Centres Étrangers – Juin 2013

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

1. La durée moyenne est donnée par $E(T) = \dfrac{1}{\lambda} = 5~000$ heures.
   $~$
2. On veut calculer $P(T > 6~000) = \text{e}^{-6~000\lambda} = \text{e}^{-1,2}$.
   $~$

Partie B

1. 
2. On a :
   $$ \begin{align} p(E) &= p(F_1) + p\left(\bar{F_1} \cap F_2 \cap F_3 \right) \\\\
   & =0,3 + 0,7 \times 0,3 \times 0,3  \\\\
   &=0,363
   \end{align}
   $$
3. On veut donc calculer :
   $$\begin{align} p_E(F_1) = &\dfrac{p(E \cap F_1)}{p(E)} \\\\
   &=\dfrac{p(F_1)}{p(E)} \\\\
   &=\dfrac{0,3}{0,363} \\\\
   & \approx 0,826
   \end{align}
   $$

Partie C

1. $n= 400 \ge 30$, $np = 8 \ge 5$ et $n(1-p) = 392 \ge 5$.
   Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ est donc :
   $$\begin{align} I_{400} &= \left[0,02 – 1,96 \dfrac{\sqrt{0,02 \times 0,98}}{\sqrt{400}};0,02 + 1,96 \dfrac{\sqrt{0,02 \times 0,98}}{\sqrt{400}} \right] \\\\
   & = [0,00628;0,03372]
   \end{align}
   $$
2. La fréquence observée est $f = \dfrac{10}{400} = 0,025$. Donc $f \in I_{400}$.
   On ne peut donc pas remettre en cause l’affirmation de l’industriel.
   $~$

Partie D

1. La calculatrice nous donne : $P(760 \le D \le 840) \approx 0,683$.
   $~$
2. $P(D \le 880) = \dfrac{1}{2} + P(800 \le D \le 880) \approx 0,5 + 0,477 = 0,977$
   $~$
3. $P(D > 880) = 1 – P(D \le 880) = 0,023 = 2,3 \%$
   La probabilité que la demande dépasse les $880$ est donc de $2,3\%$ ce qui est supérieur au $1\%$ supposé par l’industriel. Il a donc tort.

$~$

Exercice 2

Affirmation 1 : FAUSSE

Une équation cartésienne d’un plan parallèle à $\mathscr{P}$ est de la forme : $2x+ y -2z+d=0$
Il passe par $A$ donc : $2 \times 12 + d = 0$ et $d = -24$

On obtient donc $2x+y\color{Red}{-}2z-24=0$ et non $2x+y\color{Red}{+}2z-24=0$

$~$

Affirmation 2 : VRAIE

Regardons si les coordonnées des points $A$ et $C$ vérifient l’équation fournie.

Si $t=-1$ alors $\begin{cases} x= 9 – 3 \times (-1) = 12 \\\\y= 0 \\\\z=5+5\times(-1) = 0 \end{cases}$. C’est bon pour le point $A$.

Si $t=3$ alors  $\begin{cases} x= 9 – 3 \times 3 = 0 \\\\y= 0 \\\\z=5+5\times 3= 20 \end{cases}$. C’est bon pour le point $C$.

$~$

Affirmation 3 : FAUSSE

$\vec{DE}(5;-4;3)$. Une équation paramétrique de $(DE)$ est donc :
$$\begin{cases} x = 2 +5t \\\\y=7-4t \qquad t \in \R \\\\z=-6+3t \end{cases}$$

Injectons ces équations dans celle de $\mathscr{P}$ :
$$\begin{cases} & 2(2+5t) +(7-4t)-2(-6+3t)-5=0 \\\\
& \Leftrightarrow 4 + 10t + 7 – 4t + 12 – 6t – 5 = 0 \\\\
& \Leftrightarrow 11 + 12 – 5 = 0 \quad \text{impossible}
\end{cases}
$$
$~$

Affirmation 4 : VRAIE

$\vec{AB}(-12;-15;0) \quad \vec{AC}(-12;0;20) \quad \vec{DE}(5;-4;3)$
$\vec{AB} et \vec{AC}$ ne sont pas colinéaires. Ce sont donc $2$ vecteurs de base de $(ABC)$.

$\vec{AB}.\vec{DE} = -12 \times 5 – 15 \times (-4) + 0 = -60 + 60 = 0$
$\vec{AC}.\vec{DE} = -12 \times 5 0 + 20 \times 3 = -60 + 60 = 0$

Donc le vecteur $\vec{DE}$ est orthogonal à $2$ vecteurs de base de $(ABC)$.

$~$

Exercice 3

Partie A

1. a. $\mathscr{A}_1 = \displaystyle \int_0^a g(x)\text{d}x = \left[ x-\text{e}^{-x}\right]_0^a = a – \text{e}^{-a} + 1$
   $~$
   b. $\mathscr{A}_2 = \displaystyle \int_a^1 g(x)\text{d}x = \left[ x-\text{e}^{-x}\right]_a^1 = 1 – \text{e}^{-1} – a + \text{e}^{-a}$
   $~$
2. a. La fonction $f$ est une somme de fonctions dérivables sur $[0;1]$. Elle l’est donc aussi.
   $f'(x) = 2 + 2\text{e}^{-x} > 0$ puisque la fonction exponentielle est toujours positive.
   
   $f(0) = -2 + \dfrac{1}{\text{e}}$ et $f(1) = -2 – 2\text{e}^{-1} + \dfrac{1}{\text{e}}$
   $~$
   b. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[0;1]$.
   De plus $f(0) <0$ et $f(1) > 0$.
   Donc $0 \in \left[ f(0);f(1) \right]$.
   D’après le théorème de la bijection, il existe donc une unique valeur $\alpha$ telle que $f(\alpha) = 0$ et $0,452 < \alpha < 0,453$ donc $\alpha \approx 0,45$
   $~$
3. $$\begin{align} \text{Les}  2 \text{ aires sont égales} &\Leftrightarrow a – \text{e}^{-a} + 1 = 1 – \text{e}^{-1} – a + \text{e}^{-a} \\\\
   & \Leftrightarrow 2a – 2\text{e}^{-a} + \text{e}^{-1} = 0 \\\\
   & \Leftrightarrow f(a) = 0
   \end{align}
   $$
   Une valeur approchée de la solution est donc $0,45$.
   $~$

Partie B

1. Il faut que $b < g(1)$ car sinon la portion de $\mathscr{D}$ au-dessus de la droite est inférieure à $(2-g(1)) \times (1-0) = 2-(1+\text{e}^{-1} = 1 – \text{e}^{-1}$ (aire du rectangle incluant cette portion).
   L’aire de la portion de $\mathscr{D}$ sous la droite est donc supérieure à $g(1) \times (1-0) = 1 + \text{e}^{-1}$.
   $~$
2. On veut que $\displaystyle \int_0^1 g(x)\text{d}x – b\times(1-0) = b \times (1-0) \Leftrightarrow \int_0^1 g(x) \text{d}x = 2b$
   Par conséquent :
   $$ \begin{align} b &= \dfrac{1}{2} \int_0^1 g(x)\text{d}x \\\\
   & = \dfrac{1}{2} \left[ x – \text{e}^{-x} \right]_0^1 \\\\
   &=\dfrac{1}{2}((1 – \text{e}^{-1} + 1) \\\\
   &=\dfrac{1}{2}(2-\text{e}^{-1})
   \end{align}
   $$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Algorithmique et conjectures

1. Il faut modifier l’algorithme de la sorte :
   Tant que $i <n$ faire
   $\quad$ Affecter à $i$ la valeur $i+1$
   $\quad$ Afficher $i$
   $\quad$Affecter à $c$ la valeur $0,8a+0,3b)$
   $\quad$ Afficher $c$
   $\quad$ Affecter à $b$ la valeur $(0,2a+0,7b)$
   $\quad$ Afficher $b$
   $\quad$ Affecter à $a$ la valeur $c$
   Fin du Tant que
   $~$
2. Il semblerait que $(a_n)$ converge vers $18$ et $(b_n)$ vers $12$.
   $~$

Partie B : Etude mathématiques

1. $a_{n+1}=0,8a_n+0,3b_n \quad$ et $ \quad b_{n+1} = 0,2a_n+0,7b_n$
   On peut donc prendre $M = \begin{pmatrix} 0,8&0,3 \\\\0,2&0,7 \end{pmatrix}$
   $~$
2. Initialisation : $0,6+0,4 \times 0,5^1 = 0,6 + 0,2 = 0,8$.
   La propriété est donc vraie au rang $1$.
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$
   $M^{n+1} = M \times M^{n}$
   Le premier coefficient de $M^{n+1}$ est donc :
   $$\begin{align} & 0,8 \times (0,6 + 0,4 \times 0,5^n) + 0,3 \times (0,4 – 0,4 – 0,5^n)\\\\
   &= 0,48 + 0,32 \times 0,5^n + 0,12 – 0,12 \times 0,5^n \\\\
   &=0,6 + 0,2 \times 0,5^n \\\\
   &=0,6 + 0,4 \times 0,5 \times 0,5^n \\\\
   &=0,6 + 0,4 \times 0,5^{n+1}
   \end{align}
   $$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   Conclusion : la propriété est vraie au rang $1$. En la supposant raie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
   Donc pour tout entier naturel $n \ge 1$, on a bien :
   $$M^n = \begin{pmatrix} 0,6+0,4\times 0,5^n&0,6-0,6\times 0,5^n \\\\0,4-0,4\times0,5^n&0,4+0,6\times 0,5^n \end{pmatrix}$$
   $~$
3. On en déduit donc que :
   $\begin{align} a_n &= (0,6+0,4\times 0,5^n)\times a_0 + (0,6-0,6\times 0,5^n)\times b_0 \\\
   &=(0,6 + 0,4\times 0,5^n) \times 20 + (0,6 – 0,6\times 0,5^n)\times 10 \\\\
   &=18 – 2 \times 0,5^n
   \end{align}$
4. $-1 < 0,5 < 1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,5^n = 0$ et par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}a_n = 18$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A : Algorithmique et conjectures

1. Tant que $n<9$
   $\quad$ Affecter à $u$ lavaleur $\dfrac{n\times u + 1}{2(n+1)}$
   $\quad$Affecter à $n$ la valeur $n+1$
   Fin Tant que
   $~$
2. Il faudrait écrire :
   Tant que $n < 9$
   $\quad$ Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{n\times u+1}{2(n+1)}$
   $\quad$ Afficher la variable $u$
   $\quad$ Affecter à $n$ la valeur $n+1$
   Fin Tant que
   $~$
   Et supprimer l’affichage de Sortie
   $~$
3. Il semblerait que la suite $(u_n)$ soit décroissante et convege vers $0$.
   $~$

Partie B : Etude mathématiques

1. $~$
   $$\begin{align} v_{n+1} &= (n+1)u_{n1} – 1 \\\\
   &=(n+1) \times \dfrac{n\times u_n + 1}{2(n+1)} – 1\\\\
   &=\dfrac{n \times u_n + 1}{2} – \dfrac{2}{2} \\\\
   &=\dfrac{n \times u_n – 1}{2} \\\\
   &=\dfrac{1}{2} \times v_n
   \end{align}
   $$
   $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
   Son premier terme est $v_1 = 1\times u_1 – 1 = \dfrac{1}{2}$.
   $~$
2. On a donc $v_n = 0,5 \times 0,5^{n-1} = 0,5^n$.
   Par conséquent $u_n = \dfrac{v_n+1}{n} = \dfrac{1+0,5^n}{n}$
   $~$
3. $-1 < 0,5 < 1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,5^n = 0$. De plus $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$.
   Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n = 0$
   $~$
4. $~$
   $$\begin{align} u_{n+1}-u_n &= \dfrac{1+0,5^{n+1}}{n+1} – \dfrac{1 + 0,5^n}{n} \\\\
   &= \dfrac{n+n\times 0,5^{n+1} – (n+1) – (n+1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \\\\
   &=\dfrac{-1 + n \times 0,5^{n+1} – (n+1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \\\\
   &=\dfrac{-1 + (0,5n-n-1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \\\\
   &=\dfrac{-1 + (-0,5n-1) \times 0,5^n}{n(n+1)} \\\\
   &= – \dfrac{1 + (0,5n+1) \times 0,5^n}{n(n+1)}
   \end{align}
   $$
   Le numérateur et le dénominateur de la fraction sont positifs.
   Donc $u_{n+1}-u_n <0$. La suite $(u_n)$ est par conséquent décroissante.
   $~$

Partie C : retour à l’algorithmique

Variables :
$\qquad$ $n$ est un entier naturel
$\qquad$ $u$ est un réel
Initialisation :
$\qquad$ Affecter à $n$ la valeur $1$
$\qquad$ Affecter à$u$ la valeur $1,5$
Traitement :
$\qquad$ Tant que $u > 0,001$
$\qquad$ $\quad$ Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{n\times u + 1}{2(n+1)}$
$\qquad$ $\quad$ Affecter à $n$ la valeur $n+1$
$\qquad$ Fin Tant que
Sortie :
$\qquad$ Afficher la variable $n$