du Sud ».
    $\quad$

Annexe

$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\textbf{Voyage + séjour}&\textbf{Séjour uniquement}&\textbf{Total}\\
\hline
\textbf{Amérique du Sud}&&&\\
\hline
\textbf{Asie}&&&\\
\hline
\textbf{Autres destinations}&&&\\
\hline
\textbf{Total}&&&400\\
\hline
\end{array}$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\textbf{Voyage + séjour}&\textbf{Séjour uniquement}&\textbf{Total}\\
    \hline
    \textbf{Amérique du Sud}&108&55&163\\
    \hline
    \textbf{Asie}&132&85&217\\
    \hline
    \textbf{Autres destinations}&0&20&20\\
    \hline
    \textbf{Total}&240&160&400\\
    \hline
    \end{array}$$\quad$





    $\quad$

  2. $p(A)=\dfrac{163}{400}=0,407~5$
    $p(V)=0,6$ d’après l’énoncé
    $\quad$
  3. $V\cap A$ est l’événement « la référence comprend un forfait « voyage+séjour » et correspond à un pays d’Amérique du Sud».
    $p(V\cap A)=\dfrac{108}{400}=0,27$
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} p_A(V)&=\dfrac{p(A\cap V)}{p(A)} \\
    &=\dfrac{0,27}{0,407~5}\\
    &\approx 0,662~6\end{align*}$
    La probabilité que la référence corresponde à un forfait « voyage+séjour » sachant qu’elle correspond à un pays d’Amérique du Sud est environ égale à $ 0,662~6$.
    $\quad$
  5. On a donc $p_V(A)=0,45$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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