Centres étrangers – TSTMG – Juin 2014

Mathématiques – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est ici.

Exercice 1

1. Il s’agit de lire l’ordonnée du point $B$ : $f(1) = -4,6$ Réponse d
   $~$
2.  La tangente en $B$ est horizontale : $f'(1) = 0$ Réponse c
   $~$
3. L’ordonnée à l’origine de $T_0$ est $-3$.
   La droite passe par le point de coordonnées $(-1;0)$
   Son équation est $y=-3x-3$.
   Réponse a
   $~$
4. La fonction $f$ change de sens de variations en $-3$ et $1$ donc $f’$ change de signe.
   Réponse b
   $~$

 

Exercice 2

1. a.
   
   b. Les points semblent être situés sur une droite. On peut donc envisager un ajustement affine.
   $~$
2. La calculatrice nous fournit l’équation : $y=-2,72x+152,33$.
   $~$
3. a. voir graphique
   $~$
   b. En décembre, $x=12$ donc $y=-2,7 \times 12 + 152 = 119,6$.
   On peut donc estimer que $119~600$ voitures seront vendues en décembre $2013$.
   $~$
   c. On cherche la valeur de $x$ telle que :
   $$\begin{align} -2,7x+152 \le 130 & \Leftrightarrow -2,7x \le -22\\\\
   & \Leftrightarrow  x \ge \dfrac{22}{2,7} \\\\
   & \Leftrightarrow  x \ge 9
   \end{align}$$
   Le nombre de voitures neuves en France serait strictement inférieur à $130~000$ véhicules à partir du mois de Septembre $2013$.

$~$

 

Exercice 3

Partie A

1. a. Le taux d’évolution entre $2008$ et $2009$ est de $+1,5\%$.
   $214~840 \times 1,015 \approx 218~063$.
   Le prix moyen des maison était donc en $2009$ de $218~063€$.
   $~$
   b. $\dfrac{232~458 – 231~562}{231~562} \approx 0,4\%$
   Le taux d’évolution du prix moyen des maisons entre $2010$ et $2011$ est donc de $0,4\%$.
   $~$
2. On peut utiliser les réponses :
   – $=C2/200~000*100$
   – $=C2/\$B\$2*\$B\$4$

$~$

Partie B

1. a. $u_1 = 10~000 \times 1,05 = 10~500$.
   $~$
   b. $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 10~000$ et de raison $1,05$.
   Par conséquent $u_n = 10~000 \times 1,05^n$.
   $~$
   c. On veut calculer $u_{10} = 10~000 \times 1,05^{10} \approx 16~289$.
   $~$
2. a. Le taux annuel des intérêts composés est de $5\%$. Par conséquent, on a l’année suivante $1,05C_n$.
   Chaque année, elle ajoute $1~000$€.
   Donc $C_{n+1} = 1,05C_n+1~000$
   $~$
   b. Cela  signifie donc que c’est à partir de la $8^\text{ème}$ année, soit $2023$, que le capital obtenu avec la deuxième option dépasse $10~000€$.

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Exercice 4

Partie A

1. $~$
   
2. a. $p\left(M_1 \cap \bar{C} \right) = 0,6 \times 0,07 = 0,042$.
   Cela signifie donc que la probabilité d’avoir un pot non conforme provenant de la machie $m_1$ est de $0,042$.
   $~$
   b. $p\left(M_2 \cap \bar{C} \right) =0,4 \times 0,02 = 0,008$.
   $~$
3. D’après la formule des probabilités totales :
   $$\begin{align} p\left( \bar{C} \right) & = p\left(M_1 \cap \bar{C} \right) + p\left(M_2 \cap \bar{C} \right) \\\\
   &= 0,042 + 0,008 \\\\
   &= 0,05
   \end{align}$$
4. On cherche donc :
   $$\begin{align} p_\bar{C}(M_2) &= \dfrac{p\left(M_2 \cap \bar{C} \right)}{p\left(\bar{C} \right)} \\\\
   &= \dfrac{0,008}{0,05} \\\\
   &= 0,16
   \end{align}$$

$~$

Partie B

1. On veut calculer $P(790 \le X \le 810) = 2 \times P(800 \le X \le 810) = 0,904$.
   $~$
2. $P(794 \le X \le 806) < P(790 \le X \le 810) = 0,904 <1$.
   L’argument n’est donc pas exact.