Asie – Juin 2015

DNB – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de brevet est disponible ici.

Exercice 1  

1. $587~000~000= 5,87 \times 5,87 \times 10^{8}$ Réponse C
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} (x+2)(3x-1) & =3x^2 -x +6x – 2 \\\\
   &= 3x^2 + 5x – 2
   \end{align*}$
   Réponse A
   $\quad$
3. On pose $M$ le nombre de motos et $V$ le nombre de voitures.
   Par conséquent on a :
   $\begin{cases} V+M = 28 \\4V + 2M = 80\end{cases}$
   $\quad$
   Soit $\begin{cases} V = 28 – M \\4(28 – M) + 2M = 80\end{cases}$
   $\quad$
   Donc $\begin{cases} V = 28 – M\\112 – 4M + 2M = 80\end{cases}$
   $\quad$
   Par conséquent $\begin{cases} V = 28 – M \\-2M = -32 \end{cases}$
   $\quad$
   Finalement $\begin{cases} M = 16\\V = 12\end{cases}$
   Réponse C
   $\quad$
4. Le produit de $18$ facteurs égaux à $-8$ s’écrit $(-8)^{18}$.
   Réponse B
   $\quad$
5. La section d’un cylindre de révolution de diamètre $4$ cm et de hauteur $10$ cm par un plan parallèle à son axe peut être un rectangle de dimensions $3$ cm et $10$ cm.
   Réponse A
   $\quad$

Exercice 2

On calcule dans un premier temps la distance $FJ$.

Dans le triangle $FKJ$ rectangle en $K$ on applique le théorème de Pythagore :
$\begin{align*} FJ^2 &= FK^2 + KJ^2  \\\\
&= 8^2 + 15^2 \\\\
&= 289
\end{align*}$
Par conséquent $FJ = 17$.

Pour parcourir ces $17$ mètres, Julien mettra $\dfrac{9}{10} \times 17 =15,3$ secondes.

En empruntant le passage piéton, Julien aurait mis $\dfrac{9}{10} \times (15 + 8) =20,7$ secondes.

Il a donc gagné environ $5,4$ secondes.

$\quad$

Exercice 3

1. La probabilité que le premier sportif à sortir du bus soit un joueur de ping-pong est de $\dfrac{10}{10 + 12 + 18} = \dfrac{10}{40} = 0,25$.
   $\quad$
2. La probabilité que le premier sportif à sortir du bus soit un coureur ou un gymnaste est donc de $1 – 0,25 = 0,75$.
   $\quad$
3. On appelle $x$ le nombre de nageurs.
   On a donc $\dfrac{x}{x+40} = \dfrac{1}{5}$ soit $5x = x + 40$
   Par conséquent $4x = 40$ et $x = 10$.
   Il y avait $10$ nageurs dans le bus.
   $\quad$

Exercice 4

La première année, $397 – 37 = 360$ ballons ont été distribués.
La seconde année, $598 – 13 = 585$ ballons ont été distribués.

On recherche donc le PGCD de $360$ et $585$.

On utilise pour cela l’algorithme d’Euclide :

$585 = 1 \times 360 + 225$
$360 = 1 \times 225 + 135$
$225 = 1 \times 135 + 90$
$135 = 1 \times 90 + 45$
$90 = 2\times 45 + 0$

Le PGCD est le dernier reste non nul, c’est-à-dire ici $45$.

$45$ enfants au maximum étaient présents.

$\quad$

Exercice 5

1. Conjecturons la distance $d$ à l’aide d’une construction
   a.
   
   $\quad$
   b. Graphiquement, on a $d \approx 54,6$ mètres.
   $\quad$
2. Déterminons la distance $d$ par le calcul
   a. La somme des angles est de $180°$.
   Par conséquent $\widehat{ACB} = 180 – (45 + 65) = 70°$.
   $\quad$
   b. On a donc $\dfrac{BC}{\sin 45} = \dfrac{80}{\sin 70}$ d’où $BC = \dfrac{80 \sin 45}{\sin 70} \approx 60,20$ mètres.
   $\quad$
   c. Dans le triangle $BCH$ rectangle en $H$ on a :
   $\sin 65 = \dfrac{CH}{BC}$ donc $CH = BC \sin 65 \approx 54,56$ mètres.
   $\quad$

Exercice 6

1. On lit la valeur de $h(-2)$ dans la cellule $C4$.
   Donc $h(-2) = -17$
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} g(-3) &= 3 \times (-3)^2 – 9\times (-3) – 7 \\\\
   &= 3 \times 9 + 27 – 7 \\\\
   &= 27 + 20 \\\\
   & = 47
   \end{align*}$
   $\quad$
3. L’image de $-3$ par la fonction $g$ est $47$
   Un antécédent de $47$ par la fonction $g$ est $-3$.
   $\quad$
4. En $B4$ Pauline a écrit $=5*B1 – 7$
   $\quad$
5. a. On cherche une valeur de $x$ telle que $g(x) = h(x)$
   D’après le tableau, on peut dire que $0$ est une solution de cette équation.
   $\quad$
   b. $3x^2 – 9x – 7 = 5x – 7$ donc $3x^2 – 14x =0$ soit $x(3x – 14) = 0$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   Ainsi $x= 0$ ou $3x-14 = 0$
   Une autre solution est donc $\dfrac{14}{3}$.
   $\quad$

Exercice 7

1. a.
   $\begin{align*} V&= \dfrac{\pi}{3} \times 18^2 \times (3 \times 10 – 18) \\\\
   &= \dfrac{\pi}{3}\times 324 \times 12 \\\\
   & = 1~296\pi
   \end{align*}$
   $\quad$b. Ainsi $V \approx 4~071 \text{ cm}^3 \approx 4$ litres.
   $\quad$
2. L’aire du rectangle de base est de $15 \times 20 = 300 \text{ cm}^2$.
   Ainsi la hauteur $h$ atteinte par l’eau vérifie :
   $300h = 1~296\pi$
   soit $h = \dfrac{1~296\pi}{300} \approx 14$ cm