Correction – Exercice 1

Correction

 

1. $\lim\limits_{x \rightarrow -3^+} (-2 x -6) = 0^-$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow -3^+} \dfrac{1}{-2x – 6} = -\infty$
   $\quad$
2. $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)  = +\infty$.
   De plus $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} (x-3) = -3$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \left(\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) (x-3)\right) = -\infty$
   $\quad$
3. $\lim\limits_{x \rightarrow 3^+} (1-4x) = -11$ et $\lim\limits_{x \rightarrow 3^+} (x-3) = 0^+$ donc
   $\lim\limits_{x \rightarrow 3^+} \dfrac{1-4x}{x-3} = -\infty$
   $\quad$
4. $\lim\limits_{x \rightarrow 2^-} x^3 = 8$ et $\lim\limits_{x \rightarrow 2^-} (4-2x) = 0^+$ donc
   $\lim\limits_{x \rightarrow 2^-} \dfrac{x^3}{4-2x} = +\infty$
   $\quad$
5. $\dfrac{\sqrt{x} + 2 – 3x}{x} = \dfrac{x\left(\dfrac{\sqrt{x}}{x} + \dfrac{2}{x} – 3\right)}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{2}{x} – 3$.
   Or $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = 0$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2}{x} = 0$
   Par conséquent $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\sqrt{x} + 2 – 3x}{x} = -3$
   $\quad$
6. $\dfrac{2x+5}{\sqrt{-x}} = \dfrac{2x}{\sqrt{-x}} + \dfrac{5}{\sqrt{-x}}$ $= -2\sqrt{-x}+\dfrac{5}{\sqrt{-x}}$.
   Or $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} -2\sqrt{-x}=-\infty$ et $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{5}{\sqrt{-x}} = 0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{2x+5}{\sqrt{-x}} = -\infty$
   $\quad$
7. $\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} -2x = 4$ et $\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} (3x + 6) = 0^-$
   Donc $\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} \dfrac{-2x}{3x +6} = -\infty$