Correction Exercice 8

Exercice 8 : Problème de synthèse

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x) = 9x+ (15 – 2x)\sqrt{x}$ et la fonction $g$ définie également sur $[0;+\infty[$ par $g(x) = 18\sqrt{x} – 6x + 15$.

  1. Dresser le tableau de variations complet de la fonction $g$.
    $\quad$
  2. Démontrer, sans la résoudre, que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution sur $[0;+\infty[$ que l’on notera $\alpha$.
    $\quad$
  3. Fournir un encadrement au centième de $\alpha$.
    $\quad$
  4. En déduire le signe signe de $g(x)$ pour tout $x \in [0;+\infty[$.
    $\quad$
  5. Démontrer que, pour tout $x \in ]0;+\infty[$ on a $f'(x) = \dfrac{g(x)}{\sqrt{x}}$.
    $\quad$
  6. En déduire le tableau de variations complet de $f$.

Correction

  1. La fonction $g$ est une somme de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$. Elle est donc également dérivable sur cet intervalle.
    $$g'(x) = \dfrac{18}{2\sqrt{x}} – 6 = \dfrac{9}{\sqrt{x}} – 6 = \dfrac{9 – 6\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$$
    $g'(x)$ est donc du signe de $9 – 6\sqrt{x}$.
    Or $\quad$
    $\begin{align} 9 – 6\sqrt{x} > 0 &\Leftrightarrow 9 > 6\sqrt{x} \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{9}{6} > \sqrt{x} \\\\
    & \Leftrightarrow \dfrac{3}{2} > \sqrt{x} \\\\
    &\Leftrightarrow \dfrac{9}{4} > x > 0
    \end{align}$
    $\quad$
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    lim_et_continuité-ex8 cor (1)
    $f(0) = 0$ $\quad$ $f\left(\dfrac{9}{4}\right) = \dfrac{57}{2}$
    $f(x) = x\left(18\dfrac{\sqrt{x}{x}} – 6 + \dfrac{15}{x} \right)$ $=x\left(18\dfrac{1}{\sqrt{x}} – 6 + \dfrac{15}{x} \right)$
    Or $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{15}{x}  = 0$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty}  18\dfrac{1}{\sqrt{x}} – 6 + \dfrac{15}{x} = – 6$ et $ \lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$
    $\quad$
  2. Sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{9}{4}\right]$ on a $g(x) \ge 15$. Par conséquent l’équation $g(x) = 0$ n’a pas de solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $\left[\dfrac{9}{4};+\infty \right[$.
    De plus $f\left(\dfrac{9}{4}\right) = \dfrac{57}{2}$ et $ \lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$. Donc $0 \in \left]-\infty;\dfrac{57}{2}\right[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x) = 0$ possède donc une unique solution.
    $\quad$
    Finalement, l’équation $g(x) = 0$ possède une unique solution sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. A l’aide du menu table de la calculatrice on trouve $13,53< \alpha <13,54$.
    $\quad$
  4. Cela signifie donc que :
    lim_et_continuité-ex8 cor 2
  5. La fonction $f$ est une somme et un produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.
    On a : $\quad$$\begin{align} f'(x) &= 9 -2\sqrt{x} + \dfrac{15 – 2x}{2\sqrt{x}} \\\\
    &= \dfrac{18\sqrt{x} – 4x + 15 – 2x}{2\sqrt{x}}\\\\
    &=\dfrac{18\sqrt{x} – 6x + 15}{2\sqrt{x}} \\\\
    &=\dfrac{g(x)}{2\sqrt{x}}
    \end{align}$
    $\quad$
  6.  Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $g'(x)$ (que nous avons étudié à la question 3).
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    lim_et_continuité-ex8 cor 3
    $f(0) = 0$
    $\begin{align} f(x) &= 9x+ (15 – 2x)\sqrt{x}\\\\
    &= 9x + 15\sqrt{x} – 2x\sqrt{x} \\\\
    &= x\sqrt{x} \left( \dfrac{9x}{x\sqrt{x}} + \dfrac{15\sqrt{x}}{x\sqrt{x}} – 2 \right) \\\\
    &=x\sqrt{x}\left(\dfrac{9}{\sqrt{x}} + \dfrac{15}{x} – 2 \right)
    \end{align}$
    Ainsi $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$