TS – Métropole – Juin 2013

Métropole –  Juin 2013

Bac S – Mathématiques – Correction

Vous pouvez trouver l’énoncé de ce sujet de bac ici.

Exercice 1

  1. a.
    TS - métropole - juin 2013 - ex1
    b. $p(C \cap H_3) = 0,4 \times 0,3 = 0,12$
    $~$
    c. D’après la propriété des probabilités totales on a :
    $$\begin{align} p(C) &= p(C \cap H_1) + p(C \cap H_2) + p(C \cap H_3) \\\\
    &=0,35 \times 0,8 + 0,25 \times 0,5 + 0,12 \\\\
    &=0,525
    \end{align}$$
    d. $p_C(H_1) = \dfrac{p(C \cap H_1)}{p(C)} = \dfrac{0,35 \times 0,8}{0,525} \approx 0,533$
    $~$
  2. a. Les $10$ tirages sont aléatoires, identiques et indépendants. Chaque tirage ne possède que $2$ issues : $C$ et $\bar{C}$. De plus $p(C) = 0,525$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,525$.
    $~$
    b. $P(x=5) = \binom{10}{5}0,525^5 \times (1-0,525)^{10-5} \approx 0,243$
    $~$
    c. $P(X \le 8) = 1 – P(x = 9) – P(X = 10) = 0,984$

$~$

Exercice 2

  1. a. $f(1) = 2$ et $f'(1) = 0$ (tangente horizontale)
    $~$
    b. $f'(x) = \dfrac{\dfrac{b}{x} \times x – (a + b\ln x)}{x^2} = \dfrac{b-a-b\ln x}{x^2}$
    $~$
    c. $f(1) = a = 2$ et $f'(1) = b-a = 0$ donc $b=a=2$
    $~$
  2. a. On a donc $f'(x) = \dfrac{-2\ln x}{x^2}$.
    $x^2 > 0$ donc le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $-\ln x$.
    $~$
    b. $\lim\limits_{x \rightarrow 0} 2 + 2\ln x = -\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x} = +\infty$ $\quad$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow 0}f(x) = -\infty$.
    On a également :
    $$f(x) = \dfrac{2+2\ln x}{x} = \dfrac{2}{x} + \dfrac{2\ln x}{x}$$
    $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2}{x} = 0$ $\quad$ $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0$ $\quad$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 0$
    $~$
    c.
    TS - métropole - juin 2013 - ex2
  3. a. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[0;1]$.
    $\lim\limits_{x \rightarrow 0} = -\infty$ et $f(1) = 2$.
    Donc $1 \in ]-\infty;2]$
    D’après le théorème de la bijection, l’équation $f(x) = 1$ possède donc une unique solution sur $[0;1].
    $~$
    b. $f(5) \approx 1,04$ et $f(6)\approx 0,93$.On a donc $5 < \beta < 6$ et $n=5$
    $~$
  4. a.
    étape $1$ étape $2$ étape $3$ étape $4$ étape $5$
    $a$ $0$ $0$ $0,25$ $0,375$ $0,4375$
    $b$ $1$ $0,5$ $0,5$ $0,5$ $0,5$
    $b-a$ $1$ $0,5$ $0,25$ $0,125$ $0,0625$
    $m$ $0,5$ $0,25$ $0,375$ $0,4375$

    b. L’algorithme fournit les $2$ bornes d’un encadrement d’amplitude $10^{-1}$ de $\alpha$.
    $~$
    c. Dans l’initialisation il faut écrire :
    $\qquad$ Affecter à $a$ la valeur $5$
    $\qquad$ Affecter à $b$ la valeur $6$
    Dans le traitement :
    $\qquad$ Si $f(m) > 1$ alors affecter à $a$ la valeur $m$
    Dans la sortie (si on veut respecter exactement l’amplitude de $10^{-1}$ :
    à la place de “Afficher $b$” il faut écrire “Afficher $a+0,1$
    $~$

  5. a. Le rectangle $OABC$ a une aire de $2 \times 1 = 2$ u.a.
    On veut partager cette aire en $2$ aires égales. Il faut donc que chacune d’entre-elles ait une aire de $1$ u.a.
    $~$
    La courbe coupe l’axe des abscisses en $D\left( \dfrac{1}{e};0 \right)$.
    L’aire sous la courbe vaut donc  $\displaystyle \int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 f(x)\text{d}x$.
    On veut donc montrer que $\displaystyle \int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 f(x)\text{d}x = 1$.
    $~$
    b. $$\begin{align}  \int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 f(x)\text{d}x &=  \int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 \dfrac{2}{x}+ 2\dfrac{\ln x}{x} \text{d}x \\\\
    &=\left[2\ln(x) + (\ln x)^2 \right]_\frac{1}{\text{e}}^1 \\\\
    &=-2\ln \dfrac{1}{\text{e}} – \left(\ln \dfrac{1}{\text{e}} \right)^2 \\\\
    &=2-1 \\\\
    &=1
    \end{align}$$

Exercice 3

  1. $|z-\text{i}| = |z+1|$ est l’ensemble des points équidistants de $A(\text{i})$ et $B(-1)$.
    Il s’agit donc de la médiatrice de $[AB]$
    Affirmation vraie.
    $~$
  2. $\left(1+\text{i}\sqrt{3} \right)^4 = \left(2\text{e}^{\text{i}\pi/3}\right)^4$ $=16\text{e}^{4\text{i}\pi/3}$.
    L’argument de ce nombre complexe n’est pas congru à $0$ modulo $\pi$. Il n’est donc pas réel.
    On peut aussi déterminer l’écriture algébrique de ce nombre : $-8 – 8\text{i}\sqrt{3}$
    Affirmation fausse.
    $~$
  3. $$\begin{align} \vec{EC}.\vec{BG} &= \left(-\vec{AE} + \vec{AB} + \vec{BC} \right).\left(\vec{BC} + \vec{CG} \right) \\\\
    & = -AE^2+BC^2 \\\\
    &=-1+1 \\\\
    &= 0
    \end{align}
    $$
    Affirmation vraie.
    $~$
  4. Un vecteur normal au plan est un vecteur directeur de la droite.
    D’après l’équation cartésienne du plan, un vecteur normal est $\vec{n}(1;1;3)$.
    Une représentation paramétrique de la droite est donc :
    $$\begin{cases} x=1+t \\\\y=-2+t \qquad t \in \R \\\\z=-2+3t \end{cases}$$
    Regardons si le point $S'(2;-1;1)$ appartient à cette droite.
    Si on prend $t=1$, on obtient bien les coordonnées de $S’$.
    Affirmation vraie.

$~$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

  1. On a donc $v_{n+1} = (1 – 0,05)v_n+0,01c_n = 0,95v_n+0,01c_n$
    Et $c_{n+1} = 0,05v_n+0,99c_n$
    $~$
  2. $Y=AX$ donc $c=0,95a+0,01b$ et $d=0,05a+0,99b$
    $~$
  3. a. $PQ = \begin{pmatrix} 6&0\\\\0&6 \end{pmatrix}$ et $QP = \begin{pmatrix} 6&0 \\\\0&6 \end{pmatrix}$
    Par conséquent $P$ est inversible et $P^{-1} = \dfrac{1}{6}Q$
    $~$
    b. $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1&0 \\\\0&0,94 \end{pmatrix} = D$
    $~$
    c. Initialisation : Si $n=1$ alors $PDP^{-1} = PP^{-1}APP^{-1} = A$
    La propriété est vraie au rang $1$.
    Hérédité : Supposons le propriété vraie au rang $n$ : $A^n = PD^nP^{-1}$
    Alors :
    $\begin{align} A^{n+1}&=AA^n \\\\
    &= PDP^{-1}PD^nP^{-1}\\\\
    &= PDD^nP^{-1} \\\\
    &=PD^{n+1}P^{-1}
    \end{align}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
    Donc, pour tout entier naturel supérieur ou égal à $1$, $A^n=PD^nP^{-1}$
    $~$
  4. $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} 0,94^n$ car $-1 < 0,94 < 1$
    Donc $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} v_n = \dfrac{1}{6}v_0+\dfrac{1}{6}c_0 = \dfrac{1}{6}(v_0+c_0) = \dfrac{250~000}{6} = \dfrac{125~000}{3}$
    $~$
    La population citadine sera, au bout d’un grand nombre d’années de $\dfrac{125~000}{3}$ habitants.
    $~$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

  1. a. $u_1 \approx 2,33$ $\quad$ $u_2 \approx 2,89$ $\quad$ $u_3 \approx 3,59$ $\quad$ $u_4 \approx 4,40$
    $~$
    b. Il semblerait que la suite $(u_n)$ soit croissante.
    $~$
  2. a. Initialisation : $n=0$, $u_0 = 2 \le 0 +3$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \le n + 3$
    Alors :
    $$\begin{align} u_{n+1} &\le \dfrac{2}{3}(n+3) + \dfrac{1}{3}n + 1 \\\\
    & \le n+2+1 \\\\
    & \le n+3 \\\\
    & \le n+1+3
    \end{align}
    $$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
    $~$
    Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n \le n+3$
    $~$
    b. $~$
    $\begin{align} u_{n+1}-u_n &= \dfrac{2}{3}u_n + \dfrac{1}{3}n+1 – u_n \\\\
    &= -\dfrac{1}{3}u_n + \dfrac{1}{3}(n+3) \\\\
    &=\dfrac{1}{3}(n+3-u_n)
    \end{align}$
    $~$
    c. On sait que $n+3 – u_n \ge 0$ donc $u_{n+1}-u_n \ge 0$ et la suite $(u_n)$ est croissante.
    $~$
  3. a. $~$
    $\begin{align} v_{n+1} &=u_{n+1}-n-1 \\\\
    &=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1-n-1 \\\\
    &=\dfrac{2}{3}u_n-\dfrac{2}{3}n \\\\
    &= \dfrac{2}{3}v_n
    \end{align}
    $
    $~$
    La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$ et de premier terme $v_0=2$.
    $~$
    b. On a donc $v_n=2 \times \left(\dfrac{2}{3} \right)^n$ et $u_n = n+v_n = n+2\times \left( \dfrac{2}{3} \right)^n$.
    $~$
    c. $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} n=+\infty$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}\left( \dfrac{2}{3}\right)^n = 0$ car $-1 < \dfrac{2}{3} < 1$.
    Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = +\infty$
    $~$
  4. a. $~$
    $$\begin{align} S_n &= 0 + 1 + 2 +\ldots+n+2\left(1 + \dfrac{2}{3}+\ldots+\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\right) \\\\
    &=\dfrac{n(n+1)}{2} + 2 \dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{2}{3}} \\\\
    &=\dfrac{n(n+1)}{2} + 6\left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)
    \end{align}$$
    b. $~$
    $\begin{align} T_n &=\dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2} + 6\left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)}{n^2} \\\\
    &= \dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n^2} + \dfrac{6\left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)}{n^2}
    \end{align}
    $
    $~$
    Or $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}  \dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \dfrac{1}{2}$ (limite des termes de plus haut degré)
    $~$
    $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}  \dfrac{6\left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)}{n^2} = 0$
    $~$
    Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} T_n = \dfrac{1}{2}$