Exercice 1

1. $\quad$
   $\begin{align*} f'(x)&=\ln(x)+\dfrac{x}{x}-1 \\
   &=\ln(x)+x-1\\
   &=\ln(x)
   \end{align*}$
   Réponse b
   $\quad$
2. $\quad$
   $\begin{align*} 6\times 0,95^n-1 \pp 2 &\ssi 6 \times 0,95^n \pp 3 \\
   &\ssi 0,95^n \pp 0,5 \\
   &\ssi n\ln(0,95) \pp \ln(0,5) \\
   &\ssi n \pg \dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,95)}
   \end{align*}$
   Réponse d
   $\quad$
3. $n=1~000 \pg 30$ et $f=\dfrac{954}{1~000}$
   Donc $nf=954 \pg 5$ et $n(1-f)=46 \pg 5$
   Un intervalle de confiance au niveau de confiance de $95\%$ est :
   $\begin{align*} I_{1~000}&=\left[0,954-\dfrac{1}{\sqrt{1~000}};0,954+\dfrac{1}{\sqrt{1~000}}\right] \\
   &\approx [0,922;0,986]
   \end{align*}$
   Réponse a
   $\quad$
4. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de fois où l’archer touche la cible.
   L’expérience est répétée $6$ fois. Lestirs sont indépendants, identiques et aléatoires. A chaque tir il y a deux issues : il touche la cible, avec une probabilité de $0,8$, ou il ne la touche pas.
   La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=6$ et $p=0,8$.
   On veut détermine $P(X=3)=\displaystyle \binom{6}{3}0,8^3\times 0,2^3 = 0,081~92$
   Réponse d
   $\quad$

Exercice 2

1. a. En juin 2017, on peut estimer qu’il y aura $27~500-150=27~350$ étudiants dans cette université.
   $\quad$
   b. En septembre 2017, l’université devrait donc avoir $1,04\times 27~350=28~444$ étudiants.
   $\quad$
2. En juin de l’année $n$ il reste $u_n-150$ étudiants.
   En septembre de l’année suivante on a donc :
   $\begin{align*} u_{n+1}&=1,04\left(u_n-150\right) \\
   &=1,04u_n-156\end{align*}$
   $\quad$
3. L5 : Tant que $U \pp 33~000$ faire
   L6: $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
   L7 : $\qquad$ $n$ prend la valeur $1,04\times U-156$
   L9 : Afficher $2016+n$
   $\quad$
4. a.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   &\text{Initialisation}&\text{Etape }1&\text{Etape }2&\text{Etape }3&\text{Etape }4&\text{Etape }5&\text{Etape }6 \\
   \hline
   \text{Valeur de }n&0&1&2&3&4&5&6\\
   \hline
   \text{Valeur de }U&27~500&28~444&29~426&30~447&31~509&32~613&33~762\\
   \hline
   \end{array}$
   b. L’algorithme affichera donc $6$.
   $\quad$
5. a. On a $u_n=v_n+3~900$
   $\begin{align*} v_{n+1} &=u_{n+1}-3~900 \\
   &=1,04u_n-156-3~900\\
   &=1,04u_n-4~056\\
   &=1,04\left(v_n+3~900\right)-4~056 \\
   &=1,04v_n+4~056-4~056\\
   &=1,04v_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $v_0=27~500-3~900=23~600$.
   $\quad$
   b. On a donc $v_n=23~600\times 1,04^n$
   Ainsi $u_n=v_n+3~900=23~600\times 1,04^n+3~900$.
   $\quad$
   c. $1,04>1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 1,04^n =+\infty$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n =+\infty$.
   Cela signifie donc que le nombre d’étudiants de cette université dépassera toutes les limites de capacité qu’on pourra se fixer.
   $\quad$

Exercice 3

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

Partie A

1. $\quad$
   
2. On veut calculer $p\left(I\cap \conj{T}\right)=0,01\times 0,8=0,008$
   $\quad$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} p(T)&=p(T\cap I)+p\left(T\cap \conj{I}\right) \\
   &=0,01\times 0,2+0\\
   &=0,002
   \end{align*}$
   $\quad$

Partie B

1. $P(9\pp X\pp 13)\approx 0,383$ d’après la calculatrice.
   $\quad$
2. $P(X \pp 6)=0,5-P(6\pp X \pp 11)\approx 0,106$
   $\quad$
3. A l’aide de la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve que $a\approx 15$ pour que $P(X \pp a)=0,84$
   Cela signifie donc que $84\%$ des personnes atteintes de la maladie cœliaque ont attendu au plus $15$ ans pour être diagnostiqué après l’apparition des premiers symptômes.
   $\quad$
4. On a $\mu=11$ : cela exclut la courbe 1.
   On sait que $P(9\pp X\pp 13)\approx 0,383$
   Chaque petit rectangle possède une aire de $0,02$ u.a.
   L’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe 3 et les droites d’équation $x=9$ et$x=13$ est inférieure à $16\times 0,02=0,32$. Cela exclut donc la courbe 3.
   La courbe 2 représente donc la fonction de densité de cette loi normale.
   $\quad$

 

Exercice 3

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. a. Le graphe possède $9$ sommets, il est donc d’ordre $9$.
   $\quad$
   b. La chaîne $D-M-H-R-B-V-G-L-J$ permet de passer par tous les sommets. Le graphe est donc connexe.
   $\quad$
   c. Les sommets $H$ et $G$ ne sont pas adjacents. Le graphe n’est pas complet.
   $\quad$
2. Déterminons le degré de chacun des sommets.
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   \text{Sommet}&B&D&G&H&J&L&M&R&V\\
   \hline
   \text{Degré}&2&1&3&2&3&4&5&3&5\\
   \hline
   \end{array}$
   Plus de deux sommets ont un degré impair.
   Le graphe ne possède pas de chaîne eulérienne.
   Sarah ne pourra pas emprunter toutes les routes une et une seule fois.
   $\quad$
3. a. Les coefficients manquants sont $\begin{matrix}0&1&0\\
   1&0&1\\
   1&0&1
   \end{matrix}$
   $\quad$
   b. Le nombre de chemins de longueur $4$ permettant d’aller de $B$ à $D$ est ${M_{(1,2)}}^4=3$
   Il s’agit des chemins : $B-R-H-M-D$, $B-V-L-M-D$ et $B-V-J-M-D$.
   $\quad$
4. A l’aide de l’algorithme de Dijkstra on obtient :
   $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
   B&D&G&H&J&L&M&R&V&\text{Sommet}\\
   \hline
   0&&&&&&&&&B\\
   \hline
   &&&&&&&50(B)&220(B)&R\\
   \hline
   &&150(R)&272(R)&&&&&220(B)&G\\
   \hline
   &&&272(R)&&291(G)&&&220(B)&V\\
   \hline
   &&&272(R)&412(V)&291(G)&670(V)&&&H\\
   \hline
   &&&&412(V)&291(G)&567(H)&&&L\\
   \hline
   &&&&412(V)&&567(H)&&&J\\
   \hline
   &&&&&&567(H)&&&M\\
   \hline
   &617(M)&&&&&&&&D\\
   \hline
   \end{array}$
   Le plus court chemin permettant d’aller de $B$ à $D$ est le chemin $B-R-H-M-D$. Il faut parcourir $617$ km.
   $\quad$

 

Exercice 4

Partie A : Étude graphique

1. $f'(3)$ est égal au coefficient directeur de cette tangente.
   Donc $f'(3)=\dfrac{0-4}{4-3}=-4$.
   $\quad$
2. D’après le graphique on a :
   

Partie B : Étude théorique

1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0,7;6]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
   $\begin{align*} f'(x)&=(2x-2)\e^{-2x+6}-2(x^2-2x+1)\e^{-2x+6} \\
   &=\left(2x-2-2x^2+4x-2\right)\e^{-2x+6} \\
   &=\left(-2x^2+6x-4\right)\e^{-2x+6}
   \end{align*}$
   $\quad$
2. La fonction exponentielle est strictement positive.
   Par conséquent le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-2x^2+6x-4$.
   $\Delta = 6^2-4\times (-2)\times (-4)=4>0$
   Il y a donc deux racines réelles :
   $x_1=\dfrac{-6-\sqrt{4}}{-4}=2$ et $x_2=\dfrac{-6+\sqrt{4}}{-4}=1$.
   On a $a=-2<0$. $f'(x)$ est donc positif sur l’intervalle $[1;2]$ et négatif en dehors de cet intervalle.
   On obtient donc le tableau de variation suivant :
   $\quad$
3. a. La fonction $f$ est concave si, et seulement si, $f^{\prime\prime}(x)<0$.
   D’après les lignes L3 et L4 du logiciel on a
   $f^{\prime\prime}(x)<0 \ssi x\in\left]\dfrac{-\sqrt{2}+4}{2};\dfrac{\sqrt{2}+4}{2}\right[$
   $\quad$
   b. $f$ admet des points d’inflexion si $f^{\prime\prime}(x)$ change de signe en s’annulant.
   D’après la ligne L4 du logiciel, la fonction $f$ possède deux points d’inflexion dont les abscisses sont $\dfrac{-\sqrt{2}+4}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{2}+4}{2}$.
   $\quad$
   c. On a
   $\begin{align*} \displaystyle I&=\int_3^5 f(x)\dx \\
   &=F(5)-F(3)
   &=\dfrac{1}{4}(-50+10-1)\e^{-4}-\dfrac{1}{4}(-18+6-1)\e^{0} \\
   &=\dfrac{-41\e^{-4}+13}{4} \\
   &\approx 3,1
   \end{align*}$

Exercice 1    4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) = x \ln (x)-x$. On note $f’$ sa fonction dérivée.
   On a alors :
   a. $f'(x) = 0$
   b. $f'(x) = \ln (x)$
   c. $f'(x) = \dfrac{1}{x}- 1$
   d. $f'(x) = \dfrac{1}{x}-x$
   $\quad$
2. Les entiers naturels $n$ vérifiant l’inéquation $6 \times 0,95^n-1 \pp 2$ appartiennent à l’intervalle :
   a. $\left]-\infty;\dfrac{\ln 3}{\ln (5,7)}\right]$
   b. $\left]-\infty;\ln \left(\frac{0,5}{0,95}\right)\right]$
   c. $\left]-\infty;\dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,95)}\right]$
   d. $\left[\dfrac{\ln (0,5)}{\ln (0,95)};+ \infty\right[$
   $\quad$
3. Une entreprise fabrique des tubes métalliques de longueur $2$ m.
   Un tube métallique est considéré comme étant dans la norme si sa longueur est comprise entre $1,98$ m et $2,02$ m. On prélève au hasard un échantillon de $1~000$ tubes, on observe que $954$ tubes sont dans la norme.
   L’intervalle de confiance de la fréquence des tubes dans la norme pour cette entreprise au niveau de confiance de $95\%$, avec les bornes arrondies à $10^{-3}$, est :
   a. $[0,922;0,986]$
   b. $[0,947;0,961]$
   c. $[1,98;2,02]$
   d. $[0,953;0,955]$
   $\quad$
4. Pour un archer, la probabilité d’atteindre la cible est de $0,8$. Les tirs sont supposés indépendants.
   Quelle est la probabilité qu’il touche $3$ fois la cible sur une série de $6$ tirs ?
   a. $0,512$
   b. $2,4$
   c. $0,262~144$
   d. $0,081~92$
   $\quad$

Exercice 2    5 points

Une grande université, en pleine croissance d’effectifs, accueillait $27~500$ étudiants en septembre 2016.
Le président de l’université est inquiet car il sait que, malgré une gestion optimale des locaux et une répartition des étudiants sur les divers sites de son université, il ne pourra pas accueillir plus de $33~000$ étudiants.
Une étude statistique lui permet d’élaborer un modèle de prévisions selon lequel, chaque année :

• $150$ étudiants démissionnent en cours d’année universitaire (entre le 1$^{\text{er}}$ septembre et le 30 juin) ;
• les effectifs constatés à la rentrée de septembre connaissent une augmentation de $4\%$ par rapport à ceux du mois de juin qui précède.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d’étudiants estimé selon ce modèle à la rentrée de septembre $2016+n$, on a donc $u_0 = 27~500$.

1. a. Estimer le nombre d’étudiants en juin 2017.
   $\quad$
   b. Estimer le nombre d’étudiants à la rentrée de septembre 2017.
   $\quad$
2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = 1,04u_n-156$.
   $\quad$
3. Recopier et compléter les lignes $\text{L5}$, $\text{L6}$, $\text{L7}$ et $\text{L9}$ de l’algorithme suivant afin qu’il donne l’année à partir de laquelle le nombre d’étudiants à accueillir dépassera la capacité maximale de l’établissement.
   $\begin{array}{lll}
   \text{L1}& \textbf{Variables :} &n \text{ est un nombre entier naturel}\\
   \text{L2}& &U \text{ est un nombre réel}\\
   \text{L3}& \textbf{Traitement :}&n \text{ prend la valeur } 0\\
   \text{L4}& &U \text{ prend la valeur } 27~500\\
   \text{L5}& &\text{Tant que } U \pp \ldots\ldots \ldots \text{ faire}\\
   \text{L6}& & \quad n \text{ prend la valeur } \ldots\ldots\ldots\\
   \text{L7}& & \quad U \text{ prend la valeur } \ldots\ldots\ldots\\
   \text{L8}& &\text{Fin Tant que}\\
   \text{L9}& \textbf{Sortie:} &\text{Afficher} \ldots\ldots\ldots\\
   \end{array}$
   $\quad$
4. a. On fait fonctionner cet algorithme pas à pas.
   Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant le nombre nécessaire de colonnes; on arrondira les valeurs de $U$ à l’unité.
   $\begin{array}{|l|l|l|l|}
   \hline
   &\text{Initialisation} &\text{Étape 1} &\ldots\\
   \hline
   \text{Valeur de } n& 0 &\ldots&\\
   \hline
   \text{Valeur de } U& 27~500&\ldots&\\
   \hline
   \end{array}$
   $\quad$
   b. Donner la valeur affichée en sortie de cet algorithme.
   $\quad$
5. On cherche à calculer explicitement le terme général $u_n$ en fonction de $n$.
   Pour cela, on note $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n-3~900$.
   a. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
   $\quad$
   b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 23~600\times 1,04^n + 3~900$.
   $\quad$
   c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et en donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$

Exercice 3    5 points

Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L

D’après l’AFDIAG (Association Française Des Intolérants au Gluten), la maladie cœliaque, aussi appelée intolérance au gluten, est une des maladies digestives les plus fréquentes. Elle touche environ $1\%$ de la population.
On estime que seulement $20\%$ des personnes intolérantes au gluten passent le test pour être diagnostiquées.
On considère que si une personne n’est pas intolérante au gluten, elle ne passe pas le test pour être diagnostiquée.
On choisit au hasard une personne dans la population française qui compte environ $66,6$ millions d’habitants au 1$^{\text{er}}$ janvier 2016.
On considère les événements:

• $I$ : “la personne choisie est intolérante au gluten” ;
• $T$ : “la personne choisie passe le test pour être diagnostiquée”.

Partie A

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous :
   
2. Calculer la probabilité que la personne choisie soit intolérante au gluten et ne passe pas le test pour être diagnostiquée.
   $\quad$
3. Montrer que $p(T) = 0,002$.
   $\quad$

Partie B

L’AFDIAG a fait une enquête et a constaté que la maladie cœliaque était diagnostiquée en moyenne 11 ans après les premiers symptômes.

On note $X$ la variable aléatoire représentant le temps en années mis pour diagnostiquer la maladie cœliaque à partir de l’apparition des premiers symptômes.
On admet que la loi de $X$ peut être assimilée à la loi normale d’espérance $\mu = 11$ et d’écart-type $\sigma = 4$.

1. Calculer la probabilité que la maladie soit diagnostiquée entre $9$ ans et $13$ ans après les premiers symptômes. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
   $\quad$
2. Calculer $p(X \pp 6)$. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
   $\quad$
3. Sachant que $p(X \pp a) = 0,84$, donner la valeur de $a$ arrondie à l’unité.
   Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
   $\quad$
4. Laquelle de ces trois courbes représente la fonction de densité de la loi normale d’espérance $\mu = 11$ et d’écart-type $\sigma = 4$ ? Justifier le choix. On pourra s’aider des réponses aux questions précédentes.
   

$\quad$

Exercice 3    4 points

Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité

Sarah, une jeune étudiante en géologie, souhaite partir en voyage en Islande avec des amis. Elle a loué une voiture tout terrain pour pouvoir visiter les lieux remarquables qu’elle a sélectionnés.
Sarah a construit le graphe ci-dessous dont les sommets représentent les lieux à visiter et les arêtes représentent les routes ou pistes:

B : Le lagon bleu.
D : Chute d’eau de Dettifoss.
G : Geyser de Geysir.
H : Rocher Hvitserkur.
J : Lagune glacière de Jökulsárlón.
L : Massif du Landmannalaugar.
M : Lac de Mývatn.
R : Capitale Reykjavik.
V: Ville de Vik.

1. Dans cette question, chaque réponse sera justifiée.
   a. Déterminer l’ordre du graphe.
   $\quad$
   b. Déterminer si le graphe est connexe.
   $\quad$
   c. Déterminer si le graphe est complet.
   $\quad$
2. Sarah désire emprunter toutes les routes une et une seule fois. Déterminer, en justifiant, si cela est possible.
   $\quad$
3. On appelle $M$ la matrice associée au graphe précédent sachant que les sommets sont placés dans l’ordre alphabétique. On donne ci-dessous une partie de la matrice $M$ ainsi que la matrice $M^4$ : $$M = \begin{pmatrix}
   0 &0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 \\
   0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &0 \\
   0 &0 &0 &0 &0 &1 &0 &1 &1 \\
   0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0 \\
   0 &0 &0 &0 &0 &0 &1 &1 &0\\
   0 &0 &1 &0 &1 &0 &1 &0 &1\\
   \ldots&\ldots&\ldots&1 &1 &1 &0 &0 &1\\
   \ldots&\ldots&\ldots&1 &0 &0 &0 &0 &0\\
   \ldots&\ldots&\ldots&0 &1 &1 &1 &0 &0
   \end{pmatrix}$$
   $$ M^4=\begin{pmatrix}
   12 &3 &16 &8 &14 &13 &15 &2 &10\\
   3 &5 &5 &6 &9 &11 &6 &3 &12\\
   16 &5 &24 &11 &23 &21 &26 &5 &20\\
   8 &6 &11 &10 &13 &14 &9 &3 &14\\
   14 &9 &23 &13 &28 &29 &29 &8 &30\\
   13 &11&21 &14 &29 &38 &32 &15 &40\\
   15 &6 &26 &9 &29 &32 &43 &14 &34\\
   2 &3 &5 &3 &8 &15 &14 &15 &21\\
   10 &12&20 &14 &30 &40 &34 &21 &49
   \end{pmatrix}$$
   a. Il manque certains coefficients de la matrice $M$. Compléter et recopier uniquement la partie manquante de cette matrice.
   $\quad$
   b. Donner, en le justifiant, le nombre de chemins de longueur $4$ permettant d’aller de B à D.
   $\quad$
4. Sur le graphe pondéré ci-dessous, on a indiqué sur les arêtes les distances en kilomètre entre les différents lieux :
   
   Déterminer à l’aide de l’algorithme de Dijkstra la distance minimale permettant d’aller du sommet B (Lagon bleu) au sommet D (Chute d’eau de Dettifoss).
   Préciser alors le trajet à emprunter.
   $\quad$

Exercice 4    6 points

Soit $f$ une fonction définie sur l’intervalle $[0,7;6]$ ; on suppose que $f$ est dérivable.

Partie A: Étude graphique

On a représenté la fonction $f$ sur le graphique ci-dessous.

1. La tangente au point d’abscisse $3$ à la courbe représentative de $f$ passe par les points $A(3;4)$ et $B(4;0)$. Déterminer $f'(3)$.
   $\quad$
2. D’après le graphique ci-dessus, donner le tableau de signe de $f’$ sur l’intervalle $[0,7;6]$ .
   $\quad$

Partie B : Étude théorique

On admet que la fonction $f$ est définie par $f(x) = \left(x^2-2x +1\right)\e^{-2x+6}$.

1. Montrer que $f'(x) = \left(-2x^2+6x-4\right)\e^{-2x+6}$ , où $f’$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
   $\quad$
2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,7;6]$ et dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,7;6]$. On ne demande pas de calculer les ordonnées.
   $\quad$
3. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci-dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés.
   $\begin{array}{|l|l|}
   \hline
   L1 &f'(x) := \left(- 2x\hat~ 2+6x-4\right ) * \e\hat~ (-2x+6)\\
   &\to f'(x) = \left(-2x^2+6x-4\right )\e^{-2x+6}\\
   \hline
   L2 &g(x) := \text{Dérivée}[f'(x)]\\
   &\to g(x) = -16x\e^{-2x+6}+4x^2\e^{-2x+6}+14\e^{-2x+6}\\
   \hline
   L3 & \text{Factoriser}[g(x)]\\
   &\to 2\e^{-2x+6}\left(2x^2-8x+7\right)\\
   \hline
   L4 & \text{Résoudre}[g(x) = 0]\\
   &\to \left\{x =\dfrac{-\sqrt{2}+4}{2};x =\dfrac{\sqrt{2}+4}{2}\right\}\\
   \hline
   L5 & F(x) := \text{Primitive}[f(x)]\\
   &\to F(x) = \dfrac{1}{4}\left(-2x^2+2x-1\right)\e^{-2x+6}\\
   \hline
   \end{array}$
   a. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est concave.
   $\quad$
   b. La courbe représentative de la fonction $f$ admet-elle des points d’inflexion ? Si oui, en donner l’abscisse.
   $\quad$
   c. On pose $I = \displaystyle\int_3^5 f(x)\dx$. Calculer la valeur exacte de $I$ puis la valeur arrondie à $10^{-1}$.
   $\quad$