Antilles Guyane – Juin 2014

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

a.$~$

$~$
b. On cherche donc $P\left( \bar{J} \cap C \right) = 0,15 \times 0,1 = 0,015$
$~$
c. D’après la propriété des probabilités totales :
$$\begin{align} P(C) &= P(J \cap C) + P\left( \bar{J} \cap C \right) \\\\
&=0,85 \times 0,8 + 0,015 \\\\
&= 0,695
\end{align}$$
$~$
d. On cherche à calculer :
$$\begin{align} P_C\left( \bar{J} \right) & = \dfrac{P\left( C \cap \bar{J} \right)}{P(C)} \\\\
&= \dfrac{0,015}{0,695} \\\\
&=\dfrac{3}{139} \\\\
& \approx 0,0216
\end{align}$$
a. D’après la calculatrice $P(87 \le X \le 89) \approx 0,2417$
$~$
b. $P(X \ge 91) = 0,5 – P(90 \le X \le 91) \approx 0,3085$
$~$

Partie B

$n = 120 \ge 30$, $np = 120 \times 0,6 = 72 \ge 5$ et $n(1-p) = 48 \ge 5$
Par conséquent un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
$$\begin{align} I_{120} &= \left[0,6 – 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,6 \times 0,4}}{\sqrt{120}};0,6 + 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,6 \times 0,4}}{\sqrt{120}} \right] \\\\
& \approx [0,5123;0,6877]
\end{align}$$
La fréquence observée est $f = \dfrac{65}{120} \approx 0,5417 \in I_{120}$.
L’ostréiculteur a donc raison d’affirmer que $60\%$ de ses huitres ont une masse supérieure à $91$g avec une marge d’erreur de $5\%$.

$~$

Exercice 2

Partie A

$g'(x) = -1 + \text{e}^x$
Etudions le signe de $g'(x)$
$$\begin{align} g'(x) > 0 & \Leftrightarrow -1 + \text{e}^x > 0 \\\\
& \Leftrightarrow \text{e}^x > 1\\\\
& \Leftrightarrow x > 0
\end{align}$$
$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x+1 = -\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{1}{\text{e}^x} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{x}{\text{e}^x}=-\infty$Par conséquent :$$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty$$$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x + 1 = +\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = 0$Par conséquent :
$$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$$
$~$
$$\begin{align} f'(x) &= 1 + \dfrac{\text{e}^x – x\text{e}^x}{\text{e}^{2x}} \\\\
&= 1 + \dfrac{1 -x}{\text{e}^x} \\\\
&=\dfrac{\text{e}^x + 1 – x}{\text{e}^x} \\\\
&=\text{e}^{-x}g(x)
\end{align}$$
D’après le tableau de variations de la fonction $g$ on constate que $g(x) > 0$ pour tout $x$. On sait de plus que la fonction exponentielle est strictement positive.
Par conséquent :
$$\forall x\in \R, f'(x) > 0$$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\R$.
De plus $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$
$0 \in ]-\infty;+\infty[$.
D’après le théorème de la bijection (ou théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution sur $\R$.
$~$
$f(-1) = -\text{e}^{-1} < 0$ et $f(0) = 1 > 0$ donc $-1 <\alpha < 0$.
$~$
a. Une équation de la tangente est de la forme $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
$f'(0) = 2$ et $f(0) = 1$. Donc la tangente en $0$ à $\mathscr{C}$ a pour équation $y =2x+1$
$~$
b. Pour étudier la position relative de la courbe $\mathscr{C}$ et de $T$ on étudie le signe de :
$$\begin{align} f(x) – (2x+1) &= x+1 + \dfrac{x}{\text{e}^x} -2x – 1 \\\\
&= -x + \dfrac{x}{\text{e}^x} \\\
&= x\dfrac{ -\text{e}^x + 1}{\text{e}^x} \\\\
&=\dfrac{-xg'(x)}{\text{e}^x} \le 0
\end{align}$$
La droite $T$ est donc toujours au-dessus de la courbe $\mathscr{C}$.

Partie B

$H'(x) = -\text{e}^{-x} – (-x-1)\text{e}^{-x} $ $= x\text{e}^{-x} = h(x)$
Donc $H$ est une primitive de $h$ sur $\R$.
$~$
L’aire cherchée est :
$$\begin{align} \mathscr{A} &=\int_1^3((2x+1)-f(x))\text{d}x \\\\
&=\int_1^3 (x-h(x)) \text{d}x \\\\
&=\left[\dfrac{x^2}{2} – H(x) \right]_1^3 \\\\
&= \dfrac{9}{2} + 4\text{e}^{-3} – \dfrac{1}{2} + (-2)\text{e}^{-1} \\\\
&= 4 + 4\text{e}^{-3} -2\text{e}^{-1} \text{ u.a}
\end{align}$$

$~$

Exercice 3

Proposition 1 : FAUX

$\vec{AB}(-2;4;-1)$ et $\vec{AC}(6;-12;3) = -3\vec{AB}$
Les $2$ vecteurs sont colinéaires, ils ne définissent donc pas de plan.

$~$

Proposition 2 : VRAI

Regardons si les coordonnées de chacun des points vérifient l’équation donnée :
Pour $A$ : $ 1 – 10 + 9 = 0$ $\surd$
Pour $B$ : $-1 -8 + 9 = 0$ $\surd$
Pour $D$ : $-1 – 8 + 9 = 0$ $\surd$
L’équation donnée est donc bien une équation de $(ABD)$.

$~$

Proposition 3 : FAUX

Si $t=4$ alors $x=1$, $y=2$ et $z=-4$. Par conséquent le point $A$ n’appartient pas à la droite dont la représentation paramétrique est fournie.

$~$

Proposition 4 : FAUX

Un vecteur normal à $\mathscr{P}$ est $\vec{n}(2;-1;5)$.
Un vecteur normal à $\mathscr{P}’$ est $\vec{n}(-3;-1;1)$.
C’est $2$ vecteurs ne sont clairement pas colinéaires (en revanche ils sont orthogonaux!)

$~$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

a. $\dfrac{438}{24} = 18,25$ et $\dfrac{438}{45} \approx 9,7$.
Il ne peut donc pas avoir passé plus de $18$ nuits dans l’hébergement A et plus de $9$ nuits dans l’hébergement B.
$~$
Par conséquent $x \le 18$ et $y \le 9$.
$~$
b. Entrée :
$\quad$ $x$ et $y$ sont deux nombres
Traitement :
$\quad$ Pour $x$ variant de $0$ à $18$
$\qquad$ Pour $y$ variant de $0$ à $9$
$\qquad \quad$ Si $24x+45y=438$
$\qquad \qquad$ Afficher $x$ et $y$
$\qquad \quad$ Fin Si
$\qquad $ Fin Pour
$\quad$ Fin Pour
Fin traitement
$~$
Le coût total de la réservation est:
$$24x+45y = 3\times 8x+3\times 15y = 3(8x+15y)$$
C’est donc un multiple de $3$.
$~$
a.$8$ et $15$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bezout, l’équation $8x+15y=1$ admet donc au moins un couple d’entiers relatifs solution.
$~$
b. $8\times 2 + 15 \times (-1) = 16 -15 = 1$
Le couple $(2;-1)$ est donc solution de l’équation $8x+15y=146$.
$~$
b. Le couple $(292;-146)$ est donc solution de l’équation $8x+15y=146$.
Soit $(x;y)$ un autre couple solution.
Par différence on obtient :
$$8(x-292)+15(y+146) = 0 \Leftrightarrow 8(x-292)=15(-y-146)$$
$8$ et $15$ sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss, il existe alors un entier relatif $k$ tel que :
$ x-292 = 15k $ et $-y-146 = 8k$
Soit$ x = 292+15k$ et $y=-146 – 8k$
$~$
Réciproquement : soient $k \in \Z$ et $x=292+15k$ et $y=-146-8k$
Alors :
$$ \begin{align} 8x+15y &=8(292+15k)+15(-146-8k) \\\\
&=2336 + 120k – 2190 – 120k \\\\
&=146
\end{align}$$
Les solutions de cette équation sont donc les couples $(292+15k;-146-8k)$ pour tout $k\in \Z$.
$~$
$438 = 3 \times 146$.
Notre problème de départ revient à trouver les couples $(x;y)$ tels que $8x+15y=146$.
On sait que $x \le 13$ par conséquent :
$$\begin{align} 0 \le 292 + 15k \le 13 & \Leftrightarrow -292 \le 15k \le -279 \\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{-292}{15} \le k \le \dfrac{-279}{15} \\\\
& \Leftrightarrow k = -19
\end{align}$$
Cela signifie donc que $x= 7$ et donc $y = \dfrac{146-8\times 7}{15} = 6$
$~$
Le randonneur a donc passé $7$ nuits dans l’hébergement A et $6$ dans l’hébergement B.
$~$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

a.

$n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$

$u_n$ $2$ $3,4$ $2,18$ $1,19$ $0,61$ $0,31$ $0,16$ $0,08$ $0,04$

b. Il semblerait que la suite $(u_n)$ soit décroissante à partir du rang $1$.
$~$
a. Initialisation : si $n=1$ alors $u_1 = 3,4$ et $\dfrac{15}{4} \times 0,5 = 1,875$. Par conséquent $u_1 \ge \dfrac{15}{4} \times 0,5$
La propriété est vraie au rang $1$
$~$
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \ge \dfrac{15}{4} \times 0,5^n$
Alors :
$$\begin{align} u_{n+1} &= \dfrac{1}{5}u_n + 3 \times 0,5^n \\\\
& \ge \dfrac{1}{5} \times \dfrac{15}{4} \times 0,5^n + 3 \times 0,5^n \\\\
& \ge \dfrac{3}{4} \times 0,5^n + 3 \times 0,5^n \\\\
& \ge \dfrac{15}{4} \times 0,5^n \\\\
& \ge \dfrac{15}{4} \times 0,5 \times 0,5^n \\\\
& \ge \dfrac{15}{4} \times 0,5^{n+1}
\end{align} $$
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$~$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. Si on la suppose vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour tout entier naturel non nul $n$ on a:
$$u_n \ge \dfrac{15}{4} \times 0,5^n$$
b. $~$
$$\begin{align} u_{n+1} – u_n &= \dfrac{1}{5}u_n + 3\times 0,5^n – u_n \\\\
&= -\dfrac{4}{5} u_n + 3 \times 0,5^n \\\\
& \le -\dfrac{4}{5} \times \dfrac{15}{4} \times 0,5^n + 3 \times 0,5^n \\\\
& \le -3 \times 0,5^n + 3 \times 0,5^n \\\\
& \le 0
\end{align}$$
c. La suite $(u_n)$ est donc décroissante et minorée par $0$. Par conséquent, elle converge.
$~$
a. $~$
$$\begin{align} v_{n+1}& = u_{n+1} – 10 \times 0,5^{n+1} \\\\
&= \dfrac{1}{5}u_n+3\times 0,5^n – 10 \times 0,5 \times 0,5^n \\\\
&= \dfrac{1}{5}u_n-2\times 0,5^n \\\\
&= \dfrac{1}{5} (u_n – 10 \times 0,5^n) \\\\
&=\dfrac{1}{5} v_n
\end{align}$$
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{5}$ et de premier terme $v_0 = 2 -10 = -8$
$~$b. Par conséquent $v_n = -8\times \left(\dfrac{1}{5} \right)^n$.
On en déduit donc que :
$$ \begin {align} u_n &= v_n + 10\times 0,5 ^n \\\\
&= -8\times \left(\dfrac{1}{5} \right)^n+ 10\times 0,5 ^n
\end{align}$$
$~$
c. $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left(\dfrac{1}{5} \right)^n = 0$ car $-1 < \dfrac{1}{5} < 1$.
Pour la même raison on a : $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,5^n = 0$
Par conséquent : $$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = 0$$
Entrée :
$\quad$ $n$ et $u$ sont des nombres
Initialisation :
$\quad$ $n$ prend la valeur $0$
$\quad$ $u$ prend la valeur $2$
Traitement :
$\quad$ Tant que $u > 0,01$
$\qquad$ $n$ prend la valeur $n+1$
$\qquad$ $u$ prend la valeur $ -8\times \left(\dfrac{1}{5} \right)^n+ 10\times 0,5 ^n$ $\quad$
Ne pas prendre l’expression donnée au début du sujet car le $\color{red}{n}$ a été modifié.
$\quad$ Fin Tant que
Sortie :
$\quad$ Afficher $n$

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
$u_n$	$2$	$3,4$	$2,18$	$1,19$	$0,61$	$0,31$	$0,16$	$0,08$	$0,04$