Exercice 1

Partie A

1. Soit $a$ un réel tel que la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ soit solution de l’équation différentielle $(E)$.
   Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;+\infty[$ on a donc
   $g'(x)+\dfrac{1}{4}g(x)=20\e^{-x/4}$
   Or, pour tout réel $x\pg 0$ on a
   $\begin{align*} g'(x)&=a\e^{-x/4}-\dfrac{a}{4}x\e^{-x/4} \end{align*}$
   Par conséquent $a\e^{-x/4}-\dfrac{a}{4}x\e^{-x/4} +\dfrac{a}{4}x\e^{-x/4}=20\e^{-x/4}$
   soit, après simplification, $a\e^{-x/4}=20\e^{-x/4}\ssi a=20$ car $\e^{-x/4}$ ne s’annule jamais.
   $\quad$
2. $(E’)\ssi y’=-\dfrac{1}{4}y$.
   Ainsi les solutions de $(E’)$ sont les fonctions $f$ définies sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=K\e^{-x/4}$ pour tout $K\in \R$.
   $\quad$
3. Soit $f$ une solution de l’équation $(E)$.
   On a donc, pour tout réel $x\in [0;+\infty[$
   $f'(x)+\dfrac{1}{4}f(x)=20\e^{-x/4}$ et $g'(x)+\dfrac{1}{4}g(x)=20\e^{-x/4}$
   Ainsi, par différence, $f'(x)-g'(x)+\dfrac{1}{4}\left(f(x)-g(x)\right)=0$.
   Donc $f-g$ est solution de $(E’)$.
   Donc pour tout réel $x\pg 0$ on a $f(x)-g(x)=K\e^{-x/4}$ soit $f(x)=(20x+K)\e^{-x/4}$ où $K$ est un réel.
   $\quad$
   Réciproquement, soient $K$ un réel et $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=(20x+K)\e^{-x/4}$.
   Pour tout réel $x\pg 0$ on a
   $\begin{align*}g'(x)+\dfrac{1}{4}g(x)&=20\e^{-x/4}-\dfrac{1}{4}(20x+K)\e^{-x/4}+\dfrac{1}{4}(20x+K)\e^{-x/4} \\
   &=20\e^{-x/4}\end{align*}$
   $\quad$
   L’ensemble solution de $(E)$ est l’ensemble des fonctions $f$ définies sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=(20x+K)\e^{-x/4}$ pour tout réel $K$.
   $\quad$
4. $f$ est solution de $(E)$. Il existe donc un réel $K$ tel que, pour tout réel $x\pg 0$ on ait $f(x)=(20x+K)\e^{-x/4}$.
   Ainsi $f(0)=8\ssi K=8$.
   Par conséquent, pour tout réel $x\pg 0$ on a $f(x)=(20x+8)\e^{-x/4}$.
   $\quad$

Partie B

1. a. D’après l’énoncé la fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$.
   Pour tout réel $x\pg 0$ on a donc
   $\begin{align*} f'(x)&=20\e^{-x/4}-\dfrac{1}{4}(20x+8)\e^{-x/4} \\
   &=(20-5x-2)\e^{-x/4} \\
   &=(18-5x)\e^{-x/4}\end{align*}$
   $\quad$
   b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $18-5x$.
   Or $18-5x=0\ssi x=\dfrac{18}{5}$ et $18-5x>0\ssi -5x>-18\ssi x<\dfrac{18}{5}$.
   On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
   $\quad$
   $\quad$
   $\begin{align*} f\left(\dfrac{18}{5}\right)&=\left(20\times \dfrac{18}{5}+8\right)\e^{-\frac{1}{4}\times \dfrac{18}{5}} \\
   &=(72+8)\e^{-9/10} \\
   &=80\e^{-9/10}\end{align*}$
   $\quad$
2. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $\left[\dfrac{18}{5};+\infty\right[$ et donc sur $[14;15]$ car $14>\dfrac{18}{5}$.
   Or $f(14)\approx 8,7$ et $f(15)\approx 7,2$
   Par conséquent $8\in \left[f(15);f(14)\right]$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=8$ admet une unique solution sur l’intervalle $[14;15]$.
   $\quad$
   b. On obtient le tableau suivant :
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   a&14&14&14,25&14,375&14,4375\\
   \hline
   b&15&14,5&14,5&14,5&14,5\\
   \hline
   b-a&1&0,5&0,25&0,125&0,0625\\
   \hline
   m&14,5&14,25&14,375&14,4375&\colorbox{black}{$\phantom{\text{FAUX}}$} \\
   \hline
   \begin{array}{c}\text{Condition}\\f(m)>8\end{array}&\text{FAUX}&\text{VRAIE}&\text{VRAIE}&\text{VRAIE}&\colorbox{black}{$\phantom{\text{FAUX}}$} \\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   c. La fonction $\text{solution_equation}$ renvoie un encadrement d’amplitude au plus égale à $0,1$ de $\alpha$.
   $\quad$

Exercice 2

Partie A

1. a. Si on a pioché une boule blanche dans l’urne $U_1$ alors l’urne $U_2$ contient $1$ boule noire et $4$ boules blanches.
   Ainsi la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_2$ sachant qu’on a pioché une boule blanche dans l’urne $U_1$ est égale à $\dfrac{1}{5}=0,2$.
   $\quad$
   b. On obtient l’arbre de probabilités suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
2. On veut calculer :
   $\begin{align*}P\left(N_1\cap N_2\right)&=P\left(N_1\right)\times P_{N_1}\left(N_2\right) \\
   &=0,4\times 0,4 \\
   &=0,16\end{align*}$
   La probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_1$ et une boule noire dans l’urne $U_2$ est égale à $0,16$.
   $\quad$
3. $\left(N_1,\conj{N_1}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P\left(N_2\right)&=P\left(N_1\cap N_2\right)+P\left(\conj{N_1}\cap N_2\right) \\
   &=0,16+P\left(\conj{N_1}\right)\times P_{\conj{N_1}}\left(N_2\right) \\
   &=0,16+0,6\times 0,2 \\
   &=0,28\end{align*}$
   La probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_2$ est égale à $0,28$.
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_{N_2}\left(\conj{N_1}\right)&=\dfrac{P\left(N_2\cap \conj{N_1}\right)}{P\left(N_2\right)} \\
   &=\dfrac{0,12}{0,28} \\
   &=\dfrac{3}{7} \\
   &\approx 0,43\end{align*}$
   La probabilité d’avoir pioché une boule blanche dans l’urne $U_1$ sachant qu’on a pioché une boule noire dans l’urne $U_2$ est environ égale à $0,43$.
   $\quad$

Partie B

1. On répète $n$ fois, de façon indépendante, la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,28$.
   $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $0,28$.
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} 1-0,72^n\pg 0,9&\ssi -0,72^n\pg -0,1 \\
   &\ssi 0,72^n \pp 0,1 \\
   &\ssi n\ln(0,72) \pp \ln(0,1) \qquad \text{$\ln$ est strictement croissante sur $\R_+^*$} \\
   &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,72)}\end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,72)}\approx 7,01$.
   Ainsi le plus petit entier naturel $n$ tel que $1-0,72^n\pg 0,9$ est $8$.
   $\quad$
3. On a :
   $\begin{align*} P(X\pg 1)\pg 0,9&\ssi 1-P(X=0)\pg 0,9 \\
   &\ssi 1-0,72^n \pg 0,9\end{align*}$
   D’après la question précédente, la plus petite valeur de $n$ pour laquelle la probabilité de piocher au moins une boule noire dans l’urne $U_2$ est supérieure ou égale à $0,9$ est $8$.
   $\quad$

Partie C

1. On pioche simultanément $2$ boules dans l’urne $U_1$ qui en contient $10$.
   Il y a donc $\dbinom{10}{2}=45$ tirages possibles.
   $\quad$
2. Il y a $4$ choix possibles pour la boule noire et $6$ choix possibles pour la boule blanche. Il y a donc $24$ tirages possibles contenant exactement une boule blanche et une boule noire.
   $\quad$
3. On appelle :
   $\bullet$ $BB$ l’événement « Piocher deux boules blanches dans l’urne $U_1$ »
   $\bullet$ $BN$ l’événement « Piocher une boule blanche et une boule noire dans l’urne $U_1$ »
   $\bullet$ $NN$ l’événement « Piocher deux boules noires dans l’urne $U_1$ »
   Ainsi $(BB,BN,NN)$ forme un système complet d’événements fini.
   D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P\left(N_2\right)&=P\left(BB\cap N_2\right)+P\left(BN\cap N_2\right)+P\left(NN\cap N_2\right) \\
   &=P(BB)P_{BB}\left(N_2\right)+P(BN)P_{BN}\left(N_2\right)+P(NN)P_{NN}\left(N_2\right) \\
   &=\dfrac{\dbinom{6}{2}}{45}\times \dfrac{1}{6}+\dfrac{24}{45}\times \dfrac{2}{6}+\dfrac{\dbinom{4}{2}}{45}\times \dfrac{3}{6} \\
   &=\dfrac{3}{10}\end{align*}$
   Or $\dfrac{3}{10}>0,28$.
   La probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_2$ avec cette nouvelle expérience est supérieure à celle calculée dans la partie A.
   $\quad$

Exercice 3

1. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $-1\pp (-1)^n \pp 1$.
   Par conséquent $24\pp 25+(-1)^n\pp 26$ et $\dfrac{24}{n} \pp u_n \pp \dfrac{26}{n}$.Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{24}{n}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{26}{n}=0$
   D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
   Affirmation 1 fausse
   $\quad$
2. Soit $n$ un entier naturel.
   $\begin{align*} t_{n+1}&=\dfrac{k}{w_{n+1}} \\
   &=\dfrac{k\left(1+w_n\right)}{w_n} \\
   &=\dfrac{k}{w_n}+k \\
   &=t_n+k\end{align*}$
   La suite $\left(t_n\right)$ est donc arithmétique de raison $k$ (et de premier terme $t_0=k$).
   Or $k$ est un réel strictement positif.
   Ainsi, $\left(t_n\right)$ est une suite arithmétique strictement croissante.
   Affirmation 2 vraie
   $\quad$
3. On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\ln(1+x)-x$.
   $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intevalle.
   Pour tout réel $x\pg 0$ on a
   $\begin{align*}f'(x)&=\dfrac{1}{1+x}-1 \\
   &=\dfrac{-x}{1+x} \\
   &<0\end{align*}$
   La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
   Or $f(0)=0$.Ainsi, pour tout réel $x>0$, on a $f(x)<f(0)$ soit $f(x)<0$.
   Soit $n$ un entier naturel
   $\begin{align*}v_{n+1}-v_n&=\ln\left(1+v_n\right)-v_n \\
   &=f\left(v_n\right) \\
   &<0 \qquad \text{car, pour tout entier naturel $n$, } v_n>0\end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est strictement décroissante.
   Affirmation 3 vraie
   $\quad$
   Remarque : On pouvait également montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}<v_n$.
   $\quad$
4. Soit $n$ un entier naturel.
   On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[1;\e]$ définies par $$\begin{array}{lll}u(x)=\left(\ln(x)\right)^{n+1}&\phantom{1234}&u'(x)=\dfrac{n+1}{x}\left(\ln(x)\right)^n\\
   v(x)=x&\phantom{1234}&v'(x)=1 \end{array}$$
   Ainsi,
   $\begin{align*} I_{n+1}&=\int_1^{\e} \left(\ln(x)\right)^{n+1}\dx \\
   &=\Big[x\left(\ln(x)\right)^{n+1}\Big]_1^{\e}-\int_1^{\e}x\times \dfrac{n+1}{x}\left(\ln(x)\right)^n\dx \\
   &=\e-(n+1)\int_1^{\e}\left(\ln(x)\right)^n \dx \\
   &=\e-(n+1)I_n\end{align*}$
   Affirmation 4 vraie
   $\quad$

 

 

Exercice 4

1. Une représentation paramétrique de la droite $\left(d_1\right)$ est $\begin{cases} x=1+k\\y=2+2k\\z=-1\end{cases}$, pour tout réel $k$.
   $\quad$
2. Un vecteur directeur de $\left(d_2\right)$ est $\vect{u_2}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$.
   $\vect{u_1}$ et $\vect{u_2}$ ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
   Résolvons le système suivant :
   $\begin{align*} \begin{cases} x=0\\y=1+t\\z=2+t\\x=1+k\\y=2+2k\\z=-1\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=0\\1+k=0\\y=1+t\\1+t=2+2k\\z=-1\\-1=2+t\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=0\\k=-1\\t=-3\\z=-1\\y=1+t\\1-3=2-2\end{cases}\end{align*}$
   Cette dernière équation est impossible.
   Par conséquent $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ ne sont pas sécantes.
   Ainsi, ces deux droites ne sont pas coplanaires.
   $\quad$
3. On considère le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}-2\\1\\5\end{pmatrix}$.
   D’une part $\vec{n}.\vect{u_1}=-2+2+0=0$
   D’autre part $\vec{n}.\vec{w}=-4-1+5=0$
   Ainsi $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (ils n’ont pas la même composante nulle) du plan $\mathcal{P}$.
   C’est donc un vecteur normal à ce plan.
   Une équation cartésienne de $\mathcal{P}$ est donc de la forme $-2x+y+5z+d=0$ où $d$ est un réel.
   Le point $A(1;2;-1)$ appartient à ce plan.
   Par conséquent $-2+2-5+d=0 \ssi d=5$.
   Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est bien $-2x+y+5z+5=0$.
   $\quad$
4. a. $\vect{u_2}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $\left(d_2\right)$ et $\vec{n}\begin{pmatrix}-2\\1\\5\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
   Or $\vect{u_2}.\vec{n}=0+1+5\neq 0$
   Ces deux vecteurs ne sont pas orthogonaux.
   Par conséquent $\left(d_2\right)$ et $\mathcal{P}$ ne sont pas parallèles, c’est-à-dire qu’ils sont sécants.
   $\quad$
   b. Si on prend $t=-\dfrac{8}{3}$ dans la représentation paramétrique de $\left(d_2\right)$ alors $\begin{cases} x=0\\y=-\dfrac{5}{3}\\[2mm]z=-\dfrac{2}{3}\end{cases}$.
   Le point de coordonnées $\left(0;-\dfrac{5}{3};-\dfrac{2}{3}\right)$ appartient à la droite $\left(d_2\right)$.
   De plus
   $\begin{align*}-2\times 0-\dfrac{5}{3}-5\times \dfrac{2}{3}+5&=-\dfrac{5}{3}-\dfrac{10}{3}+\dfrac{15}{3} \\
   &=0\end{align*}$
   Le point de coordonnées $\left(0;-\dfrac{5}{3};-\dfrac{2}{3}\right)$ appartient au plan $\mathcal{P}$.
   Par unicité du point d’intersection, le point $F$ a pour coordonnées $\left(0;-\dfrac{5}{3};-\dfrac{2}{3}\right)$.
   $\quad$
5. a. On a $\vect{EF}\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3}\\[3mm]-\dfrac{1}{3}\\[3mm]\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
   On a $\vect{EF}.\vect{u_1}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}+0=0$
   et $ \vect{EF}.\vect{u_2}=0-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=0$
   La droite $(EF)$ est donc orthogonale aux droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$.
   Cependant $E$ appartient à $\left(d_1\right)$ et $F$ appartient à $\left(d_2\right)$.
   Ainsi $EF$ est la distance entre les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$.
   $\quad$
   b. D’après la question précédente :
   $\begin{align*} EF&=\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2} \\
   &=\sqrt{\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}} \\
   &=\sqrt{\dfrac{6}{9}} \\
   &=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\end{align*}$
   $\quad$

 

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. 
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées.

Exercice 1     (5 points)

PARTIE A

On considère l’équation différentielle $(E): y^{\prime}+\dfrac{1}{4} y=20 e^{-\frac{1}{4} x}$, d’inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$.

1. Déterminer la valeur du réel $a$ tel que la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$ par $g(x)=a x \e^{-\frac{1}{4} x}$ soit une solution particulière de l’équation différentielle $(E)$.
   $\quad$
2. On considère l’équation différentielle $\left(E^{\prime}\right): y^{\prime}+\dfrac{1}{4} y=0$, d’inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $\left(E^{\prime}\right)$.
   $\quad$
3. En déduire les solutions de l’équation différentielle $(E)$.
   $\quad$
4. Déterminer la solution $f$ de l’équation différentielle $(E)$ telle que $f(0)=8$.
   $\quad$

PARTIE B

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$ par $f(x)=(20 x+8) \e^{-\frac{1}{4} x}$. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$ et on note $f^{\prime}$, sa fonction dérivée sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$. De plus, on admet que $\lim _{x \to+\infty} f(x)=0$.

1. a. Justifier que, pour tout réel $x$ positif, $f^{\prime}(x)=(18-5 x) \e^{-\frac{1}{4} x}$.
   $\quad$
   b. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. On précisera la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$.
   $\quad$
2. Dans cette question on s’intéresse à l’équation $f(x)=8$.
   a. Justifier que l’équation $f(x)=8$ admet une unique solution, notée $\alpha$, dans l’intervalle $[14 ; 15]$.
   $\quad$
   b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction $\texttt{solution_equation}$ ci-dessous également, écrite en langage Python.
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   a&14&&&&\\
   \hline
   b&15&&&&\\
   \hline
   b-a&1&&&&\\
   \hline
   m&14,5&&&&\colorbox{black}{$\phantom{\text{FAUX}}$} \\
   \hline
   \begin{array}{c}\text{Condition}\\f(m)>8\end{array}&\text{FAUX}&\phantom{\text{FAUX}}&\phantom{\text{FAUX}}&\phantom{\text{FAUX}}&\colorbox{black}{$\phantom{\text{FAUX}}$} \\
   \hline
   \end{array}$
   
   Python

   def f(x): return (20*x+8)*exp(-1/4*x) def solution_equation(): a, b = 14, 15 while b-a > 0.1: m = (a+b)/2 if f(m) > 8: a = m else: b = m return a, b

   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

   def f(x):     return (20*x+8)*exp(-1/4*x)   def solution_equation():     a, b = 14, 15     while b-a > 0.1:         m = (a+b)/2         if f(m) > 8:             a = m         else:             b = m     return a, b

   
   $\quad$
   c.  Quel est l’objectif de la fonction $\texttt{solution_equation}$ dans le contexte de la question?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (6 points)

On dispose de deux urnes opaques $U_{1}$ et $U_{2}$. L’urne $U_{1}$ contient $4$ boules noires et $6$ boules blanches. L’urne $U_{2}$ contient $1$ boule noire et $3$ boules blanches. On considère l’expérience aléatoire suivante : On pioche au hasard une boule dans $U_{1}$ que l’on place dans $U_{2}$, puis on pioche au hasard une boule dans $U_{2}$.

On note :

• $N_{1}$ l’événement «Piocher une boule noire dans l’urne $U_{1}$ ».
• $N_{2}$ l’événement «Piocher une boule noire dans l’urne $U_{2}$ ».

Pour tout événement $A$, on note $\conj{A}$ son événement contraire.

PARTIE A

1. On considère l’arbre de probabilités ci-dessous.
   $\quad$
   
   $\quad$
   a. Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_{2}$ sachant qu’on a pioché une boule blanche dans l’urne $U_{1}$, est $0,2$.
   $\quad$
   b. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessus, en faisant apparaître sur chaque branche les probabilités des événements concernés, sous forme décimale.
   $\quad$
2. Calculer la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_{1}$ et une boule noire dans l’urne $U_{2}$.
   $\quad$
3. Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_{2}$ est égale à $0,28$.
   $\quad$
4. On a pioché une boule noire dans l’urne $U_{2}$. Calculer la probabilité d’avoir pioché une boule blanche dans l’urne $U_{1}$. On donnera le résultat sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$.
   $\quad$

PARTIE B

$n$ désigne un entier naturel non nul. L’expérience aléatoire précédente est répétée $n$ fois de façon identique et indépendante, c’est-à-dire que les urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement $4$ boules noires et $6$ boules blanches dans l’urne $U_{1}$ et $1$ boule noire et $3$ boules blanches dans l’urne $U_{2}$, entre chaque expérience.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où on pioche une boule noire dans l’urne $U_{2}$.

On rappelle que la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_{2}$ est égale à $0,28$ et celle de piocher une boule blanche dans l’urne $U_{2}$ est égale à $0,72$.

1. Déterminer la loi de probabilité suivie par $X$. Justifier votre réponse.
   $\quad$
2. Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel $n$ tel que : $1-0,72^{n} \pg 0,9$.
   $\quad$
3. Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’expérience.
   $\quad$

PARTIE C

Dans cette partie les urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement $4$ boules noires et $6$ boules blanches dans l’urne $U_{1}$ et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l’urne $\mathrm{U}_{2}$.

On considère la nouvelle expérience aléatoire suivante : On pioche simultanément deux boules dans l’urne $\mathrm{U}_{1}$ que l’on place dans l’urne $\mathrm{U}_{2}$, puis on pioche au hasard une boule dans l’urne $U_{2}$.

1. Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l’urne $U_{1}$ ?
   $\quad$
2. Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l’urne $U_{1}$ contenant exactement une boule blanche et une boule noire ?
   $\quad$
3. La probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_{2}$ avec cette nouvelle expérience est-elle supérieure à la probabilité de tirer une boule noire dans l’urne $U_{2}$ avec l’expérience de la partie A ? Justifier votre réponse. On pourra s’aider d’un arbre pondéré modélisant cette expérience.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (4 points)

Répondre par VRAI ou FAUX à chacune des affirmations suivantes et justifier votre réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte dans la notation. Toutes les questions de cet exercice sont indépendantes.

1. On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par $u_{n}=\dfrac{25+(-1)^{n}}{n}$.
   Affirmation 1 : La suite $\left(u_{n}\right)$ est divergente.
   $\quad$
2. On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\begin{cases}w_{0}=1 \\ w_{n+1}=\dfrac{w_{n}}{1+w_{n}}\end{cases}$. On admet que pour tout entier naturel $n,~ w_{n}>0$.
   On considère la suite $\left(t_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $t_{n}=\dfrac{k}{w_{n}}$ où $k$ est un nombre réel strictement positif.
   Affirmation 2 : La suite $\left(t_{n}\right)$ est une suite arithmétique strictement croissante.
   $\quad$
3. On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\begin{cases}v_{0}=1 \\ v_{n+1}=\ln \left(1+v_{n}\right)\end{cases}$. On admet que pour tout entier naturel $n, v_{n}>0$.
   Affirmation 3 : La suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante.
   $\quad$
4. On considère la suite $\left(I_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_{n}=\ds \int_{1}^{x}(\ln (x))^{n} \dx$.
   Affirmation 4 : Pour tout entier naturel $n, I_{n+1}=\e-(n+1) I_{n}$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (5 points)

L’objectif de cet exercice est de déterminer la distance entre deux droites non coplanaires. Par définition, la distance entre deux droites non coplanaires de l’espace, $\left(d_{1}\right)$ et $\left(d_{2}\right)$ est la longueur du segment $[EF]$, où $E$ et $F$ sont des points appartenant respectivement à $\left(d_{1}\right)$ et à $\left(d_{2}\right)$ tels que la droite $(EF)$ est orthogonale à $\left(d_{1}\right)$ et à $\left(d_{2}\right)$.

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

Soit $\left(d_{1}\right)$, la droite passant par $A(1 ; 2 ;-1)$ de vecteur directeur $\vect{u_{1}}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}$ et $\left(d_{2}\right)$ la droite dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases}x=0 \\ y=1+t, t \in \R \\ z=2+t\end{cases}$

1. Donner une représentation paramétrique de la droite $\left(d_{1}\right)$.
   $\quad$
2. Démontrer que les droites $\left(d_{1}\right)$ et $\left(d_{2}\right)$ sont non coplanaires.
   $\quad$
3. Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $A$ et dirigé par les vecteurs non colinéaires $\vect{u_{1}}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$. Justifier qu’une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est : $-2 x+y+5z+5=0$.
   $\quad$
4. a. Sans chercher à calculer les coordonnées du point d’intersection, justifier que la droite $\left(d_{2}\right)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants.
   $\quad$
   b. On note $F$ le point d’intersection de la droite $\left(d_{2}\right)$ et du plan $\mathcal{P}$. Vérifier que le point $F$ a pour coordonnées $\left(0 ;-\dfrac{5}{3} ;-\dfrac{2}{3}\right)$.
   $\quad$

Soit $(\delta)$ la droite passant par $F$ et de vecteur directeur $\vec{w}$. On admet que les droites $(\delta)$ et $\left(d_{1}\right)$ sont sécantes en un point $E$ de coordonnées $\left(-\dfrac{2}{3} ;-\dfrac{4}{3} ;-1\right)$.

5. a.  Justifier que la distance $EF$ est la distance entre les droites $\left(d_{1}\right)$ et $\left(d_{2}\right)$.
   $\quad$
   b. Calculer la distance entre les droites $\left(d_{1}\right)$ et $\left(d_{2}\right)$.
   $\quad$

$\quad$