Antilles – Guyane – TSTMG – Juin 2014

Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac se trouve ici.

Exercice 1

Partie A

 

1. On cherche à déterminer $P_{T_A}\left( \overline{T_R} \right) = 0,1$ Réponse c
   $~$
2. On calcule $P\left( T_A \cap T_R \right) = 0,7 \times 0,9 = 0,63$. Réponse a
   $~$
3. D’après la formule des probabilités totales :
   $$\begin{align} P\left(\overline{T_R} \right) &= P\left( T_A \cap \overline{T_R} \right) + P\left( \overline{T_A} \cap \overline{T_R} \right) \\\\
   &= 0,7 \times 0,1 + 0,3 \times 0,8 \\\\
   &= 0,31
   \end{align}$$
   Réponse d
   $~$
4. On calcule donc :
   $$\begin{align} P\left( T_A \cap \overline{T_R} \right) + P\left( T_R \cap \overline{T_A} \right) &= 0,7 \times 0,1 + 0,3 \times 0,2 \\\\
   &= 0,13
   \end{align}$$
   Réponse b
   $~$

Partie B

1. $P(T \le 38) = 0,5$ (propriété de la moyenne des lois normales).
   $~$
2. $~$
   $$\begin{align} P(36 \le T \le 40) &= P(T \le 40) – T(T \le 36) \\\\
   & = 0,8413 – 0,1587 \\\\
   &=0,6826\\\\
   & \approx 0,68
   \end{align}$$

$~$

Exercice 2

Partie A

1. $~$
   
2. D’après la calculatrice, l’équation de la droite d’ajustement affine est :
   $$ y =0,41x+4,03$$
3. a. En $2015$, $x=8$ donc $y=0,4 \times 8 + 4 = 7,2$.
   Il y aura donc, selon ce modèle, $7,2$ milliards d’habitants.
   $~$
4. On cherche la plus petite valeur de $x$ entière telle que :
   $$\begin{align} 0,4x + 4 \ge 8 & \Leftrightarrow 0,4x \ge 8 \\\\
   & \Leftrightarrow x \ge \dfrac{8}{0,4} \\\\
   & \Leftrightarrow 20
   \end{align}$$
   C’est donc à partir de $2075$ que, selon ce modèle, la population dépassera $8$ milliards d’habitants.

$~$

Partie B

1. $\dfrac{6,8-4,4}{4,4} \approx 0,5454 \approx 54,54\%$
   Le taux d’évolution de la population mondiale entre $1980$ et $2010$ est donc de $54,54\%$.
   $~$
2. $30$ années sépare donc $1980$ de $2010$. On cherche la valeur de $T$ telle que :
   $$\begin{align} \left( 1 + \dfrac{T}{100} \right)^{30}=1,5454 & \Leftrightarrow 1 + \dfrac{T}{100} = \sqrt{30}{1,5454} \\\\
   & \Leftrightarrow \dfrac{T}{100} = \sqrt[30]{1,5454} – 1 \\\\
   & \Leftrightarrow T = 100 \left( \sqrt[30]{1,5454} – 1 \right) \\\\
   & \Leftrightarrow T \approx 1,09
   \end{align}$$
   Le taux d’évolution moyen annuel de la population mondiale entre $1980$ et $2010$ est donc de $1,09$.

$~$

Exercice 3

Partie A : Etude graphique

1. $~$
   
   Au bout de $15$ jours, environ $15250$ habitants étaient touchées par cette maladie.
   $~$
2. $10\%$ de $130~000$ représente $13~000$ habitants.
   Les crèches ont donc été fermées $20$ jours.
   $~$

Partie B : Etude algébrique

1.  $f'(t) = -30 \times 2t + 1200 = -60t + 1200$.
   $~$
2. On étudie le signe de $f'(t)$ :
   $$-60t +1200 \ge 0 \Leftrightarrow -60t \ge -1200 \Leftrightarrow t \le 20$$
   Par conséquent :$f(20)$ = -30 \times 20^2 + 1200\times 20 + 4000 = 16~000$.
   
   
3. Le maximum est atteint au bout de $20$ jours. $16000$ personnes sont alors touchées.

$~$

Exercice 4

Partie A : les économies…

1.  $u_1 =1000+75 = 1075$ $\quad$ $u_2 = 1075 + 75 = 1150$ $\quad$ $u_3 = 1150 + 75 = 1225$
   $~$
2. a. Il ajoute chaque mois $75$ euros sur son compte non rémunéré.
   $(u_n)$ est donc une suite arithmétique de raison $75$ et de premier terme $u_0=1000$.
   b. Par conséquent $u_n=1000+75n$.
   On cherche à résoudre :
   $$\begin{align} 1000+75n \ge 3500 &\Leftrightarrow 75n \ge 2500 \\\\
   &\Leftrightarrow n \ge \dfrac{2500}{75} \\\\
   &\Leftrightarrow n \ge 34
   \end{align}$$

$~$

Partie B : et les dépenses …

1. $v_1 = \left(1 + \dfrac{4}{100} \right)v_0 = 1,04v_0$
   $V_3 = 1,04^3v_0 = 1,04^3 \times 660 \approx 742,41$.
   Cela signifie donc qu’au mois d’avril, ses dépenses s’élèvent à $742,41$ €.
   $~$
2. On calcule $v_11 = 1,04^11 v_0 \approx  1016,04$.
   Au mois de décembre, les dépenses s’élevaient à $1016,04$ €.
   $~$
3. On cherche la  plus petite valeur de $n$ telle que : $1,04^n \ge 2 $.
   Grâce au menu table de la calculatrice, on trouve $n =18$ (en juillet $2015$).