Centres étrangers – Juin 2015

TS – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

On a $n = 500$ et $p = 0,03$
Par conséquent $n \ge 30$, $np = 15 \ge 5$ et $n(1-p) = 485$.
Les conditions sont vérifiées pour appliquer la formule donnant un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de cadenas défectueux.
$\begin{align*} I_{500} &= \left[0,03 – 1,96\sqrt{\dfrac{0,03 \times 0,97}{500}};0,03 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,03 \times 0,97}{500}} \right] \\\\
&\approx [0,015;0,045]
\end{align*}$.
La fréquence observée est $f = \dfrac{19}{500} = 0,038 \in I_{500}$.
Ce contrôle ne remet donc pas en cause, au risque de $5\%$, l’affirmation du fournisseur.
$\quad$
$n=500$ et $f=\dfrac{39}{500} = 0,078$.
Par conséquent $n \ge 30$, $nf = 39 \ge 5$ et $n(1-f) = 461 \ge 5$.
Les conditions sont vérifiées pour appliquer la formule donnant un intervalle de confiance au seuil de $95\%$ de la proportion de cadenas défectueux.
$\begin{align*}J_{500} &= \left[0,078 – \dfrac{1}{\sqrt{500}};0,078 + \dfrac{1}{\sqrt{500}}\right] \\\\
& \approx [0,033;0,123]
\end{align*}$

Partie B

A l’aide de la calculatrice (mais une propriété du cours nous la donne aussi) on trouve :
$P(725 \le X \le 775) \approx 0,683$
$\quad$
On cherche donc la valeur de $n$ telle que $P(X>n) = 0,05$
Ou encore $P(X \le n) = 0,95$.
A l’aide de la touche “invnorm” ou “normalFRép” de la calculatrice, on trouve $n= 792$ (on arrondit par excès).
$\quad$

Partie C

$\quad$
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(D) &= p(H \cap D) + p\left(\overline{H} \cap D\right) \\\\
0,07&= 0,2 \times 0,03 + 0,8p \\\\
0,07 & = 0,006 + 0,8p \\\\
0,064 &= 0,8p \\\\
p&= \dfrac{0,064}{0,8}\\\\
p&= 0,08
\end{align*}$
$\quad$ $0,08 \in [0,033;0,123]$.
Ce résultat est donc cohérent avec celui de la question A-2.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_{\overline{D}}(H) &= \dfrac{p\left(\overline{D}\cap H\right)}{p\left(\overline{D}\right)} \\\\
&=\dfrac{0,2 \times 0,97}{1 – 0,07} \\\\
& \approx 0,209
\end{align*}$

$\quad$

Exercice 2

L’ensemble des points $M(z)$ vérifiant $|z-1| = |z-\ic|$ est la médiatrice du segment $[CD]$ avec $C(1)$ et $D(\ic)$. Il s’agit donc de la droite d’équation $y=x$.
L’ensemble des points vérifiant $|z – 3 – 2\ic| \le 2$ est le disque ce centre $E(3;2)$ et de rayon $2$.
L’ensemble $S$ est donc l’intersection de cette droite et de ce disque.
Il s’agit donc bien du segment $[AB]$.
Affirmation 1 : vraie
$\quad$
$\left|\sqrt{3} + \ic\right| = \sqrt{3 + 1} = 2$.
Ainsi
$ \begin{align*} \sqrt{3} + \ic &= 2 \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\ic}{2}\right) \\\\
&= 2\e^{\ic\frac{\pi}{6}}
\end{align*}$
Ainsi
$\begin{align*} \left(\sqrt{3}+\ic\right)^{1515} &= 2^{1515}\e^{\ic\frac{1515\pi}{6}} \\\\
&=2^{1515}\e^{252,5\ic\pi}
\end{align*}$
Or $252,5\pi$ n’est pas un multiple entier de $\pi$. Par conséquent $ \e^{252,5\ic\pi}$ n’est pas un nombre réel.
Affirmation 2 : fausse
$\quad$
Si on prend $t = 1$ alors le système nous donne :
$\begin{cases} x=2 \times 1 = 2 \\\\y=-3 + 4\times 1 = 1 \\\\z= 7 – 10 \times 1 = -3\end{cases}$
On obtient les coordonnées de $E$.
$\quad$
Si on prend $t = 0,5$ alors le système nous donne :
$\begin{cases} x=2 \times 0,5 = 1 \\\\y=-3 + 4\times 0,5 = -1 \\\\z= 7 – 10 \times 0,5 = 2\end{cases}$
On obtient les coordonnées de $F$.
Il s’agit donc bien d’une représentation paramétrique de la droite $(EF)$.
Affirmation 3 : vraie
$\quad$
$\vec{EF}(-1;-2;5)$ et $\vec{EG}(-3;2;4)$.
Ainsi $\vec{EF}.\vec{EG} = 3 – 4 + 20 = 19$.
$\quad$De plus $EF = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}$ et $EG=\sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}$.
Donc $\vec{EF}.\vec{EG} = \sqrt{30} \times \sqrt{29} \times \cos \left(\vec{EF},\vec{EG}\right) $
Par conséquent $\cos \left(\vec{EF},\vec{EG}\right) = \dfrac{19}{\sqrt{30} \times \sqrt{29}}$
D’où $\cos \widehat{EFG} \approx 49,90° \approx 50°$.
Affirmation 4 : vraie
$\quad$

Exercice 3

a. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivable sur $\R$.
D’une part : $g'(x) = 2\e^{2x} – \e^x – 1$.
D’autre part :
$\begin{align*} \left(\e^x – 1\right)\left(2\e^x + 1\right) &= 2\e^{2x} + \e^x – 2\e^x – 1 \\\\
&= 2\e^{2x} – \e^x – 1
\end{align*}$
Donc $g'(x) = \left(\e^x – 1\right)\left(2\e^x + 1\right)$
$\quad$
b. La fonction exponentielle étant toujours positive, on en déduit que $2\e^x + 1 > 0$. Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $\e^x – 1$.
Or $\e^x – 1 \ge 0 \ssi \e^x \ge 1 \ssi x \ge 0$.
$\quad$
La fonction $g$ est donc décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$. Elle admet un minimum pour $x=0$ et son minimum est $g(0) = 0$.
c.
$\begin{align*} u_{n+1} – u_n &= e^{u_n}\left(\e^{u_n} – 1\right) – u_n\\\\
&= e^{2u_n} – e^{u_n} – u_n \\\\
&= g\left(u_n\right)
\end{align*}$
D’après la question précédente, on peut donc dire que, pour tout réel $x$, on a $g(x) \ge 0$.
Par conséquent $u_{n+1} – u_n \ge 0$.
La suite $(u_n)$ est donc croissante.
$\quad$
a. Initialisation : $n=0$ alors $u_0 =a \le 0$
La propriété est vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \le 0$.
$u_{n+1} = \e^{u_n}\left(\e^{u_n} – 1\right)$.
La fonction exponentielle est toujours positive.
Puisque $u_n \le 0$ alors $e^{u_n} \le 1$. Donc $\e^{u_n} – 1 \le 0$.
Par conséquent $u_{n+1} \le 0$.
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a : $u_n \le 0$.
$\quad$
b. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $0$. Elle est donc convergente.
$\quad$
c. Si $a=0$ alors $u_0 = 0$.
La suite $(u_n)$ est croissante, majorée par $0$ et $u_0 = 0$. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 0$.
La suite $(u_n)$ est donc constante et sa limite est $0$.
$\quad$
a. D’après la question 1.c. on a $u_{n+1} – u_n = g\left(u_n\right)$.
Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \ge a \ge 0$.
La fonction $g$ est croissante sur $[0;+\infty[$, par conséquent $g(u_n) \ge g(a)$.
Ainsi $u_{n+1} – u_n \ge g(a)$.
$\quad$
b. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0 = a$ et $a + 0\times g(a) = a$.
La propriété est donc vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \ge a + n \times g(a)$.
$\begin{align*} u_{n+1} – u_n \ge g(a) & \ssi u_{n+1} \ge u_n + g(a) \\\\
& \ssi u_{n+1} \ge a + n \times g(a) + g(a) \\\\
& \ssi u_{n+1} \ge a + (n+1) \times g(a)
\end{align*}$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n} \ge a + n \times g(a)$.
$\quad$
Puisque $a >0$, on a $g(a) \ge 0$. Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} n \times g(a) = +\infty$.
Par conséquent, d’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
$\quad$
a.
Tant que $u \le M$
$\quad$ $u$ prend la valeur $\e^u\left(\e^u – 1\right)$
$\quad$ $n$ prend la valeur $n+1$
Fin Tant que
$\quad$
b. Si $M=60$ alors l’algorithme affiche $36$
$\quad$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité

Partie A : étude de la proposition A

L’aire du triangle $ADE$ est donnée par $\dfrac{AD \times DE}{2}$. Or $AD = 1$
Par conséquent $\dfrac{DE}{2} = \dfrac{1}{3}$. D’où $DE = \dfrac{2}{3}$.
Ainsi le point $E$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};1\right)$

$\quad$

On appelle $G’$ le pied de la hauteur issue de $G$ dans le triangle $AGB$.
Son aire est $\dfrac{GG’ \times AB}{2}$. Avec $AB = 1$
Par conséquent $\dfrac{GG’}{2} = \dfrac{1}{3}$.
Donc $GG’ = \dfrac{2}{3}$

La droite $(AE)$ a pour équation $y=\dfrac{3}{2}x$.
L’abscisse $x$ du point $G$ vérifie donc l’équation $\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{2}x$.
Donc $x = \dfrac{4}{9}$.
Par conséquent le point $G$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4}{9};\dfrac{2}{3}\right)$

$\quad$

Partie B : étude de la proposition B

a. L’abscisse $x$ du point $E$ vérifie :
$\begin{align*} \ln(2x+1) = 1 &\ssi 2x + 1 = \e \\\\
&\ssi 2x = \e – 1 \\\\
1\ssi x=\dfrac{\e – 1}{2}
\end{align*}$
$\quad$
b. Le point $G$ appartient à la courbe représentative de la fonction $f$.
Ainsi son ordonnée est :
$$ y=\ln (2 \times 0,5 + 1) = \ln 2$$.
Par conséquent
$\begin{align*} g(0,5) = \ln 2 & \ssi k \left(\dfrac{1 – 0,5}{0,5}\right) = \ln 2 \\\\
& \ssi k = \ln 2
\end{align*}$
$\quad$
a. La fonction $F$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
$\begin{align*} F'(x) &= \ln(2x+1) + 2(x+0,5) \times \frac{1}{2x+1} – 1 \\\\
& = \ln(2x+1) + \dfrac{2x + 1}{2x+1} – 1 \\\\
& = \ln(2x+1) + 1 – 1 \\\\
& = f(x)
\end{align*}$
la fonction $F$ est donc une primitive de la fonction $f$ sur $[0;+\infty[$.
$\quad$
b. $r$ est du domaine délimité par les fonctions $f$ et $x \mapsto 1$ et les droites d’équation $x=0$ et $x= \dfrac{\e – 1}{2}$
Ainsi :
$\begin{align*} r &= \displaystyle \int_0^{\frac{\e – 1}{2}} \left(1 – \ln(2x+1)\right)\mathrm{d}x \\\\
& = \left[x – F(x)\right]_0^{\frac{\e – 1}{2}} \\\\
&= \dfrac{\e – 1}{2} – \left[\left(\dfrac{\e – 1}{2}+0,5\right)\ln \left(2\dfrac{\e – 1}{2}+1\right) – \dfrac{\e – 1}{2}\right] \\\\
&= \dfrac{\e – 1}{2} – \dfrac{\e }{2} + \dfrac{\e – 1}{2} \\\\
& = \dfrac{\e }{2} – 1
\end{align*}$
$\quad$
On a $g(x) = \ln(2) \left(\dfrac{1}{x} – 1\right)$.
La fonction $g$ est continue sur $]0;+\infty[$.
Une primitive $G$ est définie sur cet intervalle par :
$$G(x) = \ln(2) \left(\ln(x) – x\right)$$
$\quad$
On a $r \approx 0,359$ et $s \approx 0,327$. Ainsi $t = 1 -r -s \approx 0,314$.
La proposition B vérifie donc les conditions imposées par le fabriquant.

$\quad$

Exercice 4

Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

Partie A : généralités

Soient $(x,y,z)$ est un TP et $p$ est un entier naturel non nul.
Alors
$\begin{align*} (px)^2 + (py)^2 &= p^2(x^2+y^2) \\\\
&= p^2z^2 \\\\
&= (pz)^2
\end{align*}$
Donc $(px,py,pz)$ est également un TP.
$\quad$
Supposons que les trois entiers naturels $x$, $y$ et $z$ soient impairs .
Soit $n$ un entier naturel, alors $(2n+1)^2 = 4n+ 4n + 1 \equiv 1~[2]$.
Ainsi $x^2 \equiv 1 ~[2]$ et $y^2 \equiv 1 ~[2]$ donc $x^2 + y^2 \equiv 0 ~[2]$.
Or $z^2 \equiv 1 ~[2]$.
On ne peut donc pas avoir $x^2+y^2 = z^2$.
$x$, $y$ et $z$ ne peuvent donc pas être tous les trois impairs.
$\quad$
a. $192 = 2^6 \times 3$.
$\quad$
b. D’après la question précédente, on a vu que le carré d’un nombre impair est impair également.
$x^2 = 2^{2\alpha}\times k^2 $ donc $2x^2 = 2^{2\alpha + 1} \times k^2$
$z^2 = 2^{2\beta} \times m^2$
$\quad$
c. Si $2x^2 = z^2$ alors $2^{2\alpha + 1} \times k^2 = 2^{2\beta} \times m^2$.
Par conséquent $2\alpha + 1 = 2\beta$ soit $2(\beta – \alpha) = 1$. Ce qui impossible car $2(\beta – \alpha)$ est pair et $1$ impair.
Il n’existe donc pas d’entiers naturels non nuls $(x,y)$ tels que $2x^2=z^2$.
$\quad$

Partie B : Recherche de triplets pythagoriciens contenant l’entier $2015$

$2015 = 5 \times 13 \times 31$. Et $13 \times 31 = 403$
Le triplet $(3,4,5)$ est un TP. Par conséquent le triplet $(3 \times 403,4 \times 403, 5 \times 403)$ est également un TP.
Ainsi le triplet $(1209,1612,2015)$ est un TP.
$\quad$
$2015 = 2 \times 1007 + 1$.
Ainsi le triplet $(2015,2\times 1007^2 + 2\times 1007, 2\times 1007 + 2\times 1007 + 1)$ est un TP soit $(2015,2~030~112,2~030~113)$ .
$\quad$
a. On a $z^2-x^2 = (z-x)(z+x)$.
Par conséquent, on cherche les valeurs de $x$ et $z$ telles que :
$(z-x)(z+x) = 169 \times 961$.
Regardons s’il est possible de résoudre le système :
$\begin{align*} \begin{cases} z-x = 169 \\\\z+x = 961 \end{cases} &\ssi \begin{cases} z=169+x \\\\169+2x=961 \end{cases} \\\\
& \ssi \begin{cases} x= 396 \\\\z=565 \end{cases}
\end{align*}$
Ainsi le couple $(396,565)$ convient.
$\quad$
b. Le triplet $(396,403,565)$ est un TP.
Donc $(5 \times 396,5 \times 403, 5 \times 565)$ est également un TP.
Soit $(1980,2015,2825)$ est un TP.