Polynésie – Juin 2013

Bac S – Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac se trouve ici.

Exercice 1

1. a. Points d’intersection avec l’axe des abscisses :
   On cherche donc à résoudre:
   $$\begin{align} f(x) = 0 & \Leftrightarrow (x+2)\text{e}^{-x} = 0 \\
   & \Leftrightarrow x+2 = 0 \\
   & \Leftrightarrow x = -2
   \end{align}
   $$
   La fonction exponentielle ne s’annule jamais.
   Le point d’intersection de $\mathscr{C}$ avec l’axe des abscisses a pour coordonnées $(-2;0)$
   $~$
   Point d’intersection avec l’axe des ordonnées : $f(0)=2$.
   Le point d’intersection avec l’axe des ordonnées a pour coordonnées $(0;2)$.
   $~$
   b. $\lim\limits_{x \rightarrow – \infty} x+2 = -\infty$ et $\lim\limits_{x \rightarrow – \infty} \text{e}^{-x} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow – \infty} f(x) = -\infty$
   $~$
   $f(x) = x\text{e}^{-x} + 2\text{e}^{-x}$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} x\text{e}^{-x} = \lim\limits_{x \rightarrow – \infty}-x\text{e}^x = 0$ et $\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} \text{e}^{-x} = 0$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow + \infty} f(x) = 0$
   Il y a donc une asymptote horizontale d’équation $y=0$
   $~$
   c. $f$ est un produit de fonctions dérivables sur $\R$, elle est donc dérivable sur $\R$ également.
   $$f'(x) = \text{e}^{-x}-(x+2)\text{e}^{-x} = -(x+1)\text{e}^{-x}$$
   La fonction exponentielle étant toujours positive, le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-(x+1)$.
   $f(-1)=\text{e}$
   La fonction $f$ est donc croissante sur $]-\infty;-1]$ et décroissante sur $[-1;+\infty[$.
   $~$
2. a. On a donc $$\begin{align} S &= \dfrac{1}{4}\left(f(0)+f\left(\dfrac{1}{4}\right) + f\left(\dfrac{1}{2} \right) + f\left(\dfrac{3}{4} \right) \right) \\\\
   & = 1,642 \text{ à} 10^{-3} \text{ près}
   \end{align}
   $$
   b. Chacun des $N$ rectangles a une largeur de $\dfrac{1}{N}$
   $~$
   Variables :
   $\quad$ $k$ est un nombre entier
   $\quad$ $S$ est un nombre réel
   $\quad$ $N$ est un nombre entier supérieur ou égal à $2$
   Initialisation :
   $\quad$ Affecter à $S$ la valeur $0$
   Traitement :
   $\quad$ Pour $k$ variant de $0$ à $N-1$
   $\qquad$ Affecter à $S$ la valeur $S + \dfrac{1}{N}f\left( \dfrac{k}{N} \right)$
   $\quad$ Fin Pour
   Sortie :
   $\quad$ Afficher $S$
   $~$
3. a.
   La fonction $f$ étant positive sur l’intervalle $[0;1]$ on a donc :
   $$ \begin{align} \mathscr{A} &= \int_0^1 f(x) \text{d}x \\\\
   & =g(1) – g(0) \\\\
   &=-4\text{e}^{-1} + 3 \text{ u.a.}
   \end{align}$$
   b. L’erreur commise est donc : $S – \mathscr{A} \approx 0,114$ à $10^{-3}$ près.

$~$

Exercice 2

1. $\text{i} \dfrac{z_1}{z_2} $ $=\text{e}^{\text{i}\pi/2}\dfrac{\sqrt{6}\text{e}^{\text{i}\pi/4}}{\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\pi/3}}$ $=\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}(\pi/2+\pi/4+\pi/3)}$ $=\sqrt{3}\text{e}^{13\text{i}\pi/12}$
   Réponse d
   $~$
2. On pose $z=x+iy$
   $$-z=\bar{z} \Leftrightarrow -x-\text{i}y = x – iy \Leftrightarrow x = 0$$
   Réponse c
   $~$
3. $\vec{AB}(-2;3;1)$ et $C(-1;0;4)$
   Une réprésentation paramétrique de cette droite est donc :
   $$\begin{cases} x=-1-2t \\\\
   y=0+3t \qquad t \in \R \\\\
   z=4+t
   \end{cases}$$
   Réponse a
   $~$
4. Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}(1;1;2)$.$\vec{u}.\vec{n} = 1 \times 3 + 1 \times (-5) + 2\times 1 = 0$.
   Par conséquent ces $2$ vecteurs sont orthogonaux et $\Delta$ est parallèles à $\mathscr{P}$.
   $~$
   Une équation cartésienne du plan est de la forme : $$3x-5y+z-d=0$$
   Or $D \in \mathscr{P}$ .
   Donc $3 \times (-1) – 5 \times 2 + 3 + d = 0$ et $d= 10$.
   Une équation de $\mathscr{P}$ est, par conséquent : $$3x-5y+z+10=0$$
   Le point de coordonnées (-7;3;5) appartient à $\Delta$.
   Regardons si ce point appartient également au plan :
   $$3 \times (-7) – 5\times 3 + 5 + 10 = -21 \ne 0$$
   Réponse b
   $~$

Exercice 3

Partie 1

1. $~$
   
   On a donc $p(C \cap H) = 0,3 \times \dfrac{5}{6} = 0,25$
   $~$
2. a. $p(H) \times p(C) = \dfrac{13}{20} \times 0,3 = 0,195 \ne 0,25$
   Donc les $2$ événements ne sont pas indépendants.
   $~$
   b. $p(H) = p(J \cap H) + p(V \cap H) + p(C \cap H)$
   Donc $p(J \cap H) = \dfrac{13}{20} – \dfrac{4}{9} \times 0,45 – 0,25 = 0,2$.
   $~$
   Par conséquent $$p_J(H) = \dfrac{p(J \cap H)}{p(J)} = 0,8$$

$~$

Partie 2

1. $n = 60 \ge 30$ $np = 60 \times 0,3 = 18 \ge 5$ et $n(1-p) = 60 \times 0,7 = 42 \ge 5$
   Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ est donc :
   $$\begin{align} I_{60} &= \left[ 0,3 – 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,3 \times 0,7}}{\sqrt{60}};0,3 + 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,3 \times 0,7}}{\sqrt{60}} \right] \\\\
   & = \left[ 0,3 – 1,96 \sqrt{0,0035};0,3+1,96\sqrt{0,0035} \right] \\\\
   & (\approx [0,184;0,416])
   \end{align}$$
2. La fréquence observée est donc $\dfrac{12}{60} = 0,2 \in I_{60}$.
   La lecture aléatoire n’est donc pas défectueuse.
   $~$

Partie 3

1. $P(180 \le X \le 220) = P(x \le 220) – P(X \le 180)$ $ = 0,841 – 0,159 $ $= 0,682$
   $~$
2. On cherche donc :
   $$\begin{align} P(X \ge 240) & = 1 – P(0 \le X \le 240) \\\\
   & = 1 – 0,977 \\\\
   & = 0,023
   \end{align}$$

$~$

Exercice 4

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. a. $u_1 = \dfrac{3u_0}{1+2u_0} = 0,75$ $\quad$ $u_2 = \dfrac{3u_1}{1+2u_1} = 0,9$
   $~$
   b. Initialisation : $u_0 = 0,5 > 0$. La propriété est donc vraie au rang $0$
   $~$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $0 < u_n$.
   Alors $u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{1+2u_n}$ est un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont positifs.
   Donc $u_{n+1} > 0$
   La propriété est, par conséquent, vraie au rang $n+1$.
   $~$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0< u_n$.
   $~$
2. a. $~$
   $$\begin{align} u_{n+1}-u_{n} &= \dfrac{3u_n}{1+2u_n} – u_n \\\\
   & = \dfrac{3u_n}{1+2u_n} – \dfrac{u_n+2u_n^2}{1+2u_n} \\\\
   & = \dfrac{2u_n-2u_n^2}{1+2u_n} \\\\
   & = \dfrac{2u_n(1-u_n)}{1+2u_n}
   \end{align}$$
   On sait que $0 < u_n < 1$ donc $u_{n+1} – u_n > 0$.
   La suite $(u_n)$ est donc croissante.
   $~$
   b. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée; elle est donc convergente.
   $~$
3. a. $~$
   $$\begin{align} v_{n+1} &= \dfrac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}} \\\\
   & = \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{1 – \dfrac{3u_n}{1+2u_n}} \\\\
   &= \dfrac{\dfrac{3u_n}{1+2u_n}}{\dfrac{1+2u_n-3u_n}{1+2u_n}} \\\\
   &=\dfrac{3u_n}{1+2u_n} \times \dfrac{1+2u_n}{1-u_n} \\\\
   &= 3 \dfrac{u_n}{1-u_n} \\\\&=3v_n
   \end{align}$$
   $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $3$.
   $~$
   b. $v_0 = \dfrac{0,5}{1 – 0,5} = 1$ donc $v_n = 3^n$.
   $~$
   c. $~$
   $$ \begin{align} v_n = \dfrac{u_n}{1-u_n}& \Leftrightarrow 3^n = \dfrac{u_n}{1-u_n} \\\\
   &\Leftrightarrow (1-u_n) \times 3^n = u_n \\\\
   & \Leftrightarrow 3^n = u_n + 3^n u_n \\\\
   & \Leftrightarrow u_n = \dfrac{3^n}{1+3^n}
   \end{align}$$
   d. $\dfrac{1+3^n}{3^n} = \dfrac{1}{3^n} + 1$ or $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{3^n} = 0$ (car $3 > 1$).
   Par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{u_n} = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1 + 3^n}{3^n} = 1$ et $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} u_n = 1$

$~$

Exercice 4

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. a. $a_1 = 0,7 \times 300 + 0,2 \times 300 + 60 = 330$
   et $b_1 = 0,1 \times 300 + 0,6 \times 300 + 70 = 280$
   Donc $U_1 = \begin{pmatrix} 330 \\\\280 \end{pmatrix}$.
   $~$
   b. $~$
   $$ \begin{align} M \times U_n + P &= \begin{pmatrix} 0,7\times a_n + 0,2\times b_n \\\\0,1 \times a_n + 0n6 \times b_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 60 \\\\70 \end{pmatrix} \\\\
   &= \begin{pmatrix} 0,7 \times a_n + 0,2\times b_n + 60\\\\0,1 \times a_n + 0,6 \times b_n + 70 \end{pmatrix} \\\\
   &=\begin{pmatrix} a_{n+1}\\\\b_{n+1} \end{pmatrix} \\\\
   &=U_{n+1}
   \end{align}$$
2. a. $(I – M) = \begin{pmatrix} 0,3&-0,2 \\\\ -0,1&0,4 \end{pmatrix}$
   Donc $(I-M) \times \begin{pmatrix} 4&2\\\\1&3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0 \\\\0&1 \end{pmatrix} = I$.
   $~$
   b. Par conséquent $I-M$ est inversible et son inverse est $\begin{pmatrix} 4&2\\\\1&3 \end{pmatrix}$.
   $~$
   c. On veut que :
   $$\begin{align} U = M \times U + P & \Leftrightarrow U – M \times U = P \\\\
   & \Leftrightarrow (I-M)U = P \\\\
   &\Leftrightarrow U = (I – M)^{-1} \times P \\\\
   & \Leftrightarrow U = \begin{pmatrix} 380 \\\\270 \end{pmatrix}
   \end{align}$$
3. a. $~$
   $$\begin{align} V_{n+1} &= U_{n+1}-U \\\\
   & = M \times U_n + P -(M \times U + P) \\\\
   &= M \times U_n – M \times U \\\\
   &= M \times (U_n – U) \\\\
   &= M \times V_n
   \end{align}$$
   b. Montrons ce résultat par récurrence.
   Initialisation : $M^0 \times V_0 = I \times V_0 = V_0$.
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $~$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $V_n = M^n \times V_0$.
   Alors $V_{n+1} = M \times V_n = M \times M^n \times V_0 = M^{n+1} \times V_0$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $~$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang $n+1$.
   Donc pour tout entier naturel $n$, $V_n = M^n \times V_0$.
   $~$
4. a. On a donc $$U_n = V_n + U = \begin{pmatrix} \dfrac{-100}{3} \times 0,8^n – \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 380 \\\\ \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 270 \end{pmatrix}$$
   Par conséquent $a_n = \dfrac{-100}{3} \times 0,8^n – \dfrac{140}{3} \times 0,5^n + 380$.
   Or $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,8^n = 0$ car $-1 < 0,8 < 1$
   et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 0,5^n = 0$ car $-1 < 0,5 < 1$.
   Donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} a_n = 380$.
   $~$
   b. A long terme l’opérateur A aura donc $380~000$ abonnés.