Correction Exercice 3

Pour tout $x \in ]-\infty;-3[\cup]-3;5[$, on a $f(x) < 1$. L’équation $f(x) = 1$ ne possède donc aucune solution sur cette réunion d’intervalles.

$\quad$

On a $f(-3) = 1$. $-3$ est donc une solution de l’équation $f(x) = 1$.

$\quad$

La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $[5;+\infty[$.

$f(-5) = -3$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. Or $1 \in ]-3;+\infty[$.

D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x) = 1$ possède une unique solution sur $[5;+\infty[$.

$\quad$

L’étude précédente nous permet donc de dire que l’équation $f(x)=1$ possède deux solutions sur $\R$ : $-3$ et un réel appartenant à $]5;+\infty[$.