Correction – Exercice 4

Exercice 4

  1. Montrer que pour tout entier naturel $k \ge 2$, $\dfrac{1}{k^2} \le \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout entier naturel $n \ge 2$, on a $\displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2} \le 1$
    $\quad$
  3. Utiliser ce résultat pour montrer que la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n \ge 2$ par $u_n=\displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2}$ est convergente.

Correction

  1. $\dfrac{1}{k-1} – \dfrac{1}{k} = \dfrac{k – (k-1)}{k(k-1)} = \dfrac{1}{k(k-1)}$
    $\quad$
    Or puisque, pour tout $k \ge 1$, $k-1 \le k$ on a alors $k(k-1) \le k^2$ et par conséquent $\dfrac{1}{k^2} \le \dfrac{1}{k(k-1)}$.
    $\quad$
    On a donc $\dfrac{1}{k^2} \le \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$.
    $\quad$
  2. $0 \le \displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2} \le \dfrac{1}{2-1} – \color{red}{\dfrac{1}{2}} + \color{red}{\dfrac{1}{3-1}} – \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{k-1} – \dfrac{1}{k}$
    $\quad$
    Dans le membre de droite, les termes s’annulent deux à deux . Il ne reste plus alors que $1-\dfrac{1}{n}$
    $\quad$
    Par conséquent $\displaystyle \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2} \le 1 – \dfrac{1}{n} \le 1 $
    $\quad$
  3. $u_{n+1}-u_n = \dfrac{1}{(n+1)^2} >0$
    La suite $(u_n)$ est donc croissante et majorée par $1$. On en déduit donc qu’elle converge.