Correction Exercice 8 -

On considère le cercle $\mathscr{C}$ de centre $O$ circonscrit à un triangle $ABC$.

On appelle $M$, $N$ et $P$ les milieux respectifs de $[AB]$, $[AC]$ et $[BC]$.

Quel rôle joue le point $O$ pour le triangle $MNP$.

Dans le triangle $ABC$, $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ est le milieu de $[AC]$.

D’après le théorème des milieux, la droite $(MN)$ est parallèle à $(BC)$.

La médiatrice de $[BC]$ est perpendiculaire à $[BC]$ et passe par $P$ et $O$. Par conséquent $(OP)$ est également perpendiculaire à $[MN]$.

De la même manière on montrer que $(MO)$ est perpendiculaire à $[NP]$ et que $(NO)$ est perpendiculaire à $[MP]$.

$O$ est donc le point de concours des trois hauteurs du triangle $MNP$. Il s’agit donc de son orthocentre.