Correction

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n \ge 1$ par $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.

Démontrer que $\dfrac{1}{2\sqrt{n+1}} \le u_n \le \dfrac{1}{2\sqrt{n}}$.
$\quad$
Quelle est la limite de la suite $(u_n)$?

$\quad$
$\begin{align} u_n &= \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \\\\
&=\dfrac{\left(\sqrt{n+1} – \sqrt{n} \right) \left(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \\\\
&=\dfrac{n+1-n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \\\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}
\end{align}$
$\quad$

Or $\sqrt{n} \le \sqrt{n+1}$ donc $2\sqrt{n} \le \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \le 2\sqrt{n+1}$.
$\quad$
Par conséquent $\dfrac{1}{2\sqrt{n+1}} \le u_n \le \dfrac{1}{2\sqrt{n}}$.
$\quad$
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{2\sqrt{n}} = 0$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{2\sqrt{n+1}} = 0$
$\quad$
D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = 0$