Bac – Polynésie – jour 1 – juin 2024

Polynésie – 19 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a $\vect{OA}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{OC}\begin{pmatrix}5\\0\\-3\end{pmatrix}$
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même composante nulle.
    $\vec{n}.\vect{OA}=2+0-2=0$
    $\vec{n}.\vect{OC}=5+0-6=-1\neq 0$
    Donc $\vec{n}$ n’est pas orthogonal à $\vect{OC}$.
    Par conséquent $\vec{n}$ n’est pas normal au plan $(OAC)$.
    Affirmation 1 fausse.
    $\quad$
  2. Si on prend $t=-2$ dans la représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ on obtient $\begin{cases} x=5\\y=0\\z=-3\end{cases}$. Le point $C$ appartient donc à $\mathcal{D}$.
    $\vect{AB}\begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}$. Par conséquent $\vect{AC}=-\vect{AB}$. Ces deux vecteurs sont colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
    $C$ appartient à la droite $(AB)$.
    Il ne reste plus qu’à vérifier que la droite $(AB)$ n’est pas confondue avec la droite $\mathcal{D}$.
    Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$. Or $\dfrac{-3}{-1}\neq \dfrac{1}{1}$. Ainsi $\vec{u}$ et $\vect{AB}$ ne sont pas colinéaires.
    Les deux droites sont bien sécantes au point $C$.
    Affirmation 2 vraie.
    $\quad$
  3. Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$ et un vecteur normal à $\mathcal{P}$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\5\\-2\end{pmatrix}$.
    $\vec{u}.\vec{n}=-1+5-4=0$ : $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux.
    Par conséquent $\mathcal{D}$ est parallèle à $\mathcal{P}$.
    Affirmation 3 vraie.
    $\quad$
  4. On a $\vect{BC}\begin{pmatrix}6\\-2\\-4\end{pmatrix}$.
    Un vecteur normal au plan d’équation $3x-y-2z-7=0$ est $\vec{q}\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}$.
    On a donc $\vect{BC}=2\vec{q}$.
    Ainsi $\vect{BC}$ est normal au plan d’équation $3x-y-2z-7=0$.
    Le milieu de $[BC]$ est $M(2;1;-1)$.
    Or $3\times 2-1-2\times (-1)-7=6-1+2-7=0$: donc $M$ appartient au plan d’équation $3x-y-2z-7=0$.
    Affirmation 4 vraie.
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. $(E)$ est de la forme $y’=ay+b$ avec $a=-0,02$ et $b=m$.
    Les fonctions solution de cette équation différentielle sont  es fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(t)=k\e^{at}-\dfrac{b}{a}$.
    Or $-\dfrac{b}{a}=50m$.
    Ainsi l’ensemble des fonctions solution de $(E)$ est $\acco{t\in \R\mapsto k\e^{-0,02t}+50m,~\forall k\in \R}$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{t\to +\infty} -0,02t=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ donc, pour tout réel $k\in \R$, $\lim\limits_{t\to +\infty} k\e^{-0,02t}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=50m.
    Or $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=30$.
    Par conséquent $50m=30 \ssi m=0,6$.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $t$ on a donc $f(t)=k\e^{-0,02t}+30$ et $f(0)=210$.
    Ainsi $k\e^0+30=210\ssi k+30=210\ssi  k=180$.
    Pour tout réel $t$ on a alors $f(t)=180\e^{-0,02t}+30$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Graphiquement, il semblerait que $f(t)<50\ssi $t>110$.
    Par conséquent $T\approx 110$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} f(t)<50&\ssi 180\e^{-0,02t}+30<50 \\
    &\ssi 180\e^{-0,02t}<20 \\
    &\ssi \e^{-0,02t}<\dfrac{1}{9} \\
    &\ssi -0,02t<\ln\left(\dfrac{1}{9}\right) \qquad \text{croissance de la fonction exp} \\
    &\ssi -0,02t<-\ln(9) \\
    &\ssi t>50\ln(9) \qquad \text{division par un nombre négatif}\end{align*}$.
    Ainsi $T=50\ln(9)$.
    $\quad$
  2. La valeur moyenne de la température sur les $100$ premières secondes est :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{1}{100}\int_0^{100} f(t)\dt \\
    &=\dfrac{1}{100}\int_0^{100} \left(180\e^{-0,02t}+30\right)\dt \\
    &=\dfrac{1}{100}\times \left[\dfrac{180}{-0,02}\e^{-0,02t}+30t\right]_0^{100} \\
    &=\dfrac{1}{100}\left(-9~000\e^{-2}+3~000+9~000\right) \\
    &=120-90\e^{-2}\end{align*}$
    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On répète $3$ fois, de façon indépendante, la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{1}{2}$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  2. Pour tout $k\in \acco{0;1;2;3}$ on a $P(X=k)=\dbinom{3}{k}\left(\dfrac{1}{2}\right)^k\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3-k}=\dbinom{3}{k}\times\dfrac{1}{8}$.
    On obtient ainsi :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    k&0&1&2&3\\
    \hline
    P(X=k)&0,125&0,375&0,375&0,125\\
    \hline
    \end{array}$

Partie B

  1. $A_1$ est vérifié. On relance donc $2$ pièces.
    Il y a $4$ tirages possibles : PilePile ; PileFace ; FacePile et FaceFace. La probabilité que ces deux pièces fournissent Face est égale à $\dfrac{1}{4}$.
    Par conséquent $P_{A_1}(G)=\dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  3. $\left(A_0,A_1,A_2,A_3\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} p&=P(G)\\
    &=P\left(A_0\cap G\right)+P\left(A_1\cap G\right)+P\left(A_2\cap G\right)+P\left(A_3\cap G\right) \\
    &=P\left(A_0\right)\times P_{A_0}(G)+P\left(A_1\right)\times P_{A_1}(G)+P\left(A_2\right)\times P_{A_2}(G)+P\left(A_3\right)\times P_{A_3}(G) \\
    &=\dfrac{1}{8}\times \dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{8}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}\times 1 \\
    &=\dfrac{27}{64}\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_G\left(A_1\right)&=\dfrac{P\left(G\cap A_1\right)}{P(G)}\\ &=\dfrac{P\left(A_1\right)\times P_{A_1}(G)}{P(G)} \\
    &=\dfrac{\dfrac{3}{8}\times \dfrac{1}{4}}{\dfrac{27}{64}} \\
    &=\dfrac{2}{9}\end{align*}$
    La probabilité qu’exactement une pièce soit tombée du côté Face à la première tentative sachant que la partie a été gagnée est égale à $\dfrac{2}{9}$.
    $\quad$
  5. On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{27}{64}$ et on appelle $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où la partie est gagnée. $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\dfrac{27}{64}$.
    $\begin{align*} P(Y\pg 1)>0,95 &\ssi 1-P(Y=0)>0,95 \\
    &\ssi P(Y=0)<0,05 \\
    &\ssi \left(1-\dfrac{27}{64}\right)^n<0,05 \\
    &\ssi n\ln\left(\dfrac{37}{64}\right)<\ln(0,05) \qquad \text{croissance de la fonction ln} \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,05)}{\ln\left(\dfrac{37}{64}\right)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,05)}{\ln\left(\dfrac{37}{64}\right)} \approx 5,5$.
    Il faut donc jouer au moins $6$ fois à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse $0,95$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. On a :

    $\quad$
  2. $\text{suite(2)}$ renvoie une valeur approchée de $u_2$.
    On a :
    $\begin{align*} u_1&=\dfrac{4}{5-3} \\
    &=\dfrac{4}{2} \\
    &=2\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} u_2&=\dfrac{4}{5-2}\\
    &=\dfrac{4}{3}\end{align*}$
    Or $\dfrac{4}{3}\approx 1,333~333~333~333~333~3$.
    $\quad$
  3. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit décroissante et converge vers $1$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]-\infty;5[$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x<5$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-(-1)\dfrac{4}{(5-x)^2}\\
    &=\dfrac{4}{(5-x)^2}\\
    &>0\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-\infty;5[$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~1\pp u_{n+1}\pp u_n \pp 4$.
    Initialisation : $u_0=3$ et $u_1=2$. Donc $1\pp u_1\pp u_0 \pp 4$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $1\pp u_{n+1} \pp u_n \pp 4$
    La fonction $f$ est croissante sur $]-\infty;5[$. Ainsi :
    $f(1) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right) \pp f(4)$.
    Par conséquent $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1} \pp 4$ et $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp u_{n+1} \pp u_n \pp 4$.
    $\quad$
  3. a. Soit $x<5$.
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi \dfrac{4}{5-x}=x \\
    &\ssi \dfrac{4}{5-x}-x=0 \\
    &\ssi \dfrac{4-(5-x)x}{5-x}=0 \\
    &\ssi \dfrac{4-5x+x^2}{5-x}=0 \\
    &\ssi 4-5x+x^2=0 \qquad \text{ car }5-x\neq 0\end{align*}$
    $\quad$
    b. $x^2-5x+4=0$ est une équation du second degré.
    Son discriminant est $\Delta=(-5)^2-4\times 1\times 4=9>0$.
    Ses racines sont $\dfrac{5-\sqrt{9}}{2}=1$ et $\dfrac{5+\sqrt{9}}{2}=4$.
    Or $1\in ]-\infty;5[$ et $4\in ]-\infty;5[$.
    Par conséquent les solutions de l’équation $f(x)=x$ sont $1$ et $4$.
    $\quad$
  4. La suite $\left(u_n\right)$ est, d’après la question B.2, décroissante et minorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel $\ell$.
    $\quad$
    $f$ est continue (car dérivable) sur $]-\infty;5[$ et, pour tout $n\in \N$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
    D’après la question précédente $\ell=1$ ou $\ell=4$.
    Or $\left(u_n\right)$ est décroissante et $u_0=3<4$. Par conséquent $\ell=1$.
    $\quad$
  5. Si $u_0=4$ alors $u_1=4$.
    Un rapide raisonnement par récurrence nous permettrait de montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=4$.
    La suite $\left(u_n\right)$ serait donc constante égale à $4$.
    $\quad$

Énoncé

 

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées

Exercice 1     4 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

Les quatre affirmations se placent dans la situation suivante :
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points : $$A(2 ; 1 ;-1), B(-1 ; 2 ; 1) \text{ et } C(5 ; 0 ;-3)$$
On note $\mathcal{P}$ le plan d’équation cartésienne : $$x+5y-2z+3=0$$
On note $\mathcal{D}$ la droite de représentation paramétrique : $$\begin{cases} x=-t+3\\y=t+2\\z=2t+1\end{cases} \qquad t\in \R$$

Affirmation 1 :
Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$ est normal au plan $(OAC)$.

$\quad$
Affirmation 2 :
Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont sécantes au point $C$.

$\quad$
Affirmation 3 :
La droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$.

$\quad$
Affirmation 4 :
Le plan médiateur du segment $[BC]$, noté $Q$, a pour équation cartésienne : $$3x-y-2z-7 = 0$$
On rappelle que le plan médiateur d’un segment est le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

$\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Une entreprise fabrique des objets en plastique en injectant dans un moule de la matière fondue à $210$ °C. On cherche à modéliser le refroidissement du matériau à l’aide d’une fonction $f$ donnant la température du matériau injecté en fonction du temps $t$.
Le temps est exprimé en seconde et la température est exprimée en degré Celsius.
On admet que la fonction $f$ cherchée est solution d’une équation différentielle de la forme suivante où m est une constante réelle que l’on cherche à déterminer : $$(E)~ :~ y’+0,02y = m$$

Partie A

  1. Justifier l’affichage suivant d’un logiciel de calcul formel :
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    \text{Entrée :}&\text{RésoudreEquationDifférentielle (y′ +0,02y = m)}\\
    \hline
    \text{Sortie :}& \boxed{\to}~ y = k *\exp(−0.02∗t)+50*m\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. La température de l’atelier est de $30$ °C. On admet que la température $f(t)$ tend vers $30$ °C lorsque $t$ tend vers l’infini.
    Démontrer que $m = 0,6$.
    $\quad$
  3. Déterminer l’expression de la fonction $f$ cherchée en tenant compte de la condition initiale f$ (0) = 210$.
    $\quad$

Partie B

On admet ici que la température (exprimée en degré Celsius) du matériau injecté en fonction du temps (exprimé en seconde) est donnée par la fonction dont l’expression et une représentation graphique sont données ci-dessous : $$f(t)=180\e^{-0,02t}+30$$

  1. . L’objet peut être démoulé lorsque sa température devient inférieure à $50$°C.
    a. Par lecture graphique, donner une valeur approchée du nombre $T$ de secondes à attendre avant de démouler l’objet.
    $\quad$
    b. Déterminer par le calcul la valeur exacte de ce temps $T$.
    $\quad$
  2. À l’aide d’une intégrale, calculer la valeur moyenne de la température sur les $100$ premières secondes.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles

Partie A
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté « Face ».

  1. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    k&0&1&2&3\\
    \hline
    P(X=k)&\phantom{12345}&\phantom{12345}&\phantom{12345}&\phantom{12345}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Partie B

Voici les règles d’un jeu où le but est d’obtenir trois pièces du côté « Face » en un ou deux essais :

  • On lance trois pièces équilibrées :
    • Si les trois pièces sont tombées du côté « Face », la partie est gagnée;
    • Sinon, les pièces tombées du côté « Face » sont conservées et on relance celles tombées du côté « Pile ».
  • La partie est gagnée si on obtient trois pièces du côté « Face », sinon elle est perdue.

On considère les évènements suivants :

  • $G$ : « la partie est gagnée ».
    Et pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $3$, les évènements :
  • $A_k$ : « $k$ pièces sont tombées du côté « Face » au premier lancer ».
  1. Démontrer que $P_{A_1}(G) = \dfrac{1}{4}$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :
    $\quad$

    $\quad$
  3. Démontrer que la probabilité $p$ de gagner à ce jeu est $p =\dfrac{27}{64}$
    $\quad$
  4. La partie a été gagnée. Quelle est la probabilité qu’exactement une pièce soit tombée du côté « Face » à la première tentative ?
    $\quad$
  5. Combien de fois faut-il jouer à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse $0,95$ ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     6 points

L’objectif de cet exercice est de conjecturer en partie A puis de démontrer en partie B le comportement d’une suite.
Les deux parties peuvent cependant être traitées de manière indépendante.
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n\in \$N : $$u_{n+1}=\dfrac{4}{5-u_n}$$

Partie A

  1. Recopier et compléter la fonction Python suivante $\text{suite(n)}$ qui prend comme paramètre le rang $n$ et renvoie la valeur du terme $u_n$.

    $\quad$
  2. L’exécution de $\text{suite(2)}$ renvoie $1.3333333333333333$.
    Effectuer un calcul pour vérifier et expliquer cet affichage.
    $\quad$
  3. À l’aide des affichages ci-dessous, émettre une conjecture sur le sens de variation et une conjecture sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    » \text{ suite}(2)\\
    1.3333333333333333\\
    » suite(5)\\
    1.0058479532163742\\
    » \text{ suite}(10)\\
    1.0000057220349845\\
    » \text{ suite}(20)\\
    1.000000000005457\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

 

Partie B

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $]-\infty ; 5[$ par : $$f(x) =\dfrac{4}{5-x}$$
Ainsi, la suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = f \left(u_n\right)$.

  1. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $]-\infty ; 5[$.
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a : $$1\pp u_{n+1}\pp u_n \pp 4$$
    $\quad$
  3. a. Soit x un réel de l’intervalle $]-\infty ; 5[$.
    Prouver l’équivalence suivante : $$f (x) = x \ssi x^2-5x +4 = 0$$
    $\quad$
    b. Résoudre $f(x) = x$ dans l’intervalle $]-\infty ; 5[$.
    $\quad$
  4. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    Déterminer sa limite.
    $\quad$
  5. Le comportement de la suite serait-il identique en  choisissant comme terme initial $u_0 = 4$ au lieu de $u_0 = 3$ ?
    $\quad$