Bac – Métropole – jour 2 (secours) – juin 2024

Métropole – 20 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 2 (secours) – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. D’après l’énoncé on a $P(Q)=0,917$ et $P_{\conj{R}}\left(\conj{Q}\right)=0,65$.
    $\quad$
  2. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    b. $\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(Q)=P(Q\cap R)+P\left(Q\cap \conj{R}\right)&\ssi 0,917=P(R)P_R(Q)+P\left(\conj{R}\right)P_{\conj{R}}\left(\conj{Q}\right) \\
    &\ssi 0,917=0,98x+0,35(1-x) \\
    &\ssi 0,917=0,98x+0,35-0,35x \\
    &\ssi 0,567=0,63x \\
    &\ssi x=0,9\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_Q(R)&=\dfrac{P(Q\cap R)}{P(Q)} \\
    &=\dfrac{P(R)P_R(Q)}{P(Q)} \\
    &=\dfrac{0,98\times 0,9}{0,917}\\
    &\approx 0,962\end{align*}$
    La probabilité pour que l’étudiant ait réussi l’examen sachant qu’il a répondu “oui” est environ égale à $0,962$.
    $\quad$
  4. On veut déterminer le plus grand entier naturel $n$ tel que : $ P(N\pg n)\pg 0,65$.
    D’après la calculatrice $P(N\pg 11) \approx 0,797$ et $P(N\pg 12)\approx 0,649$
    Elle doit récompenser les étudiants ayant obtenus $11$ ou plus.
    $\quad$
    Remarque : Je pense que la réponse $12$ ou plus devrait être acceptée puisque $P(N  \pg 12) \approx 0,65$ (mais est légèrement inférieure)
  5. Par linéarité de l’espérance on a :
    $\begin{align*} E(S)&=E\left(N_1+\ldots+N_{10}\right) \\
    &=E\left(N_1\right)+\ldots+E\left(N_{10}\right)\\
    &=10E(N) \qquad \text{(même loi)} \\
    &=10\times 20\times 0,615 \\
    &=123\end{align*}$
    $\quad$
    Les variables aléatoires $N_1,\ldots,N_{10}$ sont indépendantes donc :
    $\begin{align*} V(S)&=V\left(N_1+\ldots+N_{10}\right) \\
    &=V\left(N_1\right)+\ldots+E\left(N_{10}\right)\\
    &=10V(N) \qquad \text{(même loi)} \\
    &=10\times 20\times 0,615 \times (1-0,615)\\
    &=47,355\end{align*}$
    $\quad$
  6. a. $M$ correspond à la moyenne des notes des $10$ candidats.
    Remarque : On l’appelle la moyenne empirique.
    $\quad$
    b. Par linéarité de l’espérance :
    $\begin{align*} E(M)&=\dfrac{1}{10}E(S) \\
    &=\dfrac{123}{10} \\
    &=12,3\end{align*}$.
    $\quad$
    On a également :
    $\begin{align*} V(M)&=\dfrac{1}{10^2}V(S) \\
    &=\dfrac{47,355}{100}\\
    &=0,473~55\end{align*}$
    $\quad$
    c. $M$ possède une variance. On peut donc lui appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
    $\begin{align*} P(10,3<M<14,3)&=P\left(-2<M-E(M)<2\right) \\
    &=P\left(\abs{M-E(M)}<2\right) \\
    &=1-P\left(\abs{M-E(M)}\pg 2\right) \\
    &\pg 1-\dfrac{V(M)}{2^2} \qquad \text{(inégalité de Bienaymé-Tchebychev)} \\
    &\pg  0,882\end{align*}$
    La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre $10,3$ et $14,3$ est d’au moins $80\%$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A : étude d’un modèle discret

  1. $\dfrac{15~000}{50~000}=0,3$ mg.$^{-1}$.
    Cet ajout de chlore fait augmenter le taux de $0,3$ mg.$L^{-1}$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~v_n\pp v_{n+1}\pp 4$.
    Initialisation : $v_0=0,7$ et $v_1=0,92\times 0,7+0,3=0,944$.
    On a bien $v_0\pp v_1\pp 4$. $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $\begin{align*} v_n\pp v_{n+1} \pp 4&\ssi 0,92v_n\pp 0,92 v_{n+1} \pp 3,68 \\
    &\ssi 0,92v_n+0,3 \pp 0,92v_{n+1}+0,3 \pp 3,98 \\
    &\ssi v_{n+1} \pp v_{n+2} \pp 3,98\end{align*}$
    Ainsi $v_{n+1} \pp v_{n+2} \pp 4$ et $P'(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n\pp v_{n+1} \pp 4$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(v_n\right)$ est donc croissante et majorée par $4$. D’après le théorème de la limite monotone elle converge vers un réel $\ell \in [0,3;4]$.
    La fonction $f:~x\mapsto 0,92x+0,3$ est continue sur $\R$ en tant que fonction affine.
    Pour tout entier naturel $n$ on a $v_{n+1}=f\left(v_n\right)$.
    Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi 0,92x+0,3=x \\
    &\ssi 0,3=0,08x \\
    &\ssi x=3,75\end{align*}$
    $\left(v_n\right)$ converge donc vers $3,75$.
    $\quad$
  3. La suite $\left(v_n\right)$ est croissante et converge vers $3,75$.
    Il existe donc un rang à partir duquel $v_n>3$.
    À long terme, le taux de chlore ne sera pas conforme à la préconisation des piscinistes.
    $\quad$
  4. On peut écrire :

    $\quad$
  5. D’après la calculatrice $v_{16} \approx 2,95$ et $v_{17} \approx 3,01$
    Cet appel renverra donc la valeur $17$.
    C’est donc à partir du $17$-ième jour que le taux de chlore ne sera pas conforme.
    $\quad$

Partie B : étude d’un modèle continu.

  1. L’équation différentielle est de la forme $y’=ay+b$ avec $a=-0,08$ et $b=\dfrac{q}{50}$.µ
    Les solutions de cette équation sont les fonctions $g$ définies sur $\R$ par $g(x)=C\e^{ax}-\dfrac{b}{a}$ où $C$ est un réel quelconque.
    Or $-\dfrac{b}{a}=\dfrac{q}{4}$.
    Ainsi, il existe un réel $C$ tel que pour tout réel $x$ on a $f(x)=C\e^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}$.
    $\quad$
    Autre méthode (beaucoup plus longue) Soit $C$ un réel. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=C\e^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}$.
    $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée et somme de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=-0,08\times x\e^{-0,08x} \\
    &=-0,08x\e^{-0,08x}-0,08\times \dfrac{q}{4}+0,08\times \dfrac{q}{4} \\
    &=-0,08g(x)+\dfrac{q}{50}\end{align*}$
    Ainsi $g$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.
    Soit $h$ un autre fonction solution de $(E)$.
    On a alors, pour tout réel $x$ :
    $\begin{align*} g'(x)-h'(x)&=-0,08g(x)+\dfrac{q}{50}+0,08h(x)-\dfrac{q}{50} \\
    &=-0,08\left(g(x)-h(x)\right)\end{align*}$
    $g-h$ est donc solution de l’équation différentielle $(H):~y’=-0,08y$ dont l’ensemble solution est $\acco{x\in \R\mapsto K\e^{-0,08x},~\forall K\in \R}$.
    Ainsi toutes les solutions de $(E)$ sont de la forme $x\mapsto C\e^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}$.
    C’est en particulier le cas pour $f$.
    $\quad$
  2. a. $\lim\limits_{x\to +\infty} -0,08x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$. Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\dfrac{q}{4}$.
    $\quad$
    b. On souhaite donc que $\dfrac{q}{4}=2 \ssi q=8$.
    Ainsi, pour tout réel $x$ on a $f(x)=C\e^{-0,08x}+2$.
    On veut également que $f(0)=0,7 \ssi C+2=0,7 \ssi C=-1,3$.

Ex 3

Exercice 3

Partie A : exploitation du graphique

  1. Graphiquement $f(-1)=-2$ et $f'(-1)=1$ (coefficient directeur de la droite $(AB)$).
    $\quad$
  2. Il semblerait que le point d’abscisse $-1,2$ soit un point d’inflexion de $C_f$. La fonction $C_f$ n’est donc pas convexe sur son ensemble de définition.
    $\quad$
  3. Il semblerait que l’équation $f(x)=0$ admette une unique solution dont une valeur approchée est $0,1$.
    $\quad$

Partie B : étude de la fonction $\boldsymbol{f}$.

  1. $\lim\limits_{x\to -2^+} x-2=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -2^+} \ln(x+2)=-\infty$.
    $\lim\limits_{x\to -2} x^2+2x-1=-1$
    Ainsi $\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)=-\infty$.
    La droite d’équation $x=-2$ est donc asymptote à la courbe $C_f$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $]-2;+\infty[$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x>-2$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2x+2+\dfrac{1}{x+2} \\
    &=\dfrac{(2x+2)(x+2)+1}{x+2} \\
    &=\dfrac{2x^2+4x+2x+4+1}{x+2} \\
    &=\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2x^2+6x+5$ car $x+2>0$ sur $]-2;+\infty[$.
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est $\Delta=6^2-4\times 2\times 5=-4<0$
    Le coefficient principal de ce polynôme est $2>0$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $x^2+2x-1>0$.
    Donc, pour tout réel $x>-2$ on a $f'(x)>0$ et $f$ est une fonction strictement croissante sur $]-2;+\infty[$.
    $\quad$

    $\quad$
  4. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]-2;+\infty[$.
    $\lim\limits_{x\to -2^+} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-2;+\infty[$.
    D’après la calculatrice $\alpha \approx 0,12$.
    $\quad$
  5. La fonction $f$ est strictement croissante sur son ensemble de définition et s’annule en $\alpha$.
    Par conséquent :
    $\bullet~f(x)<0$ sur $]-2;\alpha[$ ;
    $\bullet~f(\alpha)=0$ ;
    $\bullet~f(x)>0$ sur $]-\alpha;+\infty[$.
    $\quad$
  6. $f’$ est dérivable sur $]-2;+\infty[$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x>-2$ on a :
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{(4x+6)(x+2)-\left(2x^2+6x+5\right)\times 1}{(x+2)^2 } \\
    &=\dfrac{4x^2+8x+6x+12-2x^2-6x-5}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{2x^2+8x+7}{(x+2)^2} \end{align*}$
    le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $2x^2+8x+7$ qui est un polynôme du second degré dont le dénominateur est $\Delta=8>0$.
    Il possède donc deux racines qui sont $\dfrac{-4-\sqrt{2}}{2}<-2$ et $\dfrac{-4+\sqrt{2}}{2}>-2$.
    $f\dsec(x)$ change de signe en s’annulant qu’une seule fois en $\dfrac{-4+\sqrt{2}}{2}$.
    $C_f$ admet donc qu’un seul point d’inflexion d’abscisse $\dfrac{-4+\sqrt{2}}{2}$.
    $\quad$

Partie C

  1. On a $J(0;1)$ et $M\left(x;g(x)\right)$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} h(x)&=(x-0)^2+\left(g(x)-1\right)^2 \\
    &=x^2+\left(\ln(x+2)-1\right)^2 \end{align*}$
    $\quad$
  2. a. D’après la question B.5. on obtient le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    b. D’après le tableau de variations précédent $h$ admet un minimum en $\alpha$.
    $JM^2$ est donc minimale en $\alpha$.
    La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$. Par conséquent $JM$ est minimale en $\alpha$^.
    $\quad$
  3. a. On a :
    $\begin{align*} f(\alpha)=0&\ssi \alpha^2+2\alpha-1+\ln(\alpha+2)=0 \\
    &\ssi \ln(\alpha+2)=1-\alpha^2-2\alpha\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le coefficient directeur de $\left(JM_{\alpha}\right)$ est $\dfrac{\ln(\alpha+2)-2}{\alpha}$ et celui de la tangente est $g'(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha+2}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} g'(\alpha)\times \dfrac{\ln(\alpha+2)-2}{\alpha}&=\dfrac{1}{\alpha+2}\times \dfrac{1-2\alpha-\alpha^2-1}{\alpha} \\
    &=\dfrac{-(\alpha+2)}{\alpha+2} \\
    &=-1\end{align*}$
    La tangente à $C_g$ au poit $M_{\alpha}$ et la droite $\left(JM_{\alpha}\right)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
    Autre méthode : Un vecteur directeur de $\left(JM_{\alpha}\right)$ est $\vect{JM_{\alpha}}\begin{pmatrix} \alpha\\\ln(\alpha+2)-1\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de la tangente à $C_g$ au point $M_{\alpha}$ est $\vect{u_{\alpha}}\begin{pmatrix}1\\g'(\alpha)\end{pmatrix}$.
    Or $g'(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha+2}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \vect{JM_{\alpha}}.\vect{u_{\alpha}}&=\alpha+\dfrac{\ln(\alpha+2)-1}{\alpha+2} \\
    &=\alpha+\dfrac{1-2\alpha-\alpha^2-1}{\alpha+2} \\
    &=\dfrac{\alpha^2+2\alpha-2\alpha-\alpha^2}{\alpha+2} \\
    &=0\end{align*}$
    La tangente à $C_g$ au poit $M_{\alpha}$ et la droite $\left(JM_{\alpha}\right)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AD}\begin{pmatrix}-2\\0\\4\end{pmatrix}$
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
    Les points $A$, $C$ et $D$ définissent bien un plan.
    De plus :
    $\bullet ~8\times 2+0+0-16=16-16=0$
    $\bullet ~ 32-20+4-16=36-36=0$
    $\bullet ~0-0+16-16=0$
    Les coordonnées des points $A$, $C$ et $D$ vérifient l’équation cartésienne fournie.
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. $0-20+12-16=12-36=-24\neq 0$
    Les coordonnées du point $B$ ne vérifient pas l’équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ fournie à la question précédente.
    Donc $B$ n’appartient pas à $(ACD)$.
    Les quatre points ne sont pas coplanaires.
    Affirmation 2 fausse
    $\quad$
  3. On a $\vect{BH}\begin{pmatrix}-1\\-3\\-1\end{pmatrix}$
    Les vecteurs $\vect{AC}$ et $\vect{BH}$ ne sont pas colinéaires car $\dfrac{2}{-1}\neq \dfrac{4}{-3}$.
    Ainsi les droites ne sont pas parallèles.
    Une représentation paramétrique de $(AC)$ est $\begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\end{cases}~~ $ où $t\in \R$.
    Une représentation paramétrique de $(BH)$ est $\begin{cases} x=-k\\y=4-3k\\z=3-k\end{cases}~~ $ où $k\in \R$.
    On résout le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\x=-k\\y=4-3k\\z=3-k\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\2+2t=-k\\4t=4-3k\\t=3-k\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\2+2(3-k)=-k\\4(3-k)=4-3k\\t=3-k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\8=k\\12-4k=4-3k\\t=3-k\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\8=k\\k=8\\t=-5\end{cases}\end{align*}$
    Les droites $(AC)$ et $(BH)$ sont donc sécantes.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. $-1-1+4-2=4-4=0$ : $H$ appartient au plan $(ABC)$.
    Un vecteur normal au plan $(ABC)$ est $\vec{n}\begin{align*}1\\-1\\2\end{align*}$.
    De plus $\vect{DH}\begin{align*}-1\\1\\-2\end{align*}$.
    Ainsi $\vect{DH}=-\vec{n}$ et $\vect{DH}$ est normal au plan $(ABC)$.
    Donc $H$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$

 

 

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées

Exercice 1     (5 points)

La directrice d’une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l’examen de fin d’étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.

Pour cette étude, on demande aux étudiants à l’issue de l’examen de répondre individuellement à la question : « Pensez-vous avoir réussi l’examen ? ». Seules les réponses « oui » ou « non » sont possibles, et on observe que $91,7 \%$ des étudiants interrogés ont répondu « oui ».

Suite à la publication des résultats à l’examen, on découvre que :

  • $65 \%$ des étudiants ayant échoué ont répondu « non » ;
  • $98 \%$ des étudiants ayant réussi ont répondu « oui ».

On interroge au hasard un étudiant qui a passé l’examen.
On note $R$ l’événement « l’étudiant a réussi l’examen » et $Q$ l’événement « l’étudiant a répondu « oui » à la question ».

Pour un événement $A$ quelconque, on note $P(A)$ sa probabilité et $\conj{A}$ son événement contraire.

Dans tout l’exercice, les probabilités sont, si besoin, arrondies à $\boldsymbol{10^{-3}}$ près.

  1. Préciser les valeurs des probabilités $P(Q)$ et $P_{\conj{R}}\left(\conj{Q}\right)$.
    $\quad$
  2. On note $x$ la probabilité que l’étudiant interrogé ait réussi l’examen.
    a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
    $\quad$

    $\quad$
    b. Montrer que $x = 0,9$.
    $\quad$
  3. L’étudiant interrogé a répondu « oui » à la question.
    Quelle est la probabilité qu’il ait réussi l’examen ?
    $\quad$
  4. La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre $0$ et $20$. On suppose qu’elle est modélisée par une variable aléatoire $N$ qui suit la loi binomiale de paramètres $(20 ; 0,615)$. La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.
    À partir de quelle note doit-elle attribuer les récompenses pour que $65 \%$ des étudiants soient récompensés ?
    $\quad$
  5. On interroge au hasard dix étudiants.
    Les variables aléatoires $N_1$, $N_2$, $\ldots$ , $N_{10}$ modélisent la note sur 20 obtenue à l’examen par chacun d’entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres $(20 ; 0,615)$.
    Soit $S$ la variable définie par $S=N_1+N_2+\ldots+N_{10}$.
    Calculer l’espérance $E(S)$ et la variance $V(S)$ de la variable aléatoire $S$.
    $\quad$
  6. On considère la variable aléatoire $M=\dfrac{S}{10}$.
    a. Que modélise cette variable aléatoire $M$ dans le contexte de l’exercice ?
    $\quad$
    b. Justifier que $E(M)= 12,3$ et $V(M) = 0,47355$.
    $\quad$
    c. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier l’affirmation ci-dessous.
    « La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre $10,3$ et $14,3$ est d’au moins $80 \%$ ».
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (5 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Alain possède une piscine qui contient $50$ m$^3$ d’eau. On rappelle que $1$m$^3 = 1~000$ L.
Pour désinfecter l’eau, il doit ajouter du chlore.

Le taux de chlore dans l’eau, exprimé en mg. L$^{-1}$ , est défini comme la masse de chlore par unité de volume d’eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre $1$ et $3$ mg. L$^{-1}$.

Sous l’action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu.

Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à $0,01$ mg. L$^{-1}$. Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de $0,70$ mg. L$^{-1}$.

Partie A : étude d’un modèle discret.

Pour maintenir le taux de chlore dans sa piscine, Alain décide, à partir du jeudi 20 juin, d’ajouter chaque jour une quantité de $15$ g de chlore. On admet que ce chlore se mélange uniformément dans l’eau de la piscine.

  1. Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de $0,3$ mg. L$^{-1}$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le taux de chlore, en mg. L$^{-1}$, obtenu avec ce nouveau protocole $n$ jours après le mercredi 19 juin. Ainsi $v_0 = 0,7$.
    On admet que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=0,92v_n+0,3$.
    a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $v_n\pp v_{n+1}\pp 4$.
    $\quad$
    b. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente et calculer sa limite.
    $\quad$
  3. À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  4. Reproduire et compléter l’algorithme ci-dessous écrit en
    langage Python pour que la fonction $\text{alerte_chlore}$ renvoie, lorsqu’il existe, le plus petit entier $n$ tel que $v_n>s$.

    $\quad$
    5. Quelle valeur obtient-on en saisissant l’instruction $\text{alerte_chlore(3)}$ ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Partie B : étude d’un modèle continu.

Alain décide de faire appel à un bureau d’études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine.

Dans ce modèle, pour une durée $x$ (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), $f(x)$ représente le taux de chlore, en mg. L$^{-1}$, dans la piscine.

On admet que la fonction $f$ est solution de l’équation différentielle $(E)~:~ y’=-0,08y + \dfrac{q}{50}$, où $q$ est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.

  1. Justifier que la fonction $f$ est de la forme $f(x)=C\e^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}$ où $C$ est une constante réelle.
    $\quad$
  2. a. Exprimer en fonction de $q$ la limite de $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
    b. On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à $0,7$ mg. L$^{-1}$.
    On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de $2$ mg. L$^{-1}$. Déterminer
    les valeurs de $C$ et $q$ afin que ces deux conditions soient respectées.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (6 points)

On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $]-2 ; +\infty[$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, $f’$ sa dérivée et $d\sec$ sa dérivée seconde.
On a tracé ci-dessous la courbe $C_f$ et sa tangente $T$ au point $B$ d’abscisse $-1$.
On précise que la droite $T$ passe par le point $A(0 ; -1)$.

Partie A : exploitation du graphique.

À l’aide du graphique, répondre aux questions ci-dessous.

  1. Préciser $f(-1)$ et $f'(-1)$.
    $\quad$
  2. La fonction $C_f$ est-elle convexe sur son ensemble de définition ? Justifier.
    $\quad$
  3. Conjecturer le nombre de solutions de l’équation $f(x) = 0$ et donner une valeur arrondie à $10^{-1}$ près d’une solution.
    $\quad$

Partie B : étude de la fonction $\boldsymbol{f}$.

On considère que la fonction $f$ est définie sur $]-2 ; +\infty[$ par $f(x) = x^2+2x-1+\ln(x+2)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

  1. Déterminer par le calcul la limite de la fonction $f$ en $-2$. Interpréter graphiquement ce résultat.
    On admet que $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  2. Montrer que pour tout $x > -2$, $f'(x)=\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}$.
    $\quad$
  3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $]-2 ; +\infty[$ puis dresser son tableau de variations complet.
    $\quad$
  4. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-2 ; +\infty[$ et donner une valeur arrondie de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  5. En déduire le signe de $f(x)$ sur $]-2 ; +\infty[$.
    $\quad$
  6. Montrer que $C_f$ admet un unique point d’inflexion et déterminer son abscisse.
    $\quad$

Partie C : une distance minimale.

Soit $g$ la fonction définie sur $]-2 ; +\infty[$ par $g(x)=\ln(x+2)$.

On note $C_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;I,J)$, représentée ci-dessous.

Soit $M$ un point de $C_g$ d’abscisse $x$.

Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de $x$ la distance $JM$ est minimale.

On considère la fonction ℎ définie sur $]-2 ; +\infty[$ par $h(x) = JM^2$.

  1. Justifier que pour tout $x>-2$, on a : $h(x)=x^2+\Big[\ln(x+2)-1\Big]^2$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $]-2 ; +\infty[$ et on note $h’$ sa fonction dérivée.
    On admet également que pour tout réel $x>-2$, $$h'(x)=\dfrac{2f(x)}{x+2}$$ où $f$ est la fonction étudiée en partie B.
    a. Dresser le tableau de variations de $h$ sur $]-2 ; +\infty[$.
    Les limites ne sont pas demandées.
    $\quad$
    b. En déduire que la valeur de $x$ pour laquelle la distance $JM$ est minimale est $\alpha$ où $\alpha$ est le nombre réel défini à la question 4 de la partie B.
    $\quad$
  3. On notera $M_{\alpha}$ le point de $C_g$ d’abscisse $\alpha$.
    a. Montrer que $\ln(\alpha + 2) = 1-2\alpha-\alpha^2$.
    $\quad$
    b. En déduire que la tangente à $C_g$ au point $M_{\alpha}$ et la droite $\left(JM_{\alpha}\right)$ sont perpendiculaires.
    On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $-1$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points suivants : $$A(2; 0; 0), B(0; 4; 3), C(4; 4; 1), D(0; 0; 4 ) \text{ et } H(-1; 1; 2)$$

Affirmation 1 : les points $A,~C$ et $D$ définissent un plan $\mathcal{P}$ d’équation $8x-5y+4z-16=0$.
$\quad$

Affirmation 2 : les points $A,~B,~C$ et $D$ sont coplanaires.
$\quad$

Affirmation 3 : les droites $(AC)$ et $(BH)$ sont sécantes.
$\quad$

On admet que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne $x-y+2z-2=0$.
Affirmation 4 : le point $H$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
$\quad$

$\quad$