Exercice 1

1. $\bullet$ D’après les limites composées $\lim\limits_{x\to +\infty}x\e^{-x}=0$. Donc $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0$.
   Par conséquent, l’axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbre $C_f$.
   Affirmation 1 vraie.
   $\quad$
   $\bullet$ La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*}f'(x)&=5\e^{-x}-5x\e^{-x} \\
   &=5(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
   Par conséquent :
   $\begin{align*} f'(x)+f(x)&=5\e^{-x}-5x\e^{-x}+5x\e^{-x} \\
   &=5\e^{-x}\end{align*}$
   La fonction $f$ est bien solution de l’équation différentielle $(E)$.
   Affirmation 2 vraie
   $\quad$
2. $\bullet$ Si on considère les suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies pour tout $n\in\N$ par $u_n=-1$, $w_n=1$ et $v_n=(-1)^n$.
   On a bien $u_n\pp v_n \pp w_n$ ainsi que $\left(u_n\right)$ converge vers $-1$ et $\left(w_n\right)$ converge vers $1$.
   Or $\left(v_n\right)$ n’admet pas de limite.
   Affirmation 3 fausse
   $\quad$
   Remarque : Les deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ sont constantes. Il n’était pas précisé dans l’énoncé que les suites devaient être strictement monotones.
   On peut cependant le faire en considérant, pour tout entier naturel $n$, $u_n=-1-\dfrac{1}{n}$ et $w_n=1+\dfrac{1}{n}$.
   $\quad$
   $\bullet$ La suite $\left(u_n\right)$ est croissante donc, pour entier naturel $n$, on a $u_0 \pp u_n$.
   La suite $\left(w_n\right)$ est décroissante donc, pour tout entier naturel $n$, on a $w_n\pp w_0$.
   Or $u_n \pp v_n\pp w_n$ donc $u_0\pp u_n \pp v_n \pp w_n \pp w_0$.
   Affirmation 4 vraie
   $\quad$

Exercice 2

1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
2. On veut calculer
   $\begin{align*} P(S\cap I)&=P(I)P_I(S) \\
   &=0,6\times 0,75 \\
   &=0,45\end{align*}$
   La probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle est égale à $0,45$.
   $\quad$
3. $(I,M,G)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
   $\begin{align*} P(S)&=P(S\cap I)+P(S\cap M)+P(S\cap G) \\
   &=P(I)P_I(S)+P(M)P_M(S)+P(G)P_G(S) \\
   &=0,6\times 0,75+0,3\times 0,9+0,1\times 0,8 \\
   &=0,8\end{align*}$
   $\quad$
4. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_S(I)&=\dfrac{P(S\cap I)}{P(S)} \\
   &=\dfrac{0,6\times 0,75}{0,8} \\
   &\approx 0,563\end{align*}$
   La probabilité que le client ait effectué son achat sur internet sachant qu’il est satisfait du service clientèle est environ égale à $0,563$.
   $\quad$
5. a. On réalise de façon indépendante $30$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,8$.
   $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,8$.
   $\quad$
   b. On veut calculer :
   $\begin{align*} P(X\pg 25)&=1-P(X\pp 24) \\
   &\approx 0,428\end{align*}$
   La probabilité qu’au moins $25$ clients soient satisfaits est environ égale à $0,428$.
   $\quad$
6. On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients satisfaits.
   Pour les mêmes raisons qu’à la question précédente, $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,8$.
   On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
   $\begin{align*} P(Y\pp n-1) \pg 0,99 &\ssi 1-P(Y=n)\pg 0,99 \\
   &\ssi P(Y=n)\pp 0,01 \\
   &\ssi 0,8^n \pp 0,01 \\
   &\ssi n\ln(0,8) \pp \ln(0,01) \qquad \text{croissance de la fonction }\ln \\
   &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)} \qquad \text {car }\ln(0,8)<0 \end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)}\approx 20,64$.
   Il faut donc avoir un échantillon d’au moins $21$ personnes.
   $\quad$
7. a. On a :
   $\begin{align*} E(T)&=E\left(T_1+T_2\right) \\
   &=E\left(T_1\right)+E\left(T_2\right) \qquad \text{(linéarité de l’espérance)} \\
   &=7\end{align*}$
   $\begin{align*} V(T)&=V\left(T_1+T_2\right) \\
   &=V\left(T_1\right)+V\left(T_2\right) \qquad \text{(indépendance)} \\
   &=3\end{align*}$
   $\quad$
   b. $T$ possède une variance. On peut donc utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev sur cette variable.
   On veut calculer :
   $\begin{align*} P(5\pp T\pp 9)&= P(4< T<10) \qquad (T \text{ est à valeur entière})\\
   &=P\left(-3 <T-E(T)< 3\right) \\
   &=P\left(\abs{T-E(T)} < 3\right) \\
   &\pg 1-P\left(\abs{T-E(T)} \pg 3\right) \\
   &\pg 1-\dfrac{V(T)}{3^2}  \qquad \text{(inégalité de Bienaymé-Tchebychev)}\\
   &\pg 1-\dfrac{3}{9} \\
   &\pg \dfrac{2}{3}\end{align*}$
   $\quad$

Exercice 3

1. a. On a $\vect{AC}\begin{pmatrix} -5\\-5\\10\end{pmatrix}$ et $\vect{CD}\begin{pmatrix} 0\\0\\-25/2\end{pmatrix}$
   Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
   D’une part $\vect{n_1}.\vect{AC}=-5+5+0=0$
   D’autre part $\vect{n_1}.\vect{CD}=0+0+0=0$
   Ainsi $\vect{n_1}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(CAD)$.
   Il est donc normal au plan $(CAD)$.
   $\quad$
   b. Une équation cartésienne du plan $(CAD)$ est donc de la forme $x-y+d=0$
   Or $C(0;0;10)$ appartient à ce plan. Donc $0-0+d=0 \ssi d=0$.
   Une équation cartésienne du plan $(CAD)$ est donc $x-y=0$.
   $\quad$
2. a. Si on prend $t=1$ dans la représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ on obtient le point de coordonnées $\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2};0\right)$.
   De plus $\dfrac{5}{2}-\dfrac{5}{2}=0$ : Le point précédent appartient également au plan $(CAD)$.
   Par conséquent $H$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2};0\right)$.
   $\quad$
   b. On a $\vect{BH}\begin{pmatrix}5/2\\-5/2\\0\end{pmatrix}=\dfrac{5}{2}\vect{n_1}$.
   Donc $\vect{BH}$ est normal au plan $(CAD)$.
   Par conséquent $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $(CAD)$.
   $\quad$
3. a. $(BH)$ est orthogonal au plan $(CAD)$. Elle est donc en particulier orthogonale à la droite $(AH)$. $H$ appartient à ces deux droites. Elles sont donc perpendiculaires.
   Ainsi $ABH$ est rectangle en $H$.
   $\quad$
   b. On a :
   $\begin{align*} BH&=\sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{5}{2}\right)^2} \\
   &=\sqrt{\dfrac{25}{4}+\dfrac{25}{4}} \\
   &=\sqrt{\dfrac{50}{4}} \\
   &=\sqrt{\dfrac{25}{2}}\end{align*}$
   De plus $\vect{AH}\begin{pmatrix}-5/2\\-5/2\\0\end{pmatrix}$
   On a donc également $AH=\sqrt{\dfrac{25}{2}}$.
   Ainsi, l’aire du triangle $ABH$ est :
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{BH\times AH}{2} \\
   &=\dfrac{~\dfrac{25}{2}~}{2} \\[3mm]
   &=\dfrac{25}{4}\end{align*}$
   $\quad$
4. a. On a $\vect{OC}\begin{pmatrix} 0\\0\\10\end{pmatrix}$
   D’une part $\vect{OC}.\vect{BH}=0+0+0=0$
   D’autre part $\vect{OC}.\vect{AH}=0+0+0=0$
   Les vecteurs $\vect{AH}$ et $\vect{BH}$ ne sont pas colinéaires car $\dfrac{~-\dfrac{5}{2}~}{\dfrac{5}{2}} \neq \dfrac{~-\dfrac{5}{2}~}{-\dfrac{5}{2}}$
   Ainsi $\vect{OC}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BAH)$.
   On a $\vect{OH}=\dfrac{1}{2}\vect{OA}$ donc $O$ appartient au plan $(BAH)$.
   Par conséquent $(CO)$ est la hauteur du tétraèdre $ABCH$ issue de $C$.
   $\quad$
   b. Le volume de ce tétraèdre est :
   $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times OC \\
   &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{25}{4}\times 10 \\
   &=\dfrac{125}{6}\end{align*}$
   $\quad$
5. On a $AB=5$ et $\vect{BC}\begin{align*} 0\\-5\\10\end{align*}$
   Donc :
   $\begin{align*} BC&=\sqrt{(-5)^2+10^2} \\
   &=\sqrt{125} \\
   &=5\sqrt{5}\end{align*}$
   Par conséquent, l’aire du triangle $ABC$ rectangle en $B$ est :
   $\begin{align*} \mathcal{B}&=\dfrac{AB\times BC}{2} \\
   &=\dfrac{25\sqrt{5}}{2}\end{align*}$
   Ainsi, en appelant $d$ la distance cherchée :
   $\begin{align*} V=\dfrac{125}{6}&\ssi \dfrac{1}{3}\times \mathcal{B}\times d =\dfrac{125}{6} \\
   &\ssi d=\dfrac{125}{6}\times \dfrac{3}{25\sqrt{5}} \\
   &\ssi d=\sqrt{5}\end{align*}$

Exercice 4

Partie A : étude de la fonction $\boldsymbol{f}

1. a. $\lim\limits_{x\to 0} x-2=-2$ et $\lim\limits_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty$
   Donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$
   $\lim\limits_{x\to +\infty} x-2=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty$
   Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
   $\quad$
   b. La fonction $f$ est dérivable par hypothèse sur $]0;+\infty[$.
   Pour tout réel $x>0$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=1+\dfrac{1}{2x} \\
   &=\dfrac{2x+1}{2x}\end{align*}$
   $\quad$
   c. Pour tout réel $x>0$ on a $2x+1>0$ et $2x>0$ donc $f'(x)>0$.
   La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
   $\quad$
   d. $f’$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ par hypothèse.
   Pour tout réel $x>0$ on a :
   $\begin{align*}f\dsec(x)&=-\dfrac{1}{2x^2} \\
   &<0\end{align*}$
   La fonction $f$ est donc concave sur $]0;+\infty[$.
   $\quad$
2. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
   De plus $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
   $\quad$
   $f(1)=1-2=-1<0$ et $f(2)=\dfrac{1}{2}\ln(2)>0$.
   Ainsi $f(1) \pp f(\alpha) \pp f(2)$. La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ donc $1\pp \alpha \pp 2$.
   Ainsi $\alpha \in [1;2]$.
   $\quad$
   b. La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et $f(\alpha)=0$.
   Ainsi :
   $\bullet$ sur $]0;+\alpha[$ on a $f(x)<0$ ;
   $\bullet$ $f(\alpha)=0$ ;
   $\bullet$ sur $]\alpha;+\infty[$ on a $f(x)>0$.
   $\quad$
   c.
   $\begin{align*} f(\alpha)=0&\ssi \alpha-2+\dfrac{1}{2}\ln(\alpha)=0 \\
   &\ssi \dfrac{1}{2}\ln(\alpha)=2-\alpha \\
   &\ssi \ln(\alpha)=2(2-\alpha)\end{align*}$
   $\quad$

Partie B : étude de la fonction $\boldsymbol{g}$

1. La fonction $g$ est dérivable sur $]0;1]$ par hypothèse.
   Pour tout réel $x\in ]0;1]$ on a :
   $\begin{align*} g'(x)&=-\dfrac{7}{4}x+1-\dfrac{1}{4}\left(2x\ln(x)+x^2\times \dfrac{1}{x}\right) \\
   &=-\dfrac{7}{4}x+1-\dfrac{1}{4}\left(2x\ln(x)+x\right) \\
   &=-\dfrac{7}{4}x+1+\dfrac{1}{2}x\ln(x)-\dfrac{1}{4}x \\
   &=-2x+1-\dfrac{1}{2}x\ln(x) \\
   &=x\left(\dfrac{1}{x}+2-\dfrac{1}{2}\ln(x) \right) \\
   &=x\left(\dfrac{1}{x}+2+\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1}{x}\right) \right) \\
   &=xf\left(\dfrac{1}{x}\right)\end{align*}$
   $\quad$
2. a. Si $0<x<\dfrac{1}{\alpha}$ alors $\dfrac{1}{x}>\alpha$ et donc, d’après la question A.2.b., $f\left(\dfrac{1}{x}\right)>0$.
   $\quad$
   Autre méthode : pour tout $x\in  \left]0;\dfrac{1}{\alpha}\right[$ on a $0<\alpha<\dfrac{1}{x}$.
   Or, d’après la question A.2.a, la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
   Par conséquent $f( \alpha)<f\left(\dfrac{1}{x}\right)$, c’est-à-dire $f\left(\dfrac{1}{x}\right)>0$.
   $\quad$
3. b. Pour tout réel $x\in ]0;+\infty[$ on a $x>0$ donc $g'(x)$ est du signe de $f\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
   On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$

Partie C : un calcul d’aire

1. a. Pour tout réel $x\in ]0;1]$ on a :
   $\begin{align*} g(x)-\left(-\dfrac{7}{8}x^2+x\right)&=-\dfrac{1}{4}x^2 \ln(x)  \\
   &\pg 0 \quad \text{car } x\in ]0;1]\end{align*}$
   La courbe $C_g$ est donc au-dessus de la parabole $\mathcal{P}$ sur $]0;1]$.
   $\quad$
   b. On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $\left]\dfrac{1}{\alpha};1\right]$ définie par : $$\begin{array}{lll} u(x)=\ln(x)&\phantom{123}&u'(x)=\dfrac{1}{x} \\[3mm]
   v(x)=\dfrac{1}{3}x^3&&v'(x)=x^2\end{array}$$
   $\begin{align*} \int_{1/\alpha}^1 x^2\ln(x)\dx&=\left[\dfrac{1}{3}x^3\ln(x)\right]_{1/\alpha}^1-\dfrac{1}{3} \int_{1/\alpha}^1 x^3\times \dfrac{1}{x} \dx \\
   &=-\dfrac{1}{3\alpha^3}\ln\left(\dfrac{1}{\alpha}\right)-\dfrac{1}{3}\int_{1/\alpha}^1 x^2\dx \\
   &=\dfrac{1}{3\alpha^3}\ln(\alpha)-\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{1}{3}x^3\right]_{1/\alpha}^1 \\
   &=\dfrac{1}{3\alpha^3}\times 2(2-\alpha)-\dfrac{1}{9}\left(1-\dfrac{1}{\alpha^3}\right) \\
   &=\dfrac{4}{3\alpha^3}-\dfrac{2}{3\alpha^2}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9\alpha^3} \\
   &=\dfrac{13-6\alpha-\alpha^3}{9\alpha^3}\end{align*}$
   $\quad$
2. On a donc
   $\begin{align*} \mathcal{A}&=-\dfrac{1}{4}\int_{1/\alpha}^1 x^2\ln(x) \dx \\
   &=-\dfrac{1}{4}\times \dfrac{13-6\alpha-\alpha^3}{9\alpha^3}\end{align*}$

 

 

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées

Exercice 1     (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=5x\e^{-x}$.
   On note $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
   Affirmation 1 :
   L’axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe $C_f$.
   $\quad$
   Affirmation 2 : La fonction $f$ est solution sur $\R$ de l’équation différentielle $(E)~:~y’+y=5\e^{-x}$.
   $\quad$
2. On considère les suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$, telles que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n\pp v_n\pp w_n$.
   De plus, la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $-1$ et la suite $\left(w_n\right)$ converge vers $1$.
   Affirmation 3 : La suite $\left(v_n\right)$ converge vers un nombre réel $\ell$ appartenant à l’intervalle $[-1; 1]$.
   $\quad$
   On suppose de plus que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et que la suite $\left(w_n\right)$ est décroissante.
   Affirmation 4 : Pour tout entier naturel $n$, on a alors : $u_0\pp v_n\pp w_0$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (5 points)

Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service clientèle à l’occasion de l’achat d’un téléviseur. Ces achats ont été réalisés soit sur internet, soit dans une chaîne de magasins d’électroménager, soit dans une enseigne de grandes surfaces.

Les achats sur internet représentent $60 \%$ des ventes, les achats en magasin
d’électroménager $30 \%$ des ventes et ceux en grandes surfaces $10 \%$ des ventes.

Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle
est de :

• $75 \%$ pour les clients sur internet ;
• $90 \%$ pour les clients en magasin d’électroménager ;
• $80 \%$ pour les clients en grande surface.

On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné.

On définit les événements suivants :

• $I$ : « le client a effectué son achat sur internet » ;
• $M$ : « le client a effectué son achat en magasin d’électroménager » ;
• $G$ : « le client a effectué son achat en grande surface » ;
• $S$ : « le client est satisfait du service clientèle ».

Si $A$ est un événement quelconque, on notera $\conj{A}$ son événement contraire et $P(A)$ sa probabilité.

1. Reproduire et compléter l’arbre ci-dessous.
   $\quad$
   
   $\quad$
2. Calculer la probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle.
   $\quad$
3. Démontrer que $P(S) = 0,8$.
   $\quad$
4. Un client est satisfait du service clientèle. Quelle est la probabilité qu’il ait effectué son achat sur internet ?
   On donnera un résultat arrondi à $10^{-3}$ près.
   $\quad$
5. Pour réaliser l’étude, l’agence doit contacter chaque jour $30$ clients parmi les acheteurs du téléviseur. On suppose que le nombre de clients est suffisamment important pour assimiler le choix des $30$ clients à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $30$ clients, associe le nombre de clients satisfaits du service clientèle.
   a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
   $\quad$
   b. Déterminer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu’au moins $25$ clients soient satisfaits dans un échantillon de $30$ clients contactés sur une même journée.
   $\quad$
6. En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l’échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à $0,99$.
   $\quad$
7. Dans les deux questions a. et b. qui suivent, on ne s’intéresse qu’aux seuls
   achats sur internet.
   Lorsqu’une commande de téléviseur est passée par un client, on considère que le temps de livraison du téléviseur est modélisé par une variable aléatoire $T$ égale à la somme de deux variables aléatoires $T_1$ et $T_2$.
   La variable aléatoire $T_1$ modélise le nombre entier de jours pour l’acheminement du téléviseur depuis un entrepôt de stockage vers une plateforme de distribution.
   La variable aléatoire $T_2$ modélise le nombre entier de jours pour l’acheminement du téléviseur depuis cette plateforme jusqu’au domicile du client.
   On admet que les variables aléatoires $T_1$ et $T_2$ sont indépendantes, et on donne :
   $\bullet$ L’espérance $E\left(T_1\right)= 4$ et la variance $V\left(T_1\right) = 2$ ;
   $\bullet$ L’espérance $E\left(T_2\right)= 3$ et la variance $V\left(T_2\right) = 1$ ;
   a. Déterminer l’espérance $E(T)$ et la variance $V(T)$ de la variable aléatoire $T$.
   $\quad$
   b. Un client passe une commande de téléviseur sur internet. Justifier que la probabilité qu’il reçoive son téléviseur entre $5$ et $9$ jours après sa commande est supérieure ou égale à $\dfrac{2}{3}$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère les points $A(5;5;0)$, $B(0;5;0)$, $C(0;0;10)$ et $D\left(0;0;-\dfrac{5}{2}\right)$.

1. a. Montrer que $\vect{n_1}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(CAD)$.
   $\quad$
   b. En déduire que le plan $(CAD)$ a pour équation cartésienne : $x-y=0$.
   $\quad$
2. On considère la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=\dfrac{5}{2}t\\[3mm] y=5-\dfrac{5}{2}t\\[3mm] z=0\end{cases} \quad$ où $t\in \R$.
   a. On admet que la droite $\mathcal{D}$ et le plan $(CAD)$ sont sécants en un point $H$. Justifier que les coordonnées de $H$ sont $\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2};0\right)$.
   $\quad$
   b. Démontrer que le point $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $(CAD)$.
   $\quad$
3. a. Démontrer que le triangle $ABH$ est rectangle en $H$.
   $\quad$
   b. En déduire que l’aire du triangle $ABH$ est égale à $\dfrac{25}{4}$.
   $\quad$
4. a. Démontrer que $(CO)$ est la hauteur du tétraèdre $ABCH$ issue de $C$.
   $\quad$
   b. En déduire le volume du tétraèdre $ABCH$.
   On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : $V=\dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$ où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
   $\quad$
5. On admet que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Déduire des questions précédentes la distance du point $H$ au plan $(ABC)$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (6 points)

Partie A : étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par : $f(x)=x-2+\dfrac{1}{2}\ln(x)$ , où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0 ; +\infty[$, on note $f’$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.

1. a. Déterminer, en justifiant, les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
   $\quad$
   b. Montrer que pour tout $x$ appartenant à $]0 ; +\infty[$, on a : $f'(x)=\dfrac{2x+1}{2x}$.
   $\quad$
   c. Étudier le sens de variation de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
   $\quad$
   d. Étudier la convexité de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
   $\quad$
2. a. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet dans $]0; +\infty[$ une solution unique qu’on notera $\alpha$ et justifier que $\alpha$ appartient à l’intervalle $[1 ; 2]$.
   $\quad$
   b. Déterminer le signe de $f(x)$ pour $x\in ]0 ; +\infty[$.
   $\quad$
   c. Montrer que $\ln(\alpha)=2(2-\alpha)$.
   $\quad$

Partie B : étude de la fonction $\boldsymbol{g}$

La fonction $g$ est définie sur $]0;1]$ par $g(x)=-\dfrac{7}{8}x^2+x-\dfrac{1}{4}x^2\ln(x)$.

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0;1]$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.

1. Calculer $g'(x)$ pour $x\in ]0;1]$ puis vérifier que $g'(x)=xf\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
   $\quad$
2. a. Justifier que pour $x$ appartenant à l’intervalle $\left]0;\dfrac{1}{\alpha}\right[$, on a $f\left(\dfrac{1}{x}\right)>0$.
   $\quad$
   b. On admet le tableau de signes suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
   En déduire le tableau de variations de $g$ sur l’intervalle $]0 ; 1]$.
   Les images et les limites ne sont pas demandées.
   $\quad$

Partie C : un calcul d’aire

On a représenté sur le graphique ci-dessous :

• La courbe $C_g$ de la fonction $g$ ;
• La parabole $\mathcal{P}$ d’équation $y=-\dfrac{7}{8}x^2+x$ sur l’intervalle $]0 ; 1]$.

On souhaite calculer l’aire $\mathcal{A}$ du domaine hachuré compris entre les courbes $C_g$ et $\mathcal{P}$, et les droites d’équations $x=\dfrac{1}{\alpha}$ et $x=1$.
On rappelle que $\ln(\alpha)=2(2-\alpha)$.

1. a. Justifier la position relative des courbes $C_g$ et $\mathcal{P}$ sur l’intervalle $]0;1]$.
   $\quad$
   b. Démontrer l’égalité : $$\int_{1/\alpha}^1 x^2\ln(x)\dx=\dfrac{-\alpha^3-6\alpha+13}{9\alpha^3}$$
   $\quad$
2. En déduire l’expression en fonction de $\alpha$ de l’aire $\mathcal{A}$.
   $\quad$

$\quad$