Correction Exercice 2

La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $]-\infty;-2[$.

$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -1$ et $f(-2) = 2$. Or $0 \in ]-1;2[$.

D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x) = 0$ possède une unique solution sur $]-\infty;-2[$.

$\quad$

La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur $[-2;4]$.

$f(-2) = 2$ et $f(4) = -3$. Or $0 \in ]-3;2[$.

D’après le théorème de la bijection l’équation $f(x) = 0$ possède une unique solution sur $]-2;4[$.

$\quad$

Sur $[4;+\infty[$ on a $f(x) \le -1$.

L’équation $f(x) = 0$ ne possède donc pas de solution sur $]4;+\infty[$.

$\quad$

On déduit de cette étude que l’équation $f(x) = 0$ possède donc deux solutions sur $\R$ (on a en prime des intervalles dans lesquelles elles se trouvent).