Antilles Guyane – Juin 2013

Bac S – Mathématiques – Correction

Vous pouvez trouver l’énoncé de ce sujet de bac ici.

Exercice 1

1. Les plans $(AEC)$ et $(IEC)$ sont confondus. J n’appartient pas à $(AEC)$. Réponse b
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2. $\vec{AF}.\vec{BG} = \left(\vec{AB}+\vec{BF} \right).\left(\vec{BC}+\vec{CG}\right)$ $=\left(\vec{AB}+\vec{AE} \right).\left(\vec{AD}+\vec{AE}\right)$
   $\vec{AF}.\vec{BG} = \vec{AB}.\vec{AD} + \vec{AB}.\vec{AE} + \vec{AE}.\vec{AD} + \vec{AE}.\vec{AE}$ $=AE^2=1$. Réponse c
   $~$
3. $\vec{AF}(1;0;1)$  et $\vec{AH}(0;1;1)$ sont $2$ vecteurs non colinéaires. Ce sont donc des vecteurs de base du plan $\mathcal{P}$. Il faut donc que le produit scalaire du vecteur normal au plan avec ces $2$ vecteurs soit nul.
   $A(0;0;0) \in \mathcal{P}$ : ce ne peut donc pas être l’équation a.
   Dans l’équation b : le vecteur normal est $\vec{n}(1;-1;1)$. Mais $\vec{n}.\vec{AF} = 1 + 1 =2$
   Dans l’équation c : le vecteur normal est $\vec{n}(-1;1;1)$. Mais $\vec{n}.\vec{AH} = 1 + 1 =2$
   Dans l’équation d : le vecteur normal est $\vec{n}(1;1;-1)$. Et $\vec{n}.\vec{AF} = 1 – 1 = 0$ et $\vec{n}.\vec{AH} = 1 – 1 = 0$. Réponse d
   $~$
4. Un vecteur normal est $\vec{n}(1;1;-1)$. Il faut donc que le vecteur choisi soit colinéaire à $\vec{n}$.
   Or $\vec{EC}(1;1;-1)$. $\vec{EL}$ et $\vec{EC}$ sont colinéaires. Réponse b
   $~$
5. Déterminons les coordonnées de $L$.
   Une équation paramétrique de $(EC)$ est :
   $\left\{ \begin{array}{l} x=t \\\\ y=t \qquad t \in \R \\\\z = 1 -t \end{array} \right.$
   Injectons ces équations dans l’équation de $\mathcal{P}$ : $t+t-1+t=0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{3}$. Réponse d
   $~$

Exercice 2

Partie A

$p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \le f \le p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}$
$\Leftrightarrow-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \le f-p \le \dfrac{1}{\sqrt{n}}$
$\Leftrightarrow -f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \le -p \le \dfrac{1}{\sqrt{n}} – f $
$\Leftrightarrow f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} \le p \le f+ \dfrac{1}{\sqrt{n}}$

Partie B

1. a.
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   b. D’après la propriété des probabilités totales :
   $$p(A) = r +(1-r) \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}(1+2r)$$
   $~$
   c. $p_A(R) = \dfrac{p(A \cap R)}{p(A)} = \dfrac{r}{\dfrac{1}{3}(1+2r)} = \dfrac{3r}{1+2r}$
   $~$
2. a. Les $400$ tirages sont aléatoires, indépendants et identiques.
   A chaque tirage, il n’y a que $2$ issues : $R$ et $\bar{R}$. $p(R) = r$.
   $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 400$ et $p=\dfrac{1}{3}(1+2r)$
   $~$
   b. La fréquence observée est $f = \dfrac{240}{400} = 0,6$.
   Un intervalle de confiance au seuil de $95 \%$ est donc :
   $$I_{400} = \left[0,6 – \dfrac{1}{\sqrt{400}};0,6+\dfrac{1}{\sqrt{400}} \right] = [0,55;0,65]$$
   Par conséquent :
   $0,55 \le \dfrac{1}{3}(1+2r) \le 0,65$
   $\Leftrightarrow 1,65 \le 1+2r \le 1,95$
   $\Leftrightarrow 0,65 \le 2r \le 0,95$
   $\Leftrightarrow 0,325 \le r \le 0,475$
   $~$
   c. i. Si $r=0,4$ alors $p=0,6$
   Par conséquent $E(X) = np = 240$ et $V(X) = np(1-p) = 96 = \sigma^2$
   X suit donc la loi normale $\mathcal{N}(240;96)$
   $~$
   ii. $P(X \le 250) = 0,5 + P(240 \le X \le 250) = 0,846$
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Exercice 3

Partie A

1. $\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} x+1 = +\infty$ $\quad \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \text{e}^x = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$
   $~$
   $f(x)=x\text{e}^x+\text{e}^x$.
   $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x\text{e}^x=0$ et $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \text{e}^x = 0$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 0$.
   $~$
2. $f$ est un produit de fonctions dérivables sur $\R$. Elle est donc également dérivable sur $\R$.
   $f'(x)=\text{e}^x+(x+1)\text{e}^x=(x+2)\text{e}^x$.
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3. $f(-2)=-\text{e}^{-2}$
   

Partie B

1. a. $g_m(x)=0 \Leftrightarrow x+1=m\text{e}^{-x} \Leftrightarrow (x+1)\text{e}^{x} = m \Leftrightarrow f(x) = m$
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   b. D’après le tableau de variations :
   Si $m > 0$, l’équation $f(x)=m$ possède une unique solution
   Si $m\in [0;-\text{e}^{-2}]$, l’équation possède $2$ solutions
   Si $m = -\text{e}^{-2}$, l’équation possède une solution
   Si $m < -\text{e}^{-2}$, l’équation ne possède pas de solution
   $~$
2. La courbe $1$ n’a pas de point commun avec l’axe des abscisses. Donc $m <-\text{e}^{-2}$.
   Par conséquent $m=-\text{e}$.
   Le point de coordonnées $(0;1)$ appartient à la courbe $2$. Cela n’est possible que pour $m=0$.
   La courbe $3$ correspond donc à $m=e$
   $~$
3. $g_m(x)-(x+1) = -m\text{e}^{-x}$. La fonction exponentielle est toujours positive. Le signe de cette expression ne dépend donc que de celui de $m$.
   Si $m > 0$, alors la droite est au-dessus de la courbe.
   Si $m = 0$, la courbe et la droite sont confondues.
   Si $m < 0$, alors la droite est au-dessous de la courbe.
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4. a.
   
   b. $\mathcal{A}(a) = \displaystyle \int_0^a \left(x+1+\text{e}\times \text{e}^{-x} – (x+1- \text{e} \times \text{e}^{-x}) \right) \text{d}x$ $= \displaystyle\int_0^a 2\text{e}\times \text{e}^{-x} \text{d}x$ $=\left[-2\text{e} \times \text{e}^{-x} \right]_0^a$ $=-2\text{e} \times \text{e}^{-a} + 2\text{e}$ $=2\text{e} – 2\text{e}^{1-a}$.
   Par conséquent $\lim\limits_{a \rightarrow -\infty} \mathcal{A}(a) = 2\text{e}$
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Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

1. $z_0 = 1 + \text{i}$ donc $a_0 = 1$ et $b_0 = 1$
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2. $z_1 = \dfrac{1+\text{i} + \sqrt{2}}{3} = \dfrac{1+\sqrt{2}}{3} + \dfrac{1}{3}\text{i}$
   donc $a_1 = \dfrac{1+\sqrt{2}}{3}$ et $b_1 = \dfrac{1}{3}$.
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3. $K$	$A$	$B$
   $1$	$0,8047$	$0,3333$
   $2$	$0,5586$	$0,1111$

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4. L’algorithme renvoie la valeur de $a_N$.
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Partie B

1. $z_{n+1} = \dfrac{a_n+\text{i}b_n+\sqrt{a_n^2+b_n^2}}{3} = \dfrac{a_n+\sqrt{a_n^2+b_n^2}}{3}+\dfrac{b_n}{3}\text{i}$
   Donc $a_{n+1} = \dfrac{a_n+\sqrt{a_n^2+b_n^2}}{3}$ et $b_{n+1}=\dfrac{b_n}{3}$
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2. La suite $(b_n)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $b_0 = 1$.
   Donc $b_n=\dfrac{1}{3^n}$. Or $-1 < \dfrac{1}{3} < 1$ alors $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} b_n=0$
   $~$
3. a. $|z_{n+1}| = \left|\dfrac{z_n+|z_n|}{3}\right| \le \dfrac{1}{3} \left(|z_n|+|z_n| \right)$.
   Donc $|z_{n+1}| \le \dfrac{2|z_n|}{3}$
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   b. Initialisation : $u_0 = \sqrt{2} \le 1 \times \sqrt{2}$
   La propriété est vraie au rang $0$.
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \le \left(\dfrac{2}{3} \right) ^n \sqrt{2}$
   Alors $u_{n+1} = |z_{n+1}| \le \dfrac{2|z_n|}{3}$
   Par conséquent $u_{n+1} \le \dfrac{2}{3}u_n \le \dfrac{2}{3} \times \left(\dfrac{2}{3} \right) ^n \sqrt{2}$.
   Donc $u_{n+1} \le \left(\dfrac{2}{3} \right) ^{n+1} \sqrt{2}$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle reste vraie au rang suivant.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n \le \left(\dfrac{2}{3} \right) ^n \sqrt{2}$
   $-1 < \dfrac{2}{3} < 1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left(\dfrac{2}{3} \right) ^n \sqrt{2} = 0$
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   De plus on a : $0 \le u_n \le \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \times \sqrt{2}$.
   D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.
   $\quad$
   c. $u_n = |z_n| = |a_n+\text{i}b_n| = \sqrt{a_n^2+b_n^2} \ge \sqrt{a_n^2}$ Donc $u_n \ge |a_n| > 0$
   Or $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = 0$
   D’après le théorème des gendarmes : $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} |a_n| = 0$ et $\lim\limits_{n \rightarrow} a_n = 0$.
   $~$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. $u_1=\dfrac{0+1}{2} = 0,5$ $\qquad v_1 = \dfrac{0 + 2\times 1}{3} = \dfrac{2}{3}$.
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2. a.
   

   $w$	$w$	$u$	$v$
   $1$	$0$	$0,5000$	$0,667$
   $2$	$0,5000$	$0,5833$	$0,6111$

   $~$
   b. Les valeurs affichées correspondent à $u_N$ et $v_N$.
   $~$

3. a. $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + \dfrac{1}{2}v_n$
   $b_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n+\dfrac{2}{3}v_n$
   Donc $X_{n+1} = AX_n$
   $~$
   b. Initialisation : Si $n=0$ alors $A^0X_0 = I_2X_0=X_0$. La propriété est vraie au rang $0$.
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $X_n = A^nX_0$
   Alors $X_{n+1} = AX_n = A\times A^nX_0 = A^{n+1}X_0$.
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $X_n = A^nX^0$
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4. a. $PP’ = \begin{pmatrix} 1&0 \\\\0&1 \end{pmatrix}$
   Initialisation : Si $n=0$ alors $P’B^0P = P’P = I_2 =A^0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $A^n = P’B^nP$
   Alors $A^{n+1} = A\times A^n = P’BP\times P’B^nP = P’B^{n+1}P$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   Conclusion : La propriété est vraie au rang 0. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
   Par conséquent, pour tout entier $n$, $A^n = P’B^nP$.
   $~$
   b. On a donc $A^n = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{10 \times 6^{n-1}} + \dfrac{2}{5}&- \dfrac{1}{10 \times 6^{n-1}} + \dfrac{3}{5} \\\\- \dfrac{1}{ 15 \times 6^{n-1}} + \dfrac{2}{5} &  \dfrac{1}{ 15 \times 6^{n-1}} + \dfrac{3}{5} \end{pmatrix}$
   $~$
5. a. $X_n = A^n \begin{pmatrix}0\\\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} – \dfrac{1}{10 \times 6^{n-1}} + \dfrac{3}{5} \\\\  \dfrac{1}{ 15 \times 6^{n-1}} + \dfrac{3}{5} \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} – \dfrac{3}{5 \times 6^{n}} + \dfrac{3}{5} \\\\  \dfrac{2}{ 5 \times 6^{n}} + \dfrac{3}{5} \end{pmatrix}$
   $~$
   Par conséquent $u_n = – \dfrac{3}{5 \times 6^{n}} + \dfrac{3}{5} $ et $v_n = – \dfrac{2}{5 \times 6^{n}} + \dfrac{3}{5} $
   $~$
   b. $-1 < \dfrac{1}{6} < 1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{6^n} = 0$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}v_n = \dfrac{3}{5}$.