Correction : Exercice 2 -

Déterminer les limites suivantes :

$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2x -1}{x^2+5}$
$\quad$
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{4x(-x-1)}{\left(x^2+2\right)(x+3)}$
$\quad$
$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^3+2x^2}{(x+2)(x-5)}$
$\quad$
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-3x^2+5x -1}{4x^2+x+1}$

$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2x -1}{x^2+5} =$ $ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2x}{x^2} $ $= \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2}{x} = 0^+$ d’après la limite du quotient des termes de plus haut degré.
$\quad$
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{4x(-x-1)}{\left(x^2+2\right)(x+3)}$ $ = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-4x^2-4x}{x^3+3x^2+2x +6}$ $ = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-4x^2}{x^3}$ $ = \dfrac{-4}{x} = 0^-$ d’après la limite du quotient des termes de plus haut degré.
$\quad$
$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^3+2x^2}{(x+2)(x-5)}$ $=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^3+2x^2}{x^2-3x -10} $ $= \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^3}{x^2}$ $=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x = -\infty$ d’après la limite du quotient des termes de plus haut degré.
$\quad$
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-3x^2+5x -1}{4x^2+x+1}$ $ = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{-3x^2}{4x^2} $ $=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} -\dfrac{3}{4} = -\dfrac{3}{4}$ d’après la limite du quotient des termes de plus haut degré.