Correction – Exercice 2

Correction

1. $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule.
   $\quad$$\begin{align} f'(x) &= \dfrac{10(5x^2+1) – 10x(10x + 4)}{\left(5x^2+1 \right)^2} \\\\
   &= \dfrac{50x^2 + 10 – 100x^2 – 40x}{\left(5x^2+1 \right)^2} \\\\
   &=\dfrac{-50x^2 – 40x + 10}{\left(5x^2+1 \right)^2} \\\\
   \end{align}$
   $\quad$
2. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-50x^2-40x +10$.
   $\quad$
   Calculons le déterminant : $\Delta = (-40)^2 – 4 \times 10 \times (-50) = 3600$
   $\quad$
   Il y a donc deux racines réelles :
   $x_1 = \dfrac{40 – \sqrt{3600}}{-100} $ $= \dfrac{40 – 60}{-100}$ $ = \dfrac{1}{5}$ et $x_2 = -1$
   $\quad$
   Le coefficient $a=-50<0$ donc l’expression est positive entre les racines et négative en dehors. On obtient ainsi le tableau de variations suivant:
   
3. Une équation de la tangente est de la forme :
   $$u=f'(a)(x – a) + f(a)$$
   Ici $f'(0) = 10$ et $f(0) =4$.
   $\quad$
   Donc une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est :
   $$y=10x+4$$
4. Pour déterminer la position relative de cette tangente à la courbe, on étudie le signe de :
   $\begin{align} f(x)-(10x+4) &= \dfrac{10x+4}{5x^2+1} – (10x + 4) \\\\
   &= \dfrac{10x+4}{5x^2+1} – \dfrac{(10x+4) \left(5x^2+1\right)}{5x^2+1} \\\\
   &=\dfrac{(10x+4) \left(1 – \left(5x^2+1\right) \right)}{5x^2+1} \\\\
   &=\dfrac{(10x+4)\left(-5x^2 \right)}{5x^2+1}\\\\
   &=-\dfrac{(10x+4)\left(5x^2 \right)}{5x^2+1}
   \end{align}$
   $\quad$
   Le signe de cette expression ne dépend donc que de celui de $-(10x+4)$
   $\quad$
   Or $-(10x+4) > 0$ $\Leftrightarrow 10x + 4 < 0$ $\Leftrightarrow x < -\dfrac{2}{5}$.
   $\quad$
   Par conséquent la courbe est au-dessus de la tangente sur $\left]-\infty;-\dfrac{2}{5} \right]$ et au-dessous sur $\left[-\dfrac{2}{5};+\infty \right[$.