Correction - Exercice 5 -

Exercice 5

Soient $f$ la fonction définie sur $\R\setminus\{-1;1\}$ par $f(x) = \dfrac{3x^2-4}{x^2-1}$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative.

$\quad$

Montrer que $\mathscr{C}_f$ possède une asymptote horizontale.
$\quad$
Etudier sa position relative par rapport à cette asymptote.
$\quad$
Déterminer $\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} f(x)$ et $\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} f(x)$.
$\quad$
Que peut-on en déduire?
$\quad$
Existe-t-il une autre valeur pour laquelle cela soit également vrai?

D’après la limite du quotient des termes de plus haut degré on a :
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = $ $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{3x^2}{x^2} = 3$
De même $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 3$.
$\quad$
Par conséquent $\mathscr{C}_f$ possède une asymptote horizontale d’équation $y=3$
Étudions le signe de $f(x)-3$
$\begin{align} f(x)-3 &= \dfrac{3x^2-4}{x^2-1} – 3 \\\\
&= \dfrac{3x^2-4 -3^\left(x^2-1\right)}{x^2-1} \\\\
&= \dfrac{-1}{x^2-1}
\end{align}$
$x^2-1$ est positif sur $]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[$ et négatif sur $]-1;1[$.
$\quad$
Par conséquent $\mathscr{C}_f$ est au dessus de l’asymptote horizontale sur $]-1;1[$ et au-dessous sur $]-\infty;-1[ \cup ]1;+\infty[$
$\quad$
$\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} 3x^2-4=-1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} x^2-1 = 0^-$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\rightarrow 1^-} f(x) = +\infty$
$\quad$
$\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} 3x^2-4=-1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} x^2-1 = 0^+$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} f(x) = -\infty$
$\quad$
On en déduit donc que $\mathscr{C}_f$ possède une asymptote verticale d’équation $x=1$.
$\quad$
$\lim\limits_{x\rightarrow -1^-} 3x^2-4=-1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow -1^-} x^2-1 = 0^+$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\rightarrow -1^-} f(x) = -\infty$
$\quad$
$\lim\limits_{x\rightarrow -1^+} 3x^2-4=-1$ et $\lim\limits_{x\rightarrow -1^+} x^2-1 = 0^-$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\rightarrow -1^+} f(x) = +\infty$
$\quad$
$\mathscr{C}_f$ possède donc une seconde asymptote verticale d’équation $x=-1$.