Bac – Métropole – jour 1 (secours) – juin 2024

Métropole – 19 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 1 (secours) – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a $C(4;4;0)$, $F(4;0;4)$, $G(4;4;4)$ et $H(0;4;4)$.
    $\quad$
  2. Le point $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4+0}{2};\dfrac{0+0}{2};\dfrac{4+4}{2}\right)$ c’est-à-dire $(2;0;4)$.
    De plus $\vect{IC}\begin{pmatrix} 2\\4\\-4\end{pmatrix}$
    Ainsi, une représentation paramétrique de $(IC)$ est $$\begin{cases}x=2+2t\\y=4t\\z=4-4t\end{cases}~~\text{où } t\in \R$$
    $\quad$
  3. a. $\vect{IC}$ est donc un vecteur normal à $P$.
    Une équation cartésienne de $P$ est de la forme $2x+4y-4z+d=0$.
    $G(4;4;4)$ appartient à ce plan. Donc $8+16-16+d=0\ssi d=8$.
    Une équation cartésienne de $P$ est par conséquent $2x+4y-4z+8=0$ soit $x+2y-2z+4=0$.
    $\quad$
    b. $\dfrac{28}{9}+2\times \dfrac{20}{9}-2\times \dfrac{16}{9}-4=\dfrac{36}{9}-4=0$. Le point de coordonnées $\left(\dfrac{28}{9};\dfrac{20}{9};\dfrac{16}{9}\right)$ appartient au plan $P$.
    Si on prend $t=\dfrac{5}{9}$ dans la représentation paramétrique de $(IC)$ alors $\begin{cases} x=2+\dfrac{10}{9}\\[3mm]y=\dfrac{20}{9}\\[3mm]z=4-\dfrac{20}{9}\end{cases}$ soit $\begin{cases} x=\dfrac{28}{9}\\[3mm] y=\dfrac{20}{9}\\[3mm] z=\dfrac{16}{9}\end{cases}$.
    Le point de coordonnées $\left(\dfrac{28}{9};\dfrac{20}{9};\dfrac{16}{9}\right)$ appartient à la droite $(IC)$.
    Donc $J$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{28}{9};\dfrac{20}{9};\dfrac{16}{9}\right)$.
    $\quad$
    $J$ est par conséquent le projeté orthogonal de $C$ sur le plan $P$.
    $\quad$
    c. $0+4-0-4=0$ donc $K(0;2;0)$ appartient au plan $P$.
    $\quad$
    d. On a vu que $K$ appartenait au plan $P$.
    De plus $4+0-0-4=0$ donc $B(4;0;0)$ appartient également au plan $P$.
    Par conséquent $(BK)$ est incluse dans $P$.
    $0+0-0-4=-4\neq 0$ donc $A(0;0;0)$ n’appartient pas au plan $(P)$. Ainsi le plan $(ABC)$ et plan $(P)$ sont sécants ($B$ appartient à $P$ mais pas $A$).
    Enfin, $\vect{AK}\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{BC}\begin{pmatrix} 0\\4\\0\end{pmatrix}$. Par conséquent $\vect{AK}=\dfrac{1}{2}\vect{BC}$ et $K$ appartient au plan $(ABC)$. On en déduit donc que $(BK)$ est également incluse dans le plan $(ABC)$.
    $(BK)$ appartient aux deux plans sécants $P$ et $(ABC)$. Donc $(BK)$ est l’intersection de ces deux plans.
    $\quad$
  4. a. Le triangle $BCG$ est rectangle en $C$. Son aire est :
    $\begin{align*} \mathcal{B}&=\dfrac{CB\times CG}{2} \\
    &=\dfrac{4\times 4}{2} \\
    &=8\text{ u.a.}\end{align*}$
    La hauteur issue de $K$ de la pyramide $CBKG$ mesure $4$ unités de longueur (même longueur que $[AB]$).
    Ainsi le volume de $CBKG$ est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times 8\times 4\\
    &=\dfrac{32}{3}\text{ u.v.}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $\vect{JC}\begin{pmatrix} \dfrac{8}{9}\\[3mm] \dfrac{16}{9}\\[3mm]-\dfrac{16}{9}\end{pmatrix}$.
    Donc
    $\begin{align*} JC&=\sqrt{\left(\dfrac{8}{9}\right)^2+\left(\dfrac{16}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{16}{9}\right)^2}\\[3mm]
    &=\sqrt{\dfrac{576}{81}}\\[3mm]
    &=\dfrac{24}{9}\end{align*}$
    On appelle $A_{BKG}$ l’aire du triangle $BKG$.
    $[CJ]$ est la hauteur issue de $C$ de la pyramide $CBKG$ d’après la question 3.b.
    Donc :
    $\begin{align*} V=\dfrac{1}{3}A_{BKG}\times JC&\ssi \dfrac{32}{3}=\dfrac{1}{3}A_{BKG}\times \dfrac{24}{9} \\
    &\ssi A_{BKG}=\dfrac{32\times 9}{24} \\
    &\ssi A_{BKG}=12 \text{ u.a.}\end{align*}$
    $\quad$
  5. $G$ appartient à $P$ par construction et $B$ appartient à $P$ d’après la question 3.d.
    Par conséquent $(BG)$ est incluse dans $P$.
    $\quad$
  6. On a donc $I'(x;0;4)$ où $x\in[0;4]$.
    Par conséquent $\vect{CI’}\begin{pmatrix}x-4\\-4\\4\end{pmatrix}$ et $\vect{BG}\begin{pmatrix}0\\4\\4\end{pmatrix}$.
    Ainsi $\vect{CI’}.\vect{BG}=0-16+16=0$.
    $\vect{CI’}$ et $\vect{BG}$ sont orthogonaux. Or $G$ appartient par construction à $P’$ donc $B$ appartient à $P’$.
    Ainsi $(BG)$ est toujours incluse dans $P’$.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On répète $10$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,25$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,25$.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X\pg 4)&=1-P(X<4) \\
    &=1-P(X\pp 3) \\
    &\approx 0,224\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins $4$ clients dans l’échantillon passent moins de $12$ minutes à la station est environ égale à $0,224$.
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} E(X)&=np \\
    &=10\times 0,25 \\
    &=2,5\end{align*}$
    En moyenne, sur $10$ clients $2,5$ passe moins de $12$ minutes à la station.
    $\quad$

Partie B

  1. On a $S=T_1+T_2+T_3$.
    $\quad$
  2. $S$ possède une espérance et une variance en tant que somme de variables aléatoires possédant une variance.
    a.
     Par linéarité de l’espérance on a :
    $\begin{align*}E(S)&=E\left(T_1+T_2+T_3\right) \\
    &=E\left(T_1\right)+E\left(T_2\right)+E\left(T_3\right) \\
    &=3\times 6\qquad \text{(même espérance)} \\
    &=18\end{align*}$
    Le temps d’attente total moyen est de $18$ minutes.
    $\quad$
    b. Les variables aléatoires $T_1$, $T_2$ et $T_3$ sont indépendantes. Donc :
    $\begin{align*}V(S)&=V\left(T_1+T_2+T_3\right) \\
    &=V\left(T_1\right)+V\left(T_2\right)+V\left(T_3\right) \\
    &=3\times 1\qquad \text{(même variance)} \\
    &=3\end{align*}$
    $\quad$
  3. $S$ possède une variance. On peut donc utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
    $\begin{align*} P(14<S<22)&=P\left(-4<S-E(S)<4\right) \\
    &=P\left(\abs{S-E(S)}<4\right) \\
    &=1-P(\abs{S-E(S)}\pg 4) \\
    &\pg 1-\dfrac{V(S)}{4^2} \qquad \text{(inégalité de Bienaymé-Tchebychev)}\\
    &\pg 1-\dfrac{3}{16} \\
    &\pg \dfrac{13}{16} \\
    &\pg 0,812~5\end{align*}$
    La probabilité que le troisième client passe un temps strictement compris entre $14$ et $22$ minutes à la station et supérieure ou égale à $0,81$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A : étude d’une fonction.

  1. a. $f$ est dérivable sur $\R$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=1-\dfrac{2x}{x^2+1} \\
    &=\dfrac{x^2+1-2x}{x^2+1} \\
    &=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1} \end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ on a $(x-1)^2\pg 0$ (et ne s’annule qu’en $1$) et $x^2+1>0$ donc $f'(x)\pg 0$ et ne s’annule qu’en $1$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f(x)&=x-\ln\left(x^2+1\right) \\
    &=x-\ln\left(x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)\right) \\
    &=x-\left(\ln\left(x^2\right)+\ln\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)\right) \\
    &=x-2\ln(x)-\ln\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=x\left(1-\dfrac{2\ln(x)}{x}-\dfrac{1}{x}\ln\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)\right)$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty}1+\dfrac{1}{x^2}=1$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)=0$
    Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$

Partie B : étude d’une suite.

  1. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~u_n\pg 0$.
    Initialisation : $u_0=7\pg 0$ donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $u_n\pg 0$
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$
    Donc $f\left(u_n\right)\pg f(0)$
    C’est-à-dire $u_{n+1}\pg 0$ et $P(n+1)$ est vraie.
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\pg 0$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=u_n-\ln\left(u_n^2+2\right)-u_n \\
    &=-\ln\left(u_n^2+2\right) \end{align*}$
    Or $u_n^2+1\pg 1$ ainsi $\ln\left(u_n^2+2\right)\pg 0$.
    Donc $u_{n+1}-u_n\pp 0$
    La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$. D’après le théorème de la limite monotone, $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
    $\quad$
  4. $f$ est continue (car dérivable) sur $\R$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi x-\ln\left(x^2+1\right)=x\\
    &\ssi -\ln\left(x^2+1\right)=0\\
    &\ssi x^2+1=1 \qquad \text{(stricte croissance de la fonction exp)} \\
    &\ssi x^2=0 \\
    &\ssi x=0\end{align*}$
    Par conséquent $\ell=0$.
    $\quad$
  5. a.

    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, $u_{96}\approx 0,1002~$ et $u_{97}\approx 0,0099$.
    $\text{seuil(0.01)}$ renvoie donc la valeur $97$.
    $\quad$

Partie C : étude d’une intégrale.

  1. La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    De plus $f(0)=0$.
    Par conséquent, pour  tout réel $x>0$ on a $f(x)>f(0)$ soit $f(x)>0$.
    $\quad$
  2. $f$ est une fonction continue et positive sur $[2;4]$.
    Donc $I$ est l’aide du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction $f$ et les droites d’équation $x=2$ et $x=4$.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x\in [2;4]$ on a $0,5x-1\pp f(x)\pp 0,25x+0,25$
    Par croissance de l’intégrale sur $[2;4]$ on obtient :
    $\ds \int_2^4 (0,5x-1)\dx \pp \int_2^4 f(x)\dx \pp \int_2^4 (0,25x+0,25)\dx$
    soit $\left[\dfrac{0,5}{2}x^2-x\right]_2^4 \pp I\pp \left[\dfrac{0,25}{2}x^2+0,25x\right]_2^4$
    donc $0-(-1) \pp I\pp 3-1$
    Finalement $1\pp I\pp 2$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. On a $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=5$. La droite d’équation $y=5$ est donc asymptote à la courbe $C_f$.
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=1$. La droite d’équation $y=1$ est donc asymptote à la courbe $C_f$.
    La droite d’équation $y=-2$ n’est, par conséquent, pas asymptote à la courbe $C_f$.
    Affirmation 1 fausse.
    $\quad$
    Remarque : La droite d’équation $x=-2$ est par contre une asymptote à la courbe $C_f$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;-2[$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=5$.
    Par conséquent, pour tout réel $x<-2$ on a $f(x)<5$, c’est-à-dire $f(x)-5<0$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)-5=0^-$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{2}{f(x)-5}=-\infty$
    Affirmation 2 fausse.
    $\quad$
  2. a. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=\e^{-x}-x\e^{-x} \\
    &=(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
    $g’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    $\begin{align*} g\dsec(x)&=-\e^{-x}-(1-x)\e^{-x} \\
    &=(-1-1+x)\e^{-x} \\
    &=(x-2)\e^{-x} \end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $g\sec(x)$ ne dépend que de celui de $(x-2)$.
    Or $x-2=0\ssi x=2$ et $x-2>0\ssi x>2$
    Ainsi $g\dsec(x)$ change de signe en s’annulant en $2$.
    Le point d’abscisse $2$ est donc l’unique point d’inflexion de $C_g$.
    De plus $g(2)=2\e^{-2}=\dfrac{2}{\e^2}$
    La point $A$ est donc l’unique point d’inflexion de la courbe $C_g$.
    Affirmation 3 vraie.
    $\quad$
    b. Méthode 1 : Soit $x<2$ on a
    $\begin{align*} g(x)\pp x&\ssi x\e^{-x}-x\pp 0 \\
    &\ssi x\left(\e^{-x}-1\right) \pp 0 \end{align*}$
    Or $\e^{-x}-1>0\ssi \e^{-x}>1 \ssi -x>0 \ssi x<0$
    Ainsi :
    $\bullet$ si $x\pg 0$ alors $\e^{-x}-1\pp 0$ et donc $x\left(\e^{-x}-1\right) \pp 0$
    $\bullet$ si $x\pp 0$ alors $\e^{-x}-1\pg 0$ et donc $x\left(\e^{-x}-1\right) \pp 0$
    Dans tous les cas $x\e^{-x}-x \pp 0$ et donc $g(x)\pp x$.
    Affirmation 4 vraie.
    $\quad$
    Méthode 2 : la fonction $g$ est concave sur $\R$. Sa courbe représentative est donc située sous ses tangentes, en particulier celle passant par le point de coordonnées $\left(0;g(0)\right)$.
    $g'(0)=1$ et $g(0)=0$.
    Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ u point de coordonnées $(0;0)$ est donc $y=x$.
    Par conséquent, pour tout réel $x<2$ on a $g(x)\pp x$.
    Affirmation 4 vraie.
    $\quad$
  3. On appelle $h$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $h(x)=x\ln(x)$.
    La fonction $h$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} h'(x)&=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=\ln(x)+1\end{align*}$
    Or $\ln(x)+1>0 \ssi \ln(x)>-1\ssi x>\e^{-1}$ (croissance de la fonction exp sur $\R$).
    La fonction $h$ est donc strictement décroissante sur $\left]0;\e^{-1}\right]$ et strictement croissante sur $\left[\e^{-1};+\infty\right[$.
    Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0^+} x\ln(x)=0$.
    Ainsi, pour tout réel $x\in \left]0;\e^{-1}\right]$, on a $h(x)<0$ et l’équation $h(x)=1$ n’admet aucune solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    La fonction $h$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\left[\e^{-1};+\infty\right[$.
    $h\left(\e^{-1}\right)=-\e^{-1}<1$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x\ln(x)=+\infty$.
    Donc $1\in \left]-\e^{-1};+\infty\right[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $h(x)=1$ admet une unique solution sur $\left[\e^{-1};+\infty\right[$.
    $\quad$
    Par conséquent, l’équation $x\ln(x)=1$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
    Affirmation 5 fausse.
    $\quad$

 

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées

Exercice 1     5 points

On considère un repère orthonormé $\left(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ de l’espace dans lequel on place les points $B(4; 0; 0)$, $D(0; 4; 0)$, $E(0; 0; 4)$ et les points $C$, $F$, $G$ et $H$ de sorte que le solide $ABCDEFGH$ soit un cube.

  1. Donner les coordonnées des points $C$, $F$, $G$ et $H$.
    $\quad$
  2. On considère le point $I$ milieu de l’arête $[EF]$.
    Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite $(IC)$ est donnée par : $$\begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=4-4t\end{cases} \quad \text{où } t\in \R$$
    $\quad$
  3. On désigne par $P$ le plan orthogonal à la droite $(IC)$ passant par le point $G$, et par $J$ l’intersection de $P$ avec $(IC)$.
    a. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $P$ est donnée par : $x +2y-2z-4 = 0.$
    $\quad$
    b. Justifier que $J$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{28}{9};\dfrac{20}{9};\dfrac{16}{9}\right)$.
    Que représente $J$ par rapport à $C$ ?
    $\quad$
    c. Vérifier que le point $K(0; 2; 0)$ appartient au plan $P$.
    $\quad$
    d. Justifier que $(BK)$ est l’intersection des plans $P$ et $(ABC)$.
    $\quad$
  4. On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par la formule $V = \dfrac{B \times h}{3}$, où $B$
    est l’aire d’une base et $h$ la longueur de la hauteur relative à cette base.
    a. Déterminer le volume de la pyramide $CBKG$.
    $\quad$
    b. En déduire que l’aire du triangle $BKG$ est égale à $12$.
    $\quad$
    c. Justifier que la droite $(BG)$ est incluse dans $P$.
    $\quad$
    d. On note $I’$ un point de l’arête $[EF]$, et $P’$ le plan orthogonal à la droite $(I’C)$ passant par $G$.
    Peut-on affirmer que la droite $(BG)$ est incluse dans $P’$?
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 2     4 points

Partie A

Suite à une étude statistique réalisée dans la station-service Carbuplus, on évalue à $0,25$ la probabilité qu’un client venant alimenter son véhicule en carburant passe moins de $12$ minutes dans la station avant de la quitter.
On choisit au hasard et de façon indépendante $10$ clients de la station et on assimile ce choix à un tirage avec remise. On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de $10$ clients associe le nombre de ces clients ayant passé moins de $12$ minutes à la station.

  1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres.
    $\quad$
  2. Quelle est la probabilité qu’au moins $4$ clients dans un échantillon de $10$ passent moins de $12$ minutes à la station ? On arrondira si besoin le résultat à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  3. Calculer l’espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie B

Un client arrive à la station et se dirige vers une pompe. Il constate que deux voitures sont devant lui, la première accédant à la pompe au moment de son arrivée.
On désigne par $T_1$, $T_2$, $T_3$ les variables aléatoires qui modélisent les temps passés en minute par chacun des trois clients, dans leur ordre d’arrivée, pour alimenter son véhicule entre l’instant où la pompe est disponible pour lui et celui où il la libère.

On suppose que $T_1$, $T_2$, $T_3$ sont des variables aléatoires indépendantes de même espérance égale à $6$ et de même variance égale à $1$.

On note $S$ la variable aléatoire correspondant au temps d’attente total passé à la station du troisième client entre son arrivée à la station et son départ de la pompe après avoir alimenté son véhicule.

  1. Exprimer $S$ en fonction de $T_1$, $T_2$ et $T_3$.
    $\quad$
  2. a. Déterminer l’espérance de $S$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
    b. Quelle est la variance du temps d’attente total $S$ de ce troisième client ?
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le troisième client passe un temps strictement compris entre $14$ et $22$ minutes à la station est supérieure ou égale à $0,81$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Partie A : étude d’une fonction

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x)=x-\ln\left(x^2+1\right)$$
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

  1. On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$
    sa fonction dérivée.
    a. Montrer que pour tout nombre réel $x$, on a : $$f'(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}$$
    $\quad$
    b. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. Montrer que pour tout nombre réel $x > 0$, on a :
    $$f(x)=x-2\ln(x)-\ln\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)$$
    $\quad$
  3. Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    $\quad$

Partie B : étude d’une suite

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$\begin{cases} u_0=7\\u_{n+1}=f\left(u_n\right)=u_n-\ln\left(u_n^2+1\right)\text{ pour tout } n\in \N\end{cases}$$

  1. Montrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ : $u_n > 0$.
    $\quad$
  2. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  3. En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  4. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Déterminer la valeur de $\ell$.
    $\quad$
  5. a. Recopier et compléter le script ci-dessous écrit en langage Python afin qu’il renvoie la plus petite valeur de l’entier $n$ à partir de laquelle $u_n \pp h$, où $h$ est un nombre réel strictement positif.

    b. Déterminer la valeur renvoyée lorsqu’on saisit $\text {seuil(0.01)}$ dans la console Python. Justifier la réponse.
    $\quad$

Partie C : calcul intégral

  1. Étudier le signe de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  2. Interpréter graphiquement l’intégrale : $$I=\int_2^4 f(x)\dx$$
    $\quad$
  3. On admet dans cette question que, pour tout nombre réel $x \in [2 ; 4]$, on a l’encadrement : $$0,5x-1\pp f(x)\pp 0,25x+0,25$$
    En déduire l’encadrement : $$1\pp I\pp 2$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

  1. On considère ci-dessous le tableau de variations d’une fonction f définie sur $\R\setminus\acco{-2}$.
    $\quad$

    $\quad$
    a. Affirmation 1 :
    La droite d’équation $y =-2$ est asymptote horizontale à la courbe $C_f$ de la fonction $f$.
    $\quad$
    b. Affirmation 2 :
    $\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{2}{f(x)-5}=+\infty$.
    $\quad$
  2. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x\e^{-x}$.
    a. Affirmation 3 :
    Le point $A\left(2;\dfrac{2}{\e^2}\right)$ est l’unique point d’inflexion de la courbe $C_g$ de la fonction $g$.
    $\quad$
    b. Affirmation 4 :
    Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]-\infty ; 2[$, on a $g(x) \pp x$.
    $\quad$
  3. Affirmation 5 :
    L’équation $x \ln(x) = 1$ admet exactement deux solutions sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$

$\quad$