Centres Étrangers – TES/TL – Juin 2014

Mathématiques – Correction

Suivez les liens pour avoir l’énoncé de ce sujet de bac : obligatoire  spécialité.

Exercice 1

1.  a. D’après la propriété des probabilités totales on a :
   $$\begin{align} p(R) &=p(D\cap R) + p \left(\bar{D} \cap R \right) \\\\
   & = 0,3 \times p_D(R) + 0,7 \times 0,2
   \end{align}$$
   Par conséquent : $0,38 = 0,3\times p_D(R) + 0,14$
   Donc $p_D(R) = 0,8$
   
   b. On cherche donc $p\left( D \cap \bar{R} \right) = 0,7 \times 0,8 = 0,56$
   $~$
   c. D’après l’arbre on a $p(D \cap R) = 0,3 \times 0,8 = 0,24$
   $~$
   d. Le calcul a déjà été fait à la question 1.a. $p_D(R) = 0,8$
   $~$
2. a. Il y a $10$ “tirages”. Chaque tirage est indépendant, identique et aléatoire.
   A chaque tirage, on n’a que $2$ issues : $R$ et $\bar{R}$. De plus $p(R) = 0,38$.
   Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(10;0,38)$.
   $~$
   b. On cherche :
   $$\begin{align} P(X \ge 1) & = 1 – P(X = 0) \\\\
   & = 1 – (1 – 0,38)^{10} \\\\
   &=1 – 0,62^{10} \\\\
   & \approx 0,992
   \end{align}$$
   $~$
3. On cherche donc $P(T \ge 8\text{h}40) = 1-\dfrac{40}{60} = \dfrac{1}{3}$

$~$

Exercice 2

Partie A : Etude d’une fonction

1. a. $f'(x) = \text{e}^{x^2-1} + x \times 2x \text{e}^{x^2-1} = (2x^2+1)\text{e}^{x^2-1}$
   b. La fonction exponentielle est toujours positive.
   La parenthèse, en tant que somme de fonctions positives, est également positive.
   Par conséquent $f'(x) > 0$
   La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
   $~$
2. La fonction $f$ est convexe si $f \prime \prime (x) > 0$.
   Le signe de $f \prime \prime (x)$ ne dépend ici que du signe de $x$.
   Par conséquent $f$ est convexe sur $[0;+\infty[$.
   $~$
3. a. $~$
   $$\begin{align} 1 -\text{e}^{x^2-1} \ge 0 & \Leftrightarrow 1 \ge \text{e}^{x^2-1} \\\\
   & 0 \ge x^2-1 \\\\
   & 1 \ge x^2 \\\\
   & x \in [-1;1]
   \end{align}$$
   $~$
   b.$ ~$
   $~$
   c. $x-f(x) = x-x\text{e}^{x^2-1} = x(1-\text{e}^{x^2-1}) = h(x)$.
   Par conséquent $D$ est au-dessus de $C_f$ sur $ [0;1]$.
   $~$
   
4. $I = H(1) – H(0) = \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{2} – \left(-\dfrac{1}{2} \text{e}^{-1} \right)$ $=\dfrac{1}{2} \text{e}^{-1}$
   $~$

Partie B

1. Ona $f(0,8) = 0,8\e^{0,64-1}\approx 0,558$.
   Cela signifie donc que $80\%$ des employés ayant les salaires les plus faibles représente environ $56\%$ de la masse salariale.
   $~$
2. a.$~$
   $$\begin{align} I_f &= 2\times A_f \\\\
   & = 2 \int_0^1 h(x)\text{d}x \\\\
   &=2I \\\\
   & = \dfrac{1}{\text{e}}
   \end{align}$$
   b. $~$
   $$\begin{align} I_g &= 2\times A_f \\\\
   & = 2 \int_0^1 x-x^3\text{d}x \\\\
   &=2\left[\dfrac{x^2}{2} – \dfrac{x^4}{4} \right]_0^1 \\\\
   & = \dfrac{1}{2}
   \end{align}$$
   Or $\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{\text{e}}$
   Donc la distribution des salaires est plus égalitaire dans l’entreprise F.

 

Exercice 3

candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Etude d’un graphe

1. a. Les sommets A et E, par exemple, ne sont pas adjacents. Le graphe $\mathscr{G}$ n’est donc pas complet.
   $~$
   b. On peut toujours passer d’un sommet à un autre par une chaîne : le graphe $\mathscr{G}$ est donc connexe.
   $^~$
2. a.
   

   sommet	A	B	C	D	E	F	G	H	I
   degré	$4$	$5$	$4$	$4$	$2$	$2$	$3$	$4$	$2$

   b. Il y a donc $1$ sommets de degré impair. Le graphe $\mathscr{G}$ ne possède pas de cycle eulérien mais possède une chaîne eulérienne.
   $~$

3. a. La matrice associée est :
   $$M = \begin{pmatrix}
   0&1&1&1&0&0&0&1&0 \\\\
   1&0&1&1&1&1&0&0&0 \\\\
   1&1&0&0&0&0&1&1&0 \\\\
   1&1&0&0&1&1&0&0&0 \\\\
   0&1&0&1&0&0&0&0&0 \\\\
   0&1&0&1&0&0&0&0&0 \\\\
   0&0&1&0&0&0&0&1&1 \\\\
   1&0&1&0&0&0&1&0&1 \\\\
   0&0&0&0&0&0&1&1&0
   \end{pmatrix}$$
   b. On a $M^3 = M \times M^2$
   On multiplie donc la $7^\text{ème}$ ligne de $M$ avec la $4^\text{ème}$ colonne de $M^2$
   $\begin{array}{c|c} &  \begin{pmatrix} 1\\\\3\\\\2\\\\4\\\\1\\\\1\\\\0\\\\1\\\\0 \end{pmatrix} \\\\
   \hline
   \begin{pmatrix} 1&0&1&0&0&0&1&0&1 \end{pmatrix}  & 1 + 2 = 3 \end{array}$

$~$

Partie B : Applications

1. Sommet du graphe $\mathscr{G}$	A	B	C	D	E	F	G	H	I
   Lieu correspondant dans le lycée	administration	Hall $1$	Hall $2$	Salle des professeurs	CDI	Cantine	Bâtiment $1$	Vie scolaire et infirmerie	Bâtiment $2$

2. L’élève veut donc aller du sommet G au sommet D en $3$ étapes. D’après la question 3.a. de la partie A, il existe $3$ chemins pour ce trajet :
   G-C-B-D $\quad$ G-C-A-D $\quad$G-H-A-D
   $~$
3. a. Puisque le graphe $\mathscr{G}$ possède une chaîne eulérienne, on peut visiter le lycée en empruntant une seule fois chaque passage entre les différents lieux.
   $~$
   b.

   G	H	C	I	A	B	E	F	D
   	$40$(G)	$90$(G)	$20$(G)
   	$45$(I)
   		$65$(H)		$100$(H)
   				$110$(C)	$95$(C)
   				$125$(B)		$145$(B)	$130$(B)	$175$(B)
   								$170$(A)
   								$165$(F)
   								$205$(E)

   Le chemin le plus rapide est donc GHCBFD. Il nécessite $165$ secondes.

$~$

Exercice 3

candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. a. En $2014$ il y aura $500 \times 0,7 + 300 = 650$ élèves.
   $~$
   b. En $2015$ il y aura $650 \times 0,7 + 300 = 755$ élèves.
   $~$
2. Chaque année, $30\%$ des élèves quittent le lycée. Cela signifie donc que $70\%$ y reste. Soit $0,7u_n$.
   Chaque année, $300$ nouveaux élèves arrivent.
   Donc $u_{n+1} = 0,7u_n + 300$.
   $~$
3. L’algorithme $1$ n’affichera pas le dernier terme.
   L’algorithme $3$ n’affiche que le dernier terme.
   Il faut donc choisir l’algorithme $2$.
   $~$
4. a. $~$
   $$\begin{align} v_{n+1} &= u_{n+1}-1000 \\\\
   &= 0,7u_n+300-1000\\\\
   &=0,7u_n-700 \\\\
   &=0,7(u_n-1000) \\\\
   &=0,7v_n
   \end{align}$$
   La suite $(v_n)$ est donc bien géométrique de raison $0,7$.
   $~$
   b. $v_0 = -500$ par conséquent $v_n = -500 \times 0,7^n$
   Donc $u_n = v_n+1000 = 1000-500\times 0,7^n$.
   $~$
   c. $0<0,7<1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,7^n = 0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n= 1000$
   $~$
   d. Cela signifie donc, qu’au bout d’un grand nombre d’années, il y aura $1~000$ élèves dans le lycée.
   $~$
5. a. $~$
   $$ \begin{align} u_n \ge 990 & \Leftrightarrow 1000-500\times 0,7^n \ge 990 \\\\
   & \Leftrightarrow -500 \times 0,7^n \ge -10 \\\\
   & \Leftrightarrow 0,7^n \le 0,02 \\\\
   & \Leftrightarrow n \ln 0,7 \le \ln 0,02 \\\\
   & \Leftrightarrow n \ge \dfrac{\ln 0,02}{\ln 0,7} \\\\
   &  \Leftrightarrow n \ge 11
   \end{align}$$
   b. Cela signifie qu’au bout de $11$ ans, soit en $2014$, le lycée aura plus de $990$ élèves.

$~$

Exercice 4

1. a. Affirmation 1 VRAIE
   On calcule $P(230 \le X \le 270) \approx 0,95$
   $~$
   b. Affirmation 2 FAUSSE
   On calcule $P(X \le 300) = 0,5 + P(250 \le X \le 300) > 0,5$
   $~$
   
2. Affirmation 3 FAUSSE
   $n = 1000 \ge 30$ , $np = 1000 \times 0,8 = 800 \ge 5$ et $n(1-p) = 1000 \times 0,2 = 200 \ge 5$
   Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$  de la proportion de cartouches ayant une durée de vie supérieure à $250$ pages est donc :
   $$\begin{align} I_{1000} &= \left[0,8 – 1,96 \dfrac{\sqrt{0,8 \times 0,2}}{\sqrt{1000}};0,8 + 1,96 \dfrac{\sqrt{0,8 \times 0,2}}{\sqrt{1000}} \right] \\\\
   &\approx [0,775;0,825]
   \end{align}$$
   La fréquence observée est $f = \dfrac{1000-240}{1000} = 0,76 \notin I_{1000}$
   $~$
3. Affirmation 4 VRAIE
   Un intervalle de confiance au seuil de $95\%$ est de la forme $\left[f – \dfrac{1}{\sqrt{n}};f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$
   L’amplitude est donc : $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$
   On veut par conséquent :
   $$\begin{align} \dfrac{2}{\sqrt{n}} \le 0,04 & \Leftrightarrow \dfrac{2}{0,04} \le \sqrt{n} \\\\
   & \Leftrightarrow 50 \le \sqrt{n} \\\\
   & \Leftrightarrow 2500 \le n
   \end{align}$$
   L’entreprise doit donc interroger au moins $2~500$ clients soit plus du quart.