Correction Exercice 5

Correction

1. D’après la limite des termes de plus haut degré on a :
   $\quad$ $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ $ = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{2x^3}{3}$ $=-\infty$ et
   $\quad$ $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ $ = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x^3}{3}$ $=+\infty$
   $\quad$
2. La fonction $f$ est une fonction polynôme. Elle est donc dérivable sur $\R$ et, pour tout $x\in \R$ on a :
   $$f'(x) = 2x^2-x-1$$
   Étudions le signe de cette expression : $\Delta = (-1)^2 – 4 \times 2 \times (-1) =9 > 0$.
   Elle possède donc deux racines : $x_1 = \dfrac{1 – \sqrt{9}}{4} = -\dfrac{1}{2}$ et $x_2 = \dfrac{1 + \sqrt{9}}{4}=1$.
   On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
   
3. Pour tout $x > -\dfrac{1}{2}$, on a $f(x) > \dfrac{13}{6}$ donc l’équation $f(x) =0$ ne possède pas de solution sur $[-1;+\infty[$.
   $\quad$
4. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\left]-\infty;-\dfrac{1}{2} \right[$.
   $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $f\left( -\dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{79}{24}$. Or $0 \in \left]-\infty;\dfrac{79}{24}\right[$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x) = 0$ possède une unique solution sur $\left]-\infty;-\dfrac{1}{2} \right[$.
   $\quad$
   L’équation $f(x) = 0$ possède donc une unique solution sur $\R$.
   $\quad$
5. En utilisant le menu table de la calculatrice on trouve $-1,70< \alpha< -1,69$