Métropole – STMG – Juin 2014

Mathématiques – Correction

Vous pouvez trouver ce sujet de bac  ici.

Exercice 1

1. a
   

   Heure de la journée	$11$h	$12$h
   Nombre de visiteurs attendus	$300$h	$350$h

   b. $$\dfrac{350 – 300}{300} = \dfrac{50}{300} \approx 16,7\%$$ Le taux d’évolution du nombre de visiteurs attendus entre $11$h et $12$h est de $16,7\%$.
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2. Pour profiter du fond musical, il doit se rendre dans le parc entre $11$h et $18$h.
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3. a. $f(11) = 302$ et $f(12) = 350$. L’écart est dû à la précision du graphique.
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   b. $f'(x) = -8 \times 2x + 232 = -16x + 232$.
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   c. Le nombre de visiteurs est maximal quand : $$\begin{align} f'(x) = 0 & \Leftrightarrow -16x +232 = 0\\\\ & \Leftrightarrow -16x = -232 \\\\ &\Leftrightarrow x = \dfrac{232}{16} = 14,5 \end{align}$$ Le maximum de fréquentation est atteint à $14$h$30$ et il vaut $f(14,5) = 400$.

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Exercice 2

Partie A

1. On peut écrire $=B2*1,12$.
   $~$
2. En $2016$ le coefficient d’évolution est donné par $1,12^3 \approx 1,405$. Le pourcentage global d’évolution est donc de $40,5\%$
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3. a. La raison de la suite $(v_n)$ est $1,12$.
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   b. Par conséquent $v_n = 100 \times 1,12^n$
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   c. $v_8 = 100 \times 1,12^8 \approx 248$ et $v_9 = 100 \times 1,12^9 \approx 277$. $~$

Partie B

1. On peut écrire $=B3+13$
   . $~$
2. a. La suite $(P_n)$ est donc une suite arithmétique de premier terme $P_0 = 148$ et de raison $13$. Par conséquent $P_n = 148 + 13n$.
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   b. On cherche la plus petite valeur de $n$ telle que : $$\begin{align} P_n > 250 &\Leftrightarrow 13n + 148 > 250 \\\\ &\Leftrightarrow 13 n > 102 \\\\ &\Leftrightarrow n > \dfrac{102}{13} \\\\ &\Leftrightarrow n \ge 8 \end{align}$$ Le nombre de places de parking spécifiques dépassera pour la première fois les $250$ en $2021$.

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Partie C On cherche la valeur de $n$ à partir de laquelle : $$ v_n > P_n  \Leftrightarrow 100 \times 1,12^n > 148 + 13n$$ On utilise alors le mode Table de la calculatrice On se rend compte que cela se produit pour $n=9$. C’est donc en $2022$ que le nombre de places spécifiques sera insuffisant. $~$

Exercice 3

1.    $~$
   
2. On cherche la valeur de $p(T \cap V) = 0,05 \times 0,02 = 0,001$.
   $~$
3. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $$\begin{align} p(V) &= p(V \cap T) + p\left(V \cap \bar{T} \right) \\\\
   &= 0,001 + 0,95 \times 0,8 \\\\
   &= 0,761
   \end{align}$$
4. On veut calculer :
   $$\begin{align} p_V(T) &= \dfrac{p(V \cap T)}{p(V)} \\\\
   &= \dfrac{0,001}{0,761}
   &= \dfrac{1}{761}
   & \approx 0,0013
   \end{align}$$

Exercice 4

Partie A

1. L’espérance de cette variable aléatoire de $60$.
   Par conséquent $P(X \ge 80) = P(X \ge 60 + 20) = P(X \le 60 – 20) = 0,0912$
   Réponse a
   $~$
2. $1h = 60$.
   On cherche donc $P(X < 60) = 0,5$ (puisque $E(X) = 60$).
   Réponse a

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Partie B

1. Le coefficient multiplicateur est : $1,2 \times 0,75 = 0,9$
   Le taux d’évolution est donc de $-10\%$
   Réponse b
   $~$
2. On cherche la valeur de $x$ telle que
   $$ \begin{align} \left(1 + \dfrac{x}{100} \right)^2 = 0,9 & \Leftrightarrow 1 + \dfrac{x}{100} = \sqrt{0,9} \\\\
   & \Leftrightarrow \dfrac{x}{100} = \sqrt{0,9} – 1 \\\\
   & \Leftrightarrow x = 100 \left( \sqrt{0,9} – 1 \right)\\\\
   & \Leftrightarrow x \approx -5,13
   \end{align}$$
   Réponse c

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Partie C

Un intervalle de confiance est :
$$ \left[ 0,27 – \dfrac{1}{\sqrt{100}};0,27 + \dfrac{1}{\sqrt{100}} \right] = [0,17;0,37]$$

Réponse c