Correction Exercice 7

Correction

1. Nous sommes en présence de la forme indéterminée “$\infty – \infty$”. Pour lever cette indétermination, nous allons utiliser l’expression conjuguée.
   $\begin{align} f(x)& =  \sqrt{x^2+1} – \sqrt{x^2-1} \\\\
   &=\left(\sqrt{x^2+1} – \sqrt{x^2-1}\right) \times \dfrac{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1}} \\\\
   &= \dfrac{x^2+1 – (x^2 – 1)}{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1}} \\\\
   &=\dfrac{2}{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1}}
   \end{align}$
   $\quad$
   Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+1} $ $=\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x^2-1} = +\infty$
   Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1} = +\infty$
   Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+1} – \sqrt{x^2-1} $ $= \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2}{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1}} = 0$
   $\quad$
2. On procède de la même manière. Pour $x > 0$
   $\begin{align} f(x) & =\sqrt{x^2 + 4x} – x \\\\
   &= \left(\sqrt{x^2 + 4x} – x \right) \times \dfrac{\sqrt{x^2 + 4x} + x}{\sqrt{x^2 + 4x} + x} \\\\
   &=\dfrac{x^2 + 4x – x^2}{\sqrt{x^2 + 4x} + x} \\\\
   &=\dfrac{4x}{\sqrt{x^2 + 4x} + x} \\\\
   &=\dfrac{4x}{x\sqrt{1 + \dfrac{4}{x}} + x} \\\\
   &=\dfrac{4}{\sqrt{1 + \dfrac{4}{x}} + 1}
   \end{align}$
   Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{1 + \dfrac{4}{x}} = 1$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + 4x} – x$ $=\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{4}{\sqrt{1 + \dfrac{4}{x}} + 1}$ $=\dfrac{4}{2} = 2$
   $\quad$
   La ligne 4 étant de la forme $\dfrac{\infty}{\infty}$ nous sommes encore en présence d’une forme indéterminée.
   $\quad$
3. Le numérateur et le dénominateur de la fraction $\dfrac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-4}$ s’annulent en $-2$. On va donc factoriser chacune de ces expressions par $x – (-2) = x + 2$.
   Cherchons dans un premier temps des réels $b$ et $c$ tels que :
   $\begin{align} x^3+2x^2-x-2  &= (x + 2)(x^2+ bx + c) \\\\
   &= x^3 +2bx^2 +cx + 2x^2 +2bx +2c \\\\
   &=x^3 + (2b + 2)x^2 + (c + 2b)x + 2c
   \end{align}$.
   Procédons maintenant par identification :
   $\begin{cases} 2b+2 = 2 \\\\ c + 2b = -1\\\\2c = -2
   \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} b= 0\\\\c = -1 \end{cases}$
   Ainsi $x^3+2x^2-x-2$ $=(x+2)(x^2 – 1)$
   $\quad$
   Factorisons maintenant le dénominateur :
   $x^2 – 4$ $=(x -2)(x +2)$
   $\quad$
   Ainsi, pour $x \ne -2$, on a $\dfrac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-4}$ $ = \dfrac{(x + 2)(x^2 – 1)}{(x – 2)(x + 2)}$ $=\dfrac{x^2 – 1}{x  – 2}$.
   Donc :
   $\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-4}$ $=\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x^2 – 1}{x  – 2}$ $= – \dfrac{3}{4}$
   $\quad$
4. De nouveau le numérateur et le dénominateur s’annulent en $3$. On va donc de nouveau factoriser ces expressions.
   $\begin{align} \dfrac{\sqrt{3x} – 3}{x – 3} &= \dfrac{\sqrt{3}\sqrt{x} – \sqrt{3}^2}{x – 3} \\\\
   &= \dfrac{\sqrt{3} \left(\sqrt{x} – \sqrt{3} \right)}{x – 3} \\\\
   &= \dfrac{\sqrt{3} \left(\sqrt{x} – \sqrt{3} \right)}{\left(\sqrt{x} – \sqrt{3} \right) \left(\sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}  \\\\
   &=\dfrac{\sqrt{3}}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}  \quad x \ne 3
   \end{align}$
   $\quad$
   Ainsi
   $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{3x} – 3}{x – 3}$ $= \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{3}}{\left(\sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}$ $=\dfrac{1}{2}$