Correction – Exercice 2

Correction

Initialisation : $u_0 = 5$ par conséquent $\dfrac{1}{2} \le u_0 \le 5$.
La propriété est donc vraie au rang $0$.

$\quad$

Hérédité : Supposons la propriété vraie  au rang $n$ : $\dfrac{1}{2} \le u_n \le 5$.

On a ainsi : $-\dfrac{5}{2} \le -\dfrac{1}{2} u_n \le -\dfrac{1}{4}$
Soit $-\dfrac{5}{2} + 3 \le -\dfrac{1}{2} u_n + 3\le -\dfrac{1}{4} + 3$
Finalement $\dfrac{1}{2} \le u_{n+1} \le \dfrac{11}{4} < 5$.

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

$\quad$

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.

Par conséquent, pour tout entier naturel, $\dfrac{1}{2} \le u_n \le 5$.