Bac général – Spécialité mathématiques – Sujet 0

Spécialité mathématiques – Sujet 0

Bac général – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $-1<\dfrac{1}{4} < 1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0$ par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=1$.
    Or, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n \pp w_n \pp v_n$
    D’après le théorème des gendarmes on a donc $\lim\limits_{n\to +\infty} w_n=1$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. La fonction $x\mapsto \e^{x^2}$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$^.
    $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^{x^2}+x\times 2x\e^{x^2} \\
    &=\e^{x^2}\left(1+2x^2\right)
    \end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  3. En utilisant la limite des termes de plus haut degré on obtient :
    $\begin{align*} \lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x^2-1}{2x^2-2x+1} &=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x^2}{2x^2} \\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  4. La fonction $h$ est continue sur l’intervalle $[0;1]$.
    On sait que $h(0)=2$ et $h(1)=0$. Or $1\in[0;2]$.
    D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $h(x)=1$ possède au moins une solution dans l’intervalle $[0;1]$.
    Réponse c
    $\quad$
  5. La fonction $g’$ est croissante sur l’intervalle $[1;2]$. Par conséquent $g$ est convexe sur cet intervalle.
    Réponse c
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Graphiquement, le point $I$ a pour coordonnées $(0,5;0;1)$ et le point $J$ a pour coordonnées $(2;0;1)$.
    $\quad$
    b. Le point $B$ a pour coordonnées $(1;0;0)$. Le point $D$ a pour coordonnées $(0;1;0)$. Le point $G$ a pour coordonnées $(1;1;1)$
    Donc :
    $\bullet$ $\vect{DJ}$ a pour coordonnées $(2;-1;1)$;
    $\bullet$ $\vect{BI}$ a pour coordonnées $(-0,5;0;1)$;
    $\bullet$ $\vect{BG}$ a pour coordonnées $(0;1;1)$.
    $\quad$
    c. Les vecteurs $\vect{BI}$ et $\vect{BG}$ ne sont clairement pas colinéaires (ils n’ont pas la même coordonnée nulle).
    D’une part $\vect{DJ}.\vect{BI}=-1+0+1=0$
    D’autre part $\vect{DJ}.\vect{BG}=0-1+1=0$
    $\vect{DJ}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BGI)$. Il est donc normal à ce plan.
    $\quad$
    d. Une équation cartésienne du plan $(BGI)$ est donc de la forme $2x-y+z+d=0$
    $B(1;0;0)$ appartient au plan $(BGI)$ donc $2-0+0+d=0 \ssi d=-2$.
    Ainsi, une équation cartésienne du plan $(BGI)$ est $2x-y+z-2=0$.
    $\quad$
  2. a. $d$ est orthogonale au plan $(BGI)$. $\vect{DJ}$ est donc un vecteur directeur de cette droite.
    Le point $F$ a pour coordonnées $(1;0;1)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $d$ est donc $\begin{cases} x=1+2k\\y=-k\\z=1+k\end{cases}, \qquad k\in \R$.
    $\quad$
    b. En prenant $k=-\dfrac{1}{6}$ on obtient $1+2k=\dfrac{2}{3}$, $-k=\dfrac{1}{6}$ et $1+k=\dfrac{5}{6}$. Donc $L$ appartient à la droite $d$.
    $\quad$
    $2\times \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}-2=\dfrac{4}{3}+\dfrac{2}{3}-2=0$ donc $L$ appartient au plan $(BGI)$.
    $\quad$
    La droite $d$ est orthogonale au plan $(BGI)$. Leur intersection est donc réduite à un point.
    De plus, le point $L$ appartient à la droite $d$ et au plan $(BGI)$.
    $L$ est donc le point d’intersection de la droite $d$ et du plan $(BGI)$.
    $\quad$
  3. a. Aire du triangle $FBG$ : $\mathscr{B}=\dfrac{1\times 1}{2}=\dfrac{1}{2}$
    $I$ est le milieu de $[EF]$ donc $IF=\dfrac{1}{2}$.
    La droite $(IF)$ est orthogonale au plan $(BGI)$ par définition du cube.
    Ainsi, le volume de la pyramide $FBGI$ est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{\mathscr{B}\times IF}{3}\\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}}{3} \\
    &=\dfrac{1}{12}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a également $V=\dfrac{\text{Aire}_{BGI}\times FL}{3}$
    Or $FL=\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}-1\right)^2+\left(\dfrac{1}{6}-0\right)^2+\left(\dfrac{5}{6}-1\right)^2}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \text{Aire}_{BGI}&=\dfrac{3V}{FL} \\
    &=\dfrac{~~\dfrac{1}{4}~~}{\dfrac{1}{\sqrt{6}}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\end{align*}$
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant  :
    $\quad$
  2. a. On veut calculer :
    $\begin{align*} p\left(A\cap R_2\right)&=p(A)\times p_A\left(R_2\right) \\
    &=0,25\times \dfrac{1}{3} \\
    &=\dfrac{1}{12}\end{align*}$
    La probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l’examen à sa deuxième présentation est égale à $\dfrac{1}{12}$.
    $\quad$
    b. $A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p\left(R_2\right)&=p\left(A\cap R_2\right)+p\left(\conj{A}\cap R_2\right) \\
    &=\dfrac{1}{12}+0,75\times \dfrac{1}{3} \\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    La probabilité que la personne interrogée ait réussi l’examen à sa deuxième présentation est égale à $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_{R_2}(A)&=\dfrac{p\left(A\cap R_2\right)}{p\left(R_2\right)}\\
    &=\dfrac{~~\dfrac{1}{12}~~}{\dfrac{1}{3}} \\
    &=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
    La probabilité qu’elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée sachant qu’elle a réussi l’examen à sa deuxième préentation est égale à $\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  3. a. $X$ ne peut prendre que les valeurs $1$, $2$ et $3$.
    On a $P\left(\left\{X=2\right\}\right)=p\left(R_2\right)=\dfrac{1}{3}$.
    De plus
    $\begin{align*} P\left(\left\{X=3\right\}\right)&=p\left(R_3\right) \\
    &=p\left(\conj{A}\right) \times p_{\conj{A}}\left(R_3\right) \\
    &=0,75\times \dfrac{2}{9} \\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} P\left(\left\{X=1\right\}\right)&=1-\left(P\left(\left\{X=2\right\}\right)+P\left(\left\{X=3\right\}\right)\right) \\
    &=1-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’espérance de la variable aléatoire $X$ est
    $\begin{align*} E(X)&=1\times P\left(\left\{X=1\right\}\right)+2\times P\left(\left\{X=2\right\}\right)+3\times P\left(\left\{X=3\right\}\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{6} \\
    &=\dfrac{5}{3}\\
    &=1,67\end{align*}$
    Cela signifie, qu’en moyenne une personne réussi l’examen au bout d’environ $1,67$ passage.
    $\quad$
  4. a. La probabilité qu’une personne réussisse l’examen à la première ou deuxième présentation est égale à $1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$.
    La probabilité que les $n$ personnes réussissent l’examen à la première ou deuxième présentation est égale $\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$
    La probabilité qu’au moins une personne parmi les $n$ choisies réussisse l’examen à son troisième passage est $1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n$.
    $\quad$
    b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} 1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n>0,9 &\ssi \left(\dfrac{5}{6}\right)^n<0,1 \\
    &\ssi n\ln\left(\dfrac{5}{6}\right) <\ln(0,1) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,1)}{~~\ln\left(\dfrac{5}{6}\right)~~}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,1)}{~~\ln\left(\dfrac{5}{6}\right)~~} \approx 12,6$.
    La commande seuil(0.9) renverra donc la valeur $13$.
    Il faut donc interroger $13$ personnes pour que la probabilité qu’au moins l’une d’entre-elles ait réussit son examen à son troisième passage soit strictement supérieure à $0,9$.
    $\quad$

Ex A

Exercice A

Partie I

  1. $f’\left(\dfrac{1}{\e}\right)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $A$.
    Par conséquent $f’\left(\dfrac{1}{\e}\right)=0$.
    $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $B$.
    Par conséquent $f'(1)=\dfrac{0-2}{3-1}=-1$
    $\quad$
  2. Une équation de la droite $T_B$ est de la forme $y=-x+b$.
    Le point $B(1;2)$ appartient à cette droite.
    Donc $2=-1+b \ssi b=3$
    Ainsi une équation de la droite $T_B$ est $y=-x+3$.
    $\quad$

Partie II

  1. On a :
    $\begin{align*} f\left(\dfrac{1}{\e}\right)&=\dfrac{2+\ln\left(\dfrac{1}{\e}\right)}{\dfrac{1}{\e}} \\
    &=\dfrac{2-1}{\dfrac{1}{\e}} \\
    &=\e\end{align*}$
    Donc $A$ appartient à $\mathcal{C}_f$.
    De plus
    $\begin{align*} f(1)&=\dfrac{2+\ln(1)}{1} \\
    &=\dfrac{2+0}{1} \\
    &=2\end{align*}$
    Donc $B$ appartient à $\mathcal{C}_f$.
    $\quad$
    Enfin, sur l’intervalle $]0;+\infty[$ :
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi \dfrac{2+\ln(x)}{x}=0 \\
    &\ssi 2+\ln(x)=0 \\
    &\ssi \ln(x)=-2 \\
    &\ssi x=\e^{-2}\end{align*}$
    $\mathcal{C}_f$ coupe donc l’axe des abscisses en un seul point d’abscisse $\e^{-2}$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to  0^+} 2+\ln(x)=-\infty$
    De plus $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$
    $\quad$
    Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=\dfrac{2}{x}+\dfrac{\ln(x)}{x}$
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{2}{x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\left(2+\ln(x)\right)}{x^2 }\\
    &=\dfrac{1-2-\ln(x)}{x^2} \\
    &=\dfrac{-1-\ln(x)}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
  4. $-1-\ln(x)=0 \ssi \ln(x)=-1 \ssi x=\e^{-1}$
    $-1-\ln(x)>0 \ssi -\ln(x)>1 \ssi x<\e^{-1}$
    On obtient alors le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  5. On a, sur $]0;+\infty[$ :
    $\begin{align*} f\dsec(x)\pg 0 &\ssi \dfrac{1+2\ln(x)}{x^3} \pg 0 \\
    &\ssi 1+2\ln(x)\pg 0 \\
    &\ssi \ln(x) \pg -\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi x\pg \e^{-1/2}\end{align*}$
    Le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe est donc $\left[\e^{-1/2};+\infty\right[$.
    $\quad$

Ex B

Exercice B

  1. a. On a $f(0)=225.
    $\quad$
    b. On résout dans un premier temps l’équation différentielle $y’+6y=0 \ssi y’=-6y$.
    Les solutions de cette équation sont les fonctions $g$ définies sur $[0;+\infty[$ par $g(t)=k\e^{-6t}$ où $k\in \R$.
    $\quad$
    Par conséquent les solutions de l’équation différentielle $y’+6y=150$ sont les fonctions $h$ définies sur $[0;+\infty[$ par $h(t)=k\e^{-6x}+\dfrac{150}{6}$ c’est-à-dire h(x)=k\e^{-6t}+25$ où $k\in \R$.
    $\quad$
    c. $f$ est solution de l’équation différentielle $y’+6y=150$.
    Il existe donc un réel $k$ tel que, pour tout réel $t\pg 0$, on ait $f(t)=k\e^{-6t}+25$.
    Or $f(0)=225$ et $f(0)=k+25$
    Donc $k+25=225 \ssi k=200$.
    Pour tout réel $t\pg 0$ on a $f(t)=200\e^{-6t}+25$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable par hypothèse.
    Pour tout réel $t\pg 0$ on a
    $f'(t)=-1~200\e^{-6t}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc $f'(t)<0$ sur $[0;+\infty[$.
    Par conséquent $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    De plus, $\lim\limits_{t\to +\infty} -6t=-\infty$ et $\lim\limits_{T\to -\infty} \e^T=0$
    Donc $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=25$.
    La fonction $f$ fournit donc un modèle en accord avec les observations.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $f(0)=225>40$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=25<40$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=40$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  4. D’après le graphique on a $T_0\approx 25$ minutes.
    $\quad$
  5. a. On a :
    $\begin{align*} D_0&=f(0)-f\left(\dfrac{1}{60}\right) \\
    &=225-\left(200\e^{-0,1}+25\right) \\
    &=200-200\e^{-0,1} \\
    &\approx 19,03\end{align*}$
    Donc $19$ est une valeur approchée de $D_0$ à $0,1$ près.
    Une minute après la sortie du four la température du pain a diminué d’environ $19$°C.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} D_n&=f\left(\dfrac{n}{60}\right)-f\left(\dfrac{n+1}{60}\right) \\
    &=200\e^{-0,1n}+25-\left(200\e^{-0,1n-0,1}+25\right)\\
    &=200\e^{-0,1n}-200\e^{-0,1n-0,1} \\
    &=200\e^{-0,1n}\left(1-\e^{-0,1}\right)\end{align*}$
    $\quad$
    Ainsi :
    $\begin{align*} D_{n+1}-D_n&=200\e^{-0,1(n+1)}\left(1-\e^{-0,1}\right)-200\e^{-0,1n}\left(1-\e^{-0,1}\right) \\
    &=200\e^{-0,1n}\left(1-\e^{-0,1}\right)\left(\e^{-0,1}-1\right) \\
    &=-200\e^{-0,1n}\left(1-\e^{-0,1}\right)^2\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent $D_{n+1}-D_n<0$.
    La suite $\left(D_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    $\lim\limits_{n\to +\infty} -0,1n=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \e^{-0,1n}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} D_n=0$.
    $\quad$
    La température de la baguette tend à se stabiliser à la température ambiante. Il était donc prévisible que l’écart de température $D_n$ tende vers $0$.
    $\quad$

Énoncé

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