Correction – Exercice 4

Correction

Étudions tout d’abord les limites en $\pm \infty$.

D’après la limite du quotient des termes de plus haut degré :

$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)$ $=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x^2}{x^2} = 1$
De même $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x)$ $=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x^2}{x^2} = 1$

La courbe représentative de la fonction $f$ admet donc une asymptote horizontale d’équation $y=1$.

$\quad$

Étudions maintenant les limites en $-2$

$\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} (x^2+5x + 1) = -5$ et $\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} x^2+x-2 = 0^+$

Donc $\lim\limits_{x \rightarrow -2^-} f(x) = -\infty$

On obtient de même que $\lim\limits_{x \rightarrow -2^+} f(x)= +\infty$

$\quad$

Étudions enfin les limites en $1$

$\lim\limits_{x \rightarrow 1^-} x^2+5x+1=8$ et $\lim\limits_{x \rightarrow 1^-} x^2+x-2=0^-$

Donc $\lim\limits_{x \rightarrow 1^-} f(x) = -\infty$

On obtient de même que $\lim\limits_{x \rightarrow 1^+} f(x)=+\infty$

$\quad$

Ainsi la courbe représentative de $f$ possède également deux tangentes verticales d’équation $x=1$ et $x=-2$.