Métropole – Juin 2014

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Exercice 1

Partie A

$f_1(0) = 0 + \text{e}^0 = 0 + 1 = 1$ .$\quad$ Donc $A \in \mathscr{C}_1$
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La fonction $f_1$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$
$$f_1′(x) = 1 – \text{e}^{-x}$$
$$\begin{align} f_1(x) > 0 & \Leftrightarrow 1 – \text{e}^{-x} > 0 \\\\
& \Leftrightarrow 1 > \text{e}^{-x} \\\\
& \Leftrightarrow 0 > -x \\\\
& \Leftrightarrow 0<x
\end{align}$$$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \text{e}^{-x} = 0$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f_1(x) = +\infty$
$$f(x) = \text{e}^{-x}\left(x\text{e}^x + 1\right)$$
$\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x\text{e}^{x} = 0$ et $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \text{e}^{-x} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$

Partie B

a. La fonction exponentielle étant strictement positive, on a, pour tout $x \in[0;1]$, $f_n(x) > 0$.
Par conséquent $I_n$ correspond à l’aire comprise entre la courbe $\mathscr{C}_n$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
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b. Il semblerait que les aires situées entre les courbes, l’axe des abscisses et les $2$ droites verticales soit de plus en plus petite. La suite $(I_n)$ semble donc décroissante.
Sa limite semble être $\dfrac{1}{2}$.
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$$\begin{align*} I_{n+1}-I_n &=\int_0^1\left(x+\e^{-(n+1)x}\right)\mathrm{d}x-\int_0^1\left(x+\e^{-nx}\right)\mathrm{d}x \\\\
&=\int_0^1 \left(\e^{-(n+1)x}-\e^{-n}\right)\mathrm{d}x \\\\
&=\int_0^1\left(\e^{-(n+1)x}\left(1-\e^x\right)\right)\mathrm{d}x \\
\end{align*}$$Or sur $[0;1]$ on a :$\text{e}^x \ge 1$ par conséquent $1-\text{e}^x \le 0$.
L’exponentielle, quant à elle, est toujours positive.
On en déduit donc que $I_{n+1} – I_n \le 0$. Par conséquent la suite $(I_n)$ est décroissante.
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La suite est décroissante et minorée par $0$ (intégrale d’une fonction positive oblige). Elle converge donc.
Si $n = 0$ alors $f_0(x) = x+1$. Une primitive sur $[0;1]$ est $F_0$ définie par $F_0(x) = \dfrac{1}{2}x^2 +x$.
Par conséquent $I_0 = F_0(1) – F_0(0) = \dfrac{3}{2}$.
Si $n \ge 1$ on a:
$$\begin{align} I_n &= \int_0^1 \left(x+\text{e}^{-nx}\right)\text{d}x \\\\
&= \left[\dfrac{x^2}{2} – \dfrac{\text{e}^{-nx}}{n} \right]_0^1 \\\\
&= \dfrac{1}{2} – \dfrac{\text{e}^{-n}}{n} – \left(-\dfrac{1}{n} \right) \\\\
&= \dfrac{1}{2} – \dfrac{\text{e}^{-n}}{n}+\dfrac{1}{n}
\end{align}$$
Or $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \text{e}^{-n} = 0$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{\text{e}^{-n}}{n} = 0$
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$
Par conséquent :
$$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} I_n = \dfrac{1}{2}$$

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Exercice 2

Partie A

a.
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b.D’après la formule des probabilités totales on a :
$$\begin{align} P(T) &= P(T \cap M) + P\left( T \cap \bar{M} \right) \\\
&= 0,001 \times 0,99 + 0,999\times 0,001 \\\\
&= 0,001989 \\\\
&= 1,989 \times 10^{-3}
\end{align}$$
c. Déterminons :
$$\begin{align} P_T(M) &= \dfrac{P(T \cap M)}{P(T)} \\\\
&= \dfrac{0,001 \times 0,99}{1,989 \times 10^{-3}} \\\\
&=\dfrac{110}{221} < 0,5
\end{align}$$Si le test est positif, il y a donc moins d’une chance sur $2$ que la personne soit malade. L’affirmation est vraie.
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On obtient alors l’arbre suivant :

En utilisant la formule des probabilités totales on obtient :
$$\begin{align} P(T) &= 0,99x + 0,001(1-x) \\\\
&= 0,001 + 0,989x
\end{align}$$
On veut :
$$\begin{align} P_T(M) \ge 0,95 & \Leftrightarrow \dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} \ge 0,95\\\\
& \Leftrightarrow \dfrac{0,99x}{0,001+0,989x} \ge 0,95\\\\
& \Leftrightarrow 0,99x \ge 0,95(0,001 + 0,989x) \\\\
& \Leftrightarrow 0,05045x \ge 0,00095 \\\\
& \Leftrightarrow x \ge \dfrac{19}{1009}
\end{align}$$
Il faut donc que $x \ge \dfrac{19}{1009}$ pour que le laboratoire commercialise le test.
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Partie B

a. On calcule donc $P(890 \le X \le 920) \approx 0,92$
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b. $~$
$$ \begin{align} P(900 -h \le X \le 900+h) \approx 0,99 & \Leftrightarrow P \left(-\dfrac{h}{7} \le \dfrac{X-900}{7} \le \dfrac{h}{7} \right) \approx 0,99 \\\\
&\Leftrightarrow 2P(\left( \dfrac{X-900}{7} \le \dfrac{h}{7} \right) – 1 \approx 0,99 \\\\
&\Leftrightarrow 2P \left(\dfrac{X-900}{7} \le \dfrac{h}{7} \right) \approx 1,99 \\\\
&\Leftrightarrow P\left(\dfrac{X-900}{7} \le \dfrac{h}{7} \right) \approx 0,995
\end{align}$$
En effet la variable $\dfrac{X-900}{7}$ suit la loi normale centrée réduite.
La calculatrice nous donne donc $\dfrac{h}{7} \approx 2,5758 $ d’où $h = 18$ ($h$ est un entier)
$~$
Remarque : Puisqu’on sait que $h$ est un entier, on peut calculer, en expliquant sa démarche sur la copie, toutes les valeurs de $P(900-h \le X \le 900+h)$ jusqu’à ce qu’on obtienne environ $0,99$.
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$n=1000 \ge 30$ , $np = 970 \ge 5$ et $n(1-p) = 30 \ge 5$
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
$$\begin{align} I_{1000} & = \left[0,97 – 1,96\times \dfrac{\sqrt{0,97 \times 0,03}}{\sqrt{1000}};0,97 + 1,96\times \dfrac{\sqrt{0,97 \times 0,03}}{\sqrt{1000}} \right] \\\\
&\approx [0,959;0,981]
\end{align}$$
La fréquence observée des comprimés conformes est $f=\dfrac{947}{1000} = 0,947 \notin I_{1000}$.
De plus $f < 0,959$.
Les réglage faits par le laboratoire ne sont donc pas convenables.

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Exercice 3

$Z^2 +4Z + 16 = 0$
Calculons $\Delta = 4^2 – 4 \times 16 \times 1 = -48<0$
L’équation possède donc $2$ solutions complexes : $Z_1 = \dfrac{-4 – \text{i}\sqrt{48}}{2} = -2 – 2\sqrt{3}\text{i}$ et $Z_2 = -2 + 2\sqrt{3}\text{i}$
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$|Z_1| = 4$ par conséquent $Z_1 = 4 \left(-\dfrac{1}{2} – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i} \right) = 4\text{e}^{-2\text{i}\pi/3}$.
Donc $Z_2 = 4\text{e}^{2\text{i}\pi/3}$.
$a^2 = 2^2\text{e}^{2\text{i}\pi/3}$ $=4\text{e}^{2\text{i}\pi/3} = Z_2$
Par conséquent les solutions de $z^2 = -2+2\text{i}\sqrt{3}$ sont $a = 1+\text{i}\sqrt{3}$ et $-a = -1 – \text{i}\sqrt{3}$
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D’une part :
$$\begin{align} \overline{z_1z_2} & = \overline{(x_1+\text{i}y_1)(x_2+\text{i}y_2)} \\\\
&=\overline{(x_1x_2+ \text{i}x_1y_2+\text{i}y_1x_2 – y_1y_2} \\\\
&=x_1x_2-y_1y_2-\text{i}(x_1y_2+x_2y_1)
\end{align}$$
D’autre part :
$$\begin{align} \overline{z_1}\times \overline{z_2} &= (x_1 – \text{i}y_1)(x_2 – \text{i}y_2) \\\\
&= x_1x_2 – y_1y_2 – \text{i}(x_1y_2+x_2y_1) \\\\
&=\overline{z_1z_2}
\end{align}$$
$~$
Pour démontrer la seconde propriété, procédons par récurrence :
Initialisation : $\bar{z^1}=\bar{z} = \bar{z}^1$
La propriété est donc vraie au rang $1$.
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Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$.
$\overline{z^{n+1}} = \overline{z \times z^n} = \overline{z}\times \overline{z^n} $ $=\bar{z} \times \overline{z}^n $ $=\overline{z}^{n+1}$.
La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
$~$
Conclusion : la propriété est vraie au rang $1$. En la supposant vraie au rang $n$ elle est encore vraie au rang suivant.
Par conséquent : pour tout entier naturel $n$ non nul, $\bar{z^n} = \bar{z}^n$.$~$
Soit $z$ une solution de $(E)$
Alors $\overline{z}^4 + 4\overline{z}^2 + 16 = \overline{z^4}+\overline{z^2}+16 = \overline{z^4+z^2+16} = 0$
Donc $\bar{z}$ est également solution de $(E)$.
Finalement les solutions de $(E)$ sont :
$1+\text{i}\sqrt{3}$ $\quad$ $-1-\text{i}\sqrt{3}$ $\quad$ $1-\text{i}\sqrt{3}$ $\quad$ $-1+\text{i}\sqrt{3}$

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Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

a. $D(0;0;1)$ et $F(0,5;0,5;0)$
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b. $\vec{DF}(0,5;0,5;-1)$
Donc une représentation paramétrique de $(DF)$ est :
$$\begin{cases} x= 0,5t \\\\y=0,5t \qquad t\in \R \\\\z=1-t \end{cases}$$
$~$
c. Une équation du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme :
$$0,5x+0,5y-z+d=0$$
On sait que $A$ appartient au plan. Ses coordonnées vérifient donc son équation :
$$0 + 0 + 0 + d=0$$
Donc une équation de $\mathscr{P}$ est $0,5x+0,5y-z = 0$ ou encore $x+y-2z=0$.
$~$
d. Les coordonnées vérifient les équations de $(DF)$ et de $\mathscr{P}$.
On injecte donc dans l’équation du plan les équations paramétriques :
$$0,5t+0,5t-2(1-t) = 0 \Leftrightarrow -3t+2=0 \Leftrightarrow t = \dfrac{2}{3}$$
Donc le point $H$ a pour coordonnées $\left( \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$.
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e. $E(0,5;0;0 )$ donc $\vec{EH}\left(\dfrac{-1}{6};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$
$G(0;0,5;0)$ donc $\vec{GH}\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{-1}{6};\dfrac{}{3} \right)$
$\vec{EH}.\vec{GH} = \dfrac{-1}{18}+\dfrac{-1}{18}+\dfrac{1}{9} = 0$
Les $2$ vecteurs sont donc orthogonaux. L’angle $\widehat{EHG}$ est bien droit.
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a. On appelle $(x;y;z)$ les coordonnées de $M$. $\vec{DM} = t\vec{DF}$ donc :
$$\begin{cases} x=0,5t \\\\y=0,5t\\\\z-1=-t \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=0,5t \\\\y=0,5t\\\\z=1-t \end{cases}$$
Par conséquent :
$$ \begin{align} ME^2 &= (0,5t – 0,5)^2+(0,5t)^2+(1-t)^2 \\\\
&= 0,25t^2-0,5t+0,25 + 0,25t^2+1-2t+t^2 \\\\
&=1,5t^2-2,5t+1,25 \\\\
&=\dfrac{3}{2}t^2-\dfrac{5}{2}t+\dfrac{5}{4}
\end{align}$$
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b.$~$
$$ \begin{align} MG^2 &= (0,5t)^2+(0,5t-0,5)+(1-t)^2 \\\\
&= \dfrac{3}{2}t^2-\dfrac{5}{2}t+\dfrac{5}{4} \\\\
&= ME^2
\end{align}$$
Par conséquent $ME = MG$ et le triangle $MEG$ est donc isocèle en $M$.
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On appelle $K$ le milieu de $[EG]$. La droite $(MK)$ est donc une hauteur et une bissectrice du triangle $MEG$ et $\widehat{EMK} = \dfrac{\alpha}{2}$.
Dans le triangle $MEG$ rectangle en $K$ on a : $\sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right) = \dfrac{EK}{ME}$
Or $EK = \dfrac{EG}{2} = \dfrac{\sqrt{0,5}}{2} = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$.
Par conséquent :
$$ \sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right) = \dfrac{EK}{ME} \Leftrightarrow ME sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right) = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$$.
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c. Pemière méthode : La fonction $\sin$ est strictement croissante sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$.
Par conséquent $\alpha$ maximale $\Leftrightarrow \sin \left( \dfrac{\alpha}{2} \right)$ maximal.
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Deuxième méthode : Les fonctions $\alpha$ et $\sin\left( \dfrac{\alpha}{2} \right)$ sont dérivables (on le suppose pour $\alpha$) sur $\R$.
$ \left(\sin\left( \dfrac{\alpha}{2} \right) \right)’ = \dfrac{\alpha’}{2} \cos \left( \dfrac{\alpha}{2} \right) $.
$\alpha$ ne prend des valeurs que dans $[0;\pi]$ donc $\cos \left( \dfrac{\alpha}{2} \right) \ge 0$ Par conséquent :
le signe de $\left(sin\left( \dfrac{\alpha}{2} \right) \right)’ $ = le signe de $\alpha’$Par conséquent $\alpha$ maximale $\Leftrightarrow \sin \left( \dfrac{\alpha}{2} \right)$ maximal.
$~$
$~$
$~$
Le produit $ME \sin \left(\dfrac{\alpha}{2} \right) $ est constant.
Par conséquent $\alpha$ maximale $\Leftrightarrow \sin \left( \dfrac{\alpha}{2} \right)$ maximal $\Leftrightarrow ME$ minimal.
$~$
d. Pour déterminer le minimum de $ME$ on va trouver la valeur de $t$ telle que $\dfrac{3}{2}t^2-\dfrac{5}{2}t+\dfrac{5}{4}$ soit minimal.
Il s’agit de trouver l’abscisse du sommet de la parabole correspondante :
$$x_S = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{5}{6}$$
Par conséquent les coordonnées du point $M$ cherché sont $\left( \dfrac{5}{12};\dfrac{5}{12};\dfrac{1}{6} \right)$.

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Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On a $a-1 = 2b_0+200 = 400$ et $b_1 = a_0 + 100 = 300$
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$a_2=2b_1+200 = 800$ et $b_2 = a_1 + 100 = 400$
On a donc $a_{n+1} = 2b_n+200$ et $b_{n+1}=a_n+100$
a. $~$
$$\begin{align} AX_n+B &= \begin{pmatrix}2b_n \\\\a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}200\\\\100 \end{pmatrix} \\\\
&= \begin{pmatrix} 2b_n+200 \\\\a_n + 100 \end{pmatrix} \\\\
&X_{n+1}
\end{align}$$
b. On cherche les valeurs de $(x;y)$ telles que :
$$\begin{align} \begin{cases} x=2y+200 \\\\y=x+100 \end{cases} & \Leftrightarrow \begin{cases} x=2y+200 \\\\y=2y+200+100 \end{cases} \\\\
& \Leftrightarrow \begin{cases} x=2y+200 \\\\ y=-300\end{cases} \\\\
& \Leftrightarrow \begin{cases} x=-400 \\\\ y=-300\end{cases}
\end{align}$$
$~$
c.$~$
$$\begin{align} Y_{n+1} &= \begin{pmatrix} a_{n+1}+400 \\\\b_{n+1}+300 \end{pmatrix} \\\\
&= \begin{pmatrix} 2b_n+200 + 400 \\\\a_n+100 + 300 \end{pmatrix} \\\\
&=\begin{pmatrix} 2(b_n + 300) \\\\a_n + 400 \end{pmatrix} \\\\
&=AY_n
\end{align}$$
a. $Z_{n+1} = Y_{2(n+1)} = Y_{2n+2} = AY_{2n+1} = A^2Y_{2n} = A^2Z_n$
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On a $A^2 = 2I$ où $I$ est la matrice identité.
Par conséquent $Z_{n+1}=2Z_n$.
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b. $Y_{2n+1} = AY_{2n}=2^nAY_0= 2^nY_1$
Or $Y_0 = \begin{pmatrix} 600\\\\400 \end{pmatrix}$ donc $Y_{2n} = \begin{pmatrix} a_{2n} + 400\\\\b_{2n}+300 \end{pmatrix} = 2^n \begin{pmatrix} 600\\\\400 \end{pmatrix}$
Par conséquent $a_{2n} = 600 \times 2^n – 400$
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$Y_1 = \begin{pmatrix} 800\\\\600 \end{pmatrix}$ donc $Y_{2n+1} = \begin{pmatrix} a_{2n+1} + 400\\\\b_{2n+1}+300 \end{pmatrix} = 2^n \begin{pmatrix} 800\\\\600 \end{pmatrix}$
Par conséquent $a_{2n} = 800 \times 2^n – 400$
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a. Si $p$ est pair alors $p = 2k$ par conséquent, dans l’algorithme, $n=k$ et on calcule $a_{2k}=a_p$ d’après la question précédente.
Si $p$ est impaire alors $p=2k+1$ par conséquent, dans l’algorithme, $n= \dfrac{p-1}{2} = k$ et on calcule $a_{2k+1} = a_p$d’après la question précédente.
Dans tous les cas on calcule la population du bassin A au bout de $p$ années.
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b. Variables :
$\quad$ $a$, $p$ et $n$ sont des entiers naturels.
Initialisation :
$\quad$ $p$ prend la valeur $0$
$\quad$ $a$ prend la valeur $200$
Traitement :
$\quad$ Tant que $a \le 10~000$
$\qquad$ $p$ prend la valeur $p+1$
$\qquad $ si $p$ est pair
$\qquad \qquad$ Affecter à $n$ la valeur $\dfrac{p}{2}$
$\qquad \qquad$ Affecter à $a$ la valeur $600 \times 2^n-400$
$\qquad$ Sinon
$\qquad \qquad$ Affecter à $n$ la valeur $\dfrac{p-1}{2}$
$\qquad \qquad$ Affecter à $a$ la valeur $800 \times 2^n-400$
$\qquad$ Fin de Si
$\quad$ Fin de Tant que
Sortie :
$\quad$ Afficher $p$