Correction : Exercice 2 -

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(2x + 6) – (x+3)^2$.

Développez puis factorisez $f(x)$.
$\quad$
En choisissant l’expression la mieux adaptée, calculez à la main les images de $0$, $\sqrt{2}$ et $-1$.
$\quad$
Déterminez par le calcul le ou les antécédents de $0$ et $-3$ par $f$.

$f(x) = 2x+6 – (x^2 + 6x + 9) = -x^2 – 4x – 3$
$\quad$
$f(x) = 2(x + 3) – (x+3)^2 = (x+3) \left[ 2 – (x+3) \right] = (x+3)(-x -1)$
$\quad$
$f(0) = -0^2 – 4 \times 0 – 3 = -3$
$\quad$
$f\left(\sqrt{2} \right) = -2 – 4\sqrt{2} – 3 = -5 -4\sqrt{2}$
$\quad$
$f(-1) = (-1 + 3)(1 – 1) = 0$
$\quad$
On veut résoudre l’équation $(x+3)(-x – 1) = 0$.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul. On résout donc les équations suivantes :
$x+3 = 0$ ou $-x -1 = 0$
$x=-3$ ou $x=-1$
$0$ possède donc deux antécédents $-3$ et $-1$.
$\quad$
On veut résoudre l’équation $-x^2 – 4x – 3 = -3$ soit $-x^2 – 4x = 0$ et donc $-x(x + 4) = 0$.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul. On résout donc les équations suivantes :
$x = 0$ ou $x + 4 = 0$
$x= 0$ ou $x= -4$.
$-3$ possède donc deux antécédents $0$ et $-4$.