Métropole – TES/TL – Juin 2014

Mathématiques – Correction

Suivez les liens pour obtenir les énoncés de ce bac : Obligatoire et Spécialité

Exercice 1

1. Réponse c
   En complétant l’arbre, on obtient :
   
2. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $$\begin{align} P(B) &= P(A\cap B) + P\left( \bar{A} \cap B \right) \\\\
   &= 0,6 \times 0,3 +0,4 \times 0,2 \\\\
   &=0,26
   \end{align}$$
   Réponse c
   $~$
3. Puisque $F$ est une primitive de $f$ sur $[1;15]$ cela signifie donc que $F'(x) = f(x)$.
   $f$ est négative (en particulier) sur $[4;12]$. Par conséquent $F$ est décroissante sur cet intervalle.
   Réponse c
   $~$
4. $~$
   $$\begin{align} \ln x + \ln(x+3) = 3\ln 2
   \Leftrightarrow & \ln \left(x(x+3) \right) = \ln 2^3 \\\\
   \Leftrightarrow & x(x+3) = 8 \\\\
   \Leftrightarrow x^2+3x=8
   \end{align}$$
   Réponse d
   $~$
5. On cherche donc :
   $$\begin{align} \int_2^6 \dfrac{5}{x}\text{d}x &= \left[5\ln x \right]_2^6 \\\\
   &= 5\ln 6 – 5\ln 2 \\\\
   &=5(\ln 6 – \ln 2)
   \end{align}$$
   Réponse a

$~$

Exercice 2

Pour les élèves de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et les élèves de L

1.  $0,2 \times 1~500 = 300$. Il reste donc $1~500 – 300 = 1~200 \text{ m}^2$ de gazon avant de remplacer $50 \text{ m}^2$ de mousse par du gazon.
   Donc $u_1 = 1~250$.
   $~$
2. Si $20\%$ du gazon est détruite. $80\%$ est donc intact. D’où les $0,8u_n$. De plus il remplace, chaque année, $50\text{ m}^2$ de mousse par du gazon.
   Par conséquent :
   $$ u_{n+1} = 0,8u_n+50$$
3. a. $~$
   $$\begin{align} v_{n+1} &= u_{n+1} – 250 \\\\
   &=0,8u_n + 50 – 250 \\\\
   &=0,8u_n – 200 \\\\
   &=0,8u_n – 0,8\times 250 \\\\
   &=0,8(u_n-250) \\\\
   &=0,8v_n
   \end{align}$$
   La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $v_0 = 1500-250 = 1250$.
   $~$
   b. On obtient donc $v_n = 1250 \times 0,8^n$.
   Puis :
   $$\begin{align} u_n &= v_n+250 \\\\
   &= 1250 \times 0,8^n + 250
   \end{align}$$
   c. On calcule $u_4 = 250 +1~250 \times 0,8^4 = 762$.
   $762 \text{ m}^2$ du terrain est encore engazonné au bout de $4$ ans.
   $~$
4. a. On cherche la plus petite valeur de $n$ telle que :
   $$\begin{align} &250+1~250\times 0,8^n < 500 \\\\
   \Leftrightarrow & 1~250\times 0,8^n < 250 \\\\
   \Leftrightarrow &0,8^n < \dfrac{250}{1~250} \\\\
   \Leftrightarrow &n\ln 0,8 < \ln 0,2 \\\\
   \Leftrightarrow &n > \dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8} \\\\
   \Leftrightarrow &n \ge 8
   \end{align}$$
   A partir de la $8^\text{ème}$ année la surface de gazon sera inférieure à $500 \text{m}^2$.
   $~$
   b. Initialisation
   $\quad$ $u$ prend la valeur $1500$
   $\quad$ $n$ prend la valeur $0$
   Traitement
   $\quad$ Tant que $u \ge 500$ faire
   $\qquad$ $u$ prend la valeur  $0,8u+50$
   $\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
   $\quad$ Fin Tant que
   Sortie
   $\quad$ Afficher $n$
   $~$
5. $0 < 0,8 < 1$ par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,8^n = 0$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = 250$
   De plus $u_n=250+1~250\times 0,8^n \pg 250$.
   Il restera donc, au minimum, $250 \text{ m}^2$ de gazon. Claude a donc raison.

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Exercice 2

Pour les élèves de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité 

1. a.
   
   b. La matrice de transition est :
   $$ M = \begin{pmatrix} 0,9&0,1 \\\\0,4&0,6 \end{pmatrix}$$
   $~$
   c. Au premier lancer, elle a autant de chance d’atteindre la cible que de la manquer.
   Donc $P_1 =(0,5~~0,5)$.
   On a $P_2 = P_1\times M = (0,65~~0,35)$
   $~$
2. a. On a : $(a_{n+1}~~b_{n+1}) = P_{n+1} = P_n \times M = (0,9a_n+0,4b_n~~0,1a_n+0,6b_n)$
   Donc $a_{n+1} = 0,9a_n+0,4b_n$.
   $~$
   b. On sait que $a_n+b_n = 1$ par conséquent $b_n=1-a_n$.
   $$\begin{align} a_{n+1} &= 0,9a_n+0,4b_n \\\\
   &=0,9a_n+0,4(1-an) \\\
   &=0,5a_n+0,4
   \end{align}$$
3. a. Initialisation
   $\quad$ Saisir $n$
   Traitement
   $\quad$ $a$ prend la valeur $0,5$
   $\quad$ $a$ prend la valeur $0,5$
   $\quad$ Pour $i$ allant de $2$ à $n$
   $\qquad$ $a$ prend la valeur $0,5\times a + 0,4$
   $\qquad$ $a$ prend la valeur $1-a$
   $\quad$ Fin Pour
   Sortie
   $\quad$ Afficher $a$ et $b$
   $~$
   b. Si $n=5$ alors l’algorithme affiche $a=0,78125$ et $b=0,21875$
   $~$
4. a.$~$
   $$\begin{align} u_{n+1} &= a_{n+1}-0,8 \\\\
   &=0,5a_n+0,4 – 0,8 \\\\
   &=0,5a_n-0,4 \\\\
   &=0,5(a_n-0,8)\\\\
   &=0,5u_n
   \end{align}$$
   La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $u_1=0,5-0,8=-0,3$.
   $~$
   b. Par conséquent $u_n = -0,3 \times 0,5^{n-1}$ et $a_n =0,8-0,3\times 0,5^{n-1}$.
   $~$
   c. $-1< 0,5 < 1$ Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,5^n = 0$
   Et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a_n = 0,8$.
   Sur le long terme, Alice à $80\%$ de chance de toucher la cible.
   $~$
   d. On aurait pu chercher l’état stable de la suite $(P_n)$.

 

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Exercice 3

Partie A

1. On calcule donc $P(30 < X < 60) = \dfrac{60 – 30}{60 – 20} = \dfrac{3}{4}$.
   $~$
2. L’espérance est donnée par la formule $E(X) = \dfrac{a+b}{2}$.
   Donc ici $E(X) = \dfrac{20 + 60}{2} = 40$.
   Cela signifie, qu’en moyenne, Antoine s’entraîne $40$ minutes au billard.

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Partie B

1. On veut calculer $p_1 = P(D \le 57) = 0,5$ par définition de l’espérance d’une loi normale.
   $~$
2. On calcule $p_2=P(56,75 \le D \le 57,25) \approx 0,977$
   $~$
3. En passant au complémentaire, on a $p_3 = 1 – p_2 \approx 0,023$

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Partie C

1. La fréquence observée est $f = \dfrac{66}{80}=0,825$
   $~$
2. $n=80 \ge 30$, $nf = 80 \times 0,825 = 66 \ge 5$ et $n(1-f) = 14 \ge 5$
   Un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de $p$ est :
   $$\begin{align} I_{80} &= \left[0,825 – \dfrac{1}{\sqrt{80}};0,825 + \dfrac{1}{\sqrt{80}} \right] \\\\
   & \approx [0,712;0,837]
   \end{align}$$

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Exercice 4

A : Etude graphique

1. A l’instant initial, la concentration est de $2$ grammes par litre.
   $~$
2. $~$
   
   La concentration est donc supérieure à $0,4$ gramme par litre pendant environ $6$ heures.

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B : Etude théorique

1. $~$
   $$ \begin{align} f'(x) &= \text{e}^{-0,5x} + (x+2) \times (-0,25)\text{e}^{-0,5x} \\\\
   & = \left(1 – 0,5(x+2) \right) \text{e}^{-0,5x} \\\\
   &= -0,5x\text{e}^{-0,5x}
   \end{align}$$
   La fonction exponentielle étant strictement positive, la fonction $f’$ est donc du signe de $-x$.
   Par conséquent, sur l’intervalle $[0;15]$ la fonction $f$ est strictement décroissante.
   $~$
2. La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur l’intervalle $[0;15]$
   De plus $f(0) = 2$ et $f(15) \approx 0,0094$
   Par conséquent $0,1 \in [f(15);f(0)]$
   D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=0,1$ possède donc une unique solution $\alpha$.
   $~$
3. La calculatrice nous donne donc $9,4 < \alpha < 9,5$
   $~$
4. D’après les résultats donnés par le logiciel, on a :
   $$f^{\prime \prime}(x) = (0,25x-0,5)\text{e}^{-0,5x}$$
   La fonction exponentielle est toujours strictement positive.
   Par conséquent le signe de $f^{\prime \prime}(x)$ ne dépend que de celui de $0,25x-0,5$.
   $0,25x-0,5 > 0 \Leftrightarrow x > 2$.
   La fonction $f$ est donc convexe sur $[2;15]$ et concave sur $[0;2]$.
   $f^{\prime \prime}$ change de signe en $2$. C’est donc l’abscisse du point d’inflexion.
   $~$

C : Interprétation des résultats

1. D’après la question B.2, le médicament est actif sur la période $[0;\alpha]$.
   Il est donc actif pendant $\alpha$ heures.
2. D’après la question B.4, la baisse de la concentration ralentit au bout de $2$ heures.