Exercice 1

1. On veut calculer
   $\begin{align*} P(E\cap B)&=P(E)\times P_E(B) \\
   &=0,6\times 0,75 \\
   &=0,45\end{align*}$
   La probabilité que l’acheteur choisisse un véhicule tout électrique et qu’il ait la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile est égale à $0,45$.
   $\quad$
2. $^\left(E,\conj{E}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
   $\begin{align*} P(B)&=P(E\cap B)+P\left(\conj{E}\cap B\right) \\
   &=0,45+P\left(\conj{E}\right)P_{\conj{E}}(B) \\
   &=0,45+0,4\times 0,52 \\
   &=0,45+0.208 \\
   &=0,658\end{align*}$
   $\quad$
3. On veut calculer :
   $\begin{align*} P_B(E)&=\dfrac{P(E\cap B)}{P(B)} \\
   &=\dfrac{0,45}{0,658} \\
   &\approx 0,684\end{align*}$
   La probabilité que l’acheteur choisisse un véhicule tout électrique sachant qu’il a la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile est environ égale à $0,684$.
   $\quad$
4. a. On répète $20$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,658$.
   $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,658$.
   $\quad$
   b. On a alors :
   $\begin{align*} P(X=8)&=\dbinom{20}{8}0,658^8\times (1-0,658)^{12} \\
   &\approx 0,011\end{align*}$
   $\quad$
   c. On a :
   $\begin{align*} P(X\pg 10)&=1-P(X<10) \\
   &=1-P(X\pp 9) \\
   &\approx 0,955\end{align*}$
   La probabilité qu’au moins $10$ acheteurs puissent installer une borne de recharge est environ égale à $0,955$.
   $\quad$
   d. L’espérance de $X$ est :
   $\begin{align*} E(X)&=np\\
   &=20\times 0,658 \\
   &=13,16\end{align*}$
   $\quad$
   e. En moyenne, elle doit prévoir d’engager $1~200\times 13,16=15~795$ €.
   $\quad$

 

Exercice 2

1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\e^x+1>0$.
   La fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
   $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$
   $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
   L’affirmation A est vraie.
   $\quad$
   La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\R$.
   $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ donc $-2\in ]-\infty;+\infty[$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=-2$ admet une unique solution.
   L’affirmation B est fausse.
   $\quad$
2. Pour tout réel $x>0$ on a $\dfrac{\ln(x)-x^2+2}{3x^2}=\dfrac{\ln(x)}{3x^2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3x^2}$.
   Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x^2}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2}=0$.
   Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)-x^2+2}{3x^2}=-\dfrac{1}{3}$.
   L’affirmation C est vraie.
   $\quad$
3. La fonction $k$ est continue sur $\R$ par hypothèse. Elle admet donc une primitive sur $\R$.
   La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Donc, pour tout réel $x$ on a $k(x)>0$.
   Toutes les primitives de $k$ sont donc strictement croissante sur $\R$.
   L’affirmation D est fausse.
   $\quad$
4. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a donc, $g'(x)=-\dfrac{4}{3}\e^{-x/3}$.
   Ainsi, pour tout réel $x$, on a :
   $\begin{align*} -3g'(x)+g(x)&=-4\e^{-x/3}+1+4\e^{-x/3} \\
   &=1\end{align*}$
   Donc $g$ est solution de l’équation $(E)$.
   De plus $g(0)=4+1=5$.
   L’affirmation E est vraie.
   $\quad$
   Autre méthode : Les solutions de l’équation différentielle sont de la forme $g:~x\mapsto C\e^{-x/3}+1$ avec $C\in \R$.
   $g(0)=5\ssi C+1=5 \ssi C=4$.
   Par conséquent $g(x)=4\e^{-x/3}+1$.
   $\quad$
5. On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $\R$ (sur $[0;1]$ suffit en fait ici) définies par $$\begin{array}{lll} u(x)=x&\phantom{1234}&u'(x)=1 \\v(x)=-\e^{-x}&&v'(x)=\e^{-x} \end{array}$$
   Ainsi :
   $\begin{align*}\int_0^1 x\e^{-x}\dx &=\Big[-x\e^{-x}\Big]0^1-\int_0^1 \left(-\e^{-x}\right)\dx \\
   &=-\e^{-1}+\int_0^1 \e^{-x}\dx \\
   &=-\e^{-1}+\Big[-\e^{-x}\Big]_0^1 \\
   &=-\e^{-1}-\e^{-1}+1 \\
   &=1-2\e^{-1}\end{align*}$
   L’affirmation F est vraie.
   $\quad$

Exercice 3

1. Le premier étage contient $1$ boule.
   Le deuxième étage contient $2^2=4$ boules.
   Le troisième étage contient $3^2=9$ boules.
   Le quatrième étage contient $4^2=16$ boules.
   Une pyramide de $4$ étages contient donc $1+4+9+16=30$ boules.
   $\quad$
2. a. On a :
   $\begin{align*} S_5&=u_1+u_2+u_3+u_4+u_5\\
   &=1+4+9+16+25 \\
   &=55\end{align*}$
   Une pyramide de $5$ étages contient donc $55$ boules.
   $\quad$
   b. On peut écrire :
   
   Python

   def pyramide(n): S = 0 for i in range(1,n+1): S = S + i**2 return S

   1 2 3 4 5

   def pyramide(n):      S = 0      for i in range(1,n+1):           S = S + i**2      return S

   
   c. Soit $n$ un entier naturel.
   D’une part :
   $\begin{align*} \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2&=\dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6} \\
   &=\dfrac{n+1}{6}\left(n(2n+1)+6(n+1)\right)\\
   &=\dfrac{n+1}{6}\left(2n^2+n+6n+6\right)\\
   &=\dfrac{n+1}{6}\left(2n^2+7n+6\right)\end{align*}$
   D’autre part :
   $\begin{align*} \dfrac{(n+1)(n+2)\left[2(n+1)+1\right]}{6} \\
   &=\dfrac{n+1}{6}(n+2)(2n+3) \\
   &=\dfrac{n+1}{6}\left(2n^2+3n+4n+6\right) \\
   &=\dfrac{n+1}{6}\left(2n^2+7n+6\right)\end{align*}$
   Ainsi $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)(n+2)\left[2(n+1)+1\right]}{6}$.
   $\quad$
   d. Pour tout entier naturel non nul $n$ on pose $P(n):~S_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
   Initialisation : $S_1=1$ et $\dfrac{1(1+1)(2+1)}{6}=1$ donc $P(1)$ est vraie.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n$ un entier naturel non nul. On suppose que $P(n)$ est vraie.
   $\begin{align*} S_{n+1}&=u_1+u_2+\ldots+u_n+u_{n+1} \\
   &=S_n+(n+1)^2 \\
   &=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 \\
   &=\dfrac{(n+1)(n+2)\left[2(n+1)+1\right]}{6} \end{align*}$
   Donc $P(n+1)$ est vraie.
   Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel non nul, on a $S_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
   $\quad$
3. On veut détermine le plus grand entier naturel $n$ tel que $S_n \pp 200$.
   Or $S_7=140$ et $S_8=204$.
   Il pourra donc construire une pyramide à base carrée de $7$ étages contenant $140$ oranges.
   $\quad$

 

 

 

Exercice 4

1. Dans ce repère $E$ a pour coordonnées $(0;0;1)$ et $C$ a pour coordonnées $(1;1;0)$.
   $\quad$
2. a. Vérifions dans un premier temps les coordonnées du vecteur $\vect{DB}$
   On a $\vect{DB}\begin{pmatrix}1-0\\0-1\\0-0\end{pmatrix}$ soit $\vect{DB}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$.
   De plus $\vect{GE}\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{GA}\begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\end{pmatrix}$.
   Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car $\dfrac{-1}{-1}\neq \dfrac{0}{-1}$
   De plus $\vect{DB}.\vect{GE}=-1+1+0=0$ et $\vect{DB}$
   Et $\vect{DB}.\vect{GA}=-1+1+0=0$.
   $\vect{DB}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(GEA)$. Il est donc normal au plan $(GEA)$.
   $\quad$
   b. Une équation cartésienne du plan $(GEA)$ est donc de la forme $x-y-d=0$.
   Le point $A(0;0;0)$ appartient à ce plan donc $0-0+d=0 \ssi d=0$.
   Une équation cartésienne du plan $(GEA)$ est donc $x-y=0$.
   $\quad$
3. a. On a $\vect{CK}\begin{pmatrix} m-1\\-1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{LE}\begin{pmatrix} 1-m\\-1\\0\end{pmatrix}$
   Ainsi $\vect{CK}=\vect{LE}$ et $CKEL$ est un parallélogramme.
   $\quad$
   b. On a $\vect{KE}\begin{pmatrix}-m\\0\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{KC}\begin{pmatrix} 1-m\\1\\0\end{pmatrix}$
   Donc
   $\begin{pmatrix}\vect{KC}.\vect{KE}&=-m(1-m)+0+0 \\
   &=m(m-1)\end{pmatrix}$
   $\quad$
   c. $CKEL$ est un rectangle si, et seulement si, $(KC)$ et $(KL)$ sont perpendiculaires ;
   si, et seulement si, $\vect{KC}.\vect{KE}=0$ ;
   si, et seulement si, $m(m-1)=0$ ;
   si, et seulement si, $m=0$ ou $m=1$.
   $\quad$
4. a. On a $\vect{KE}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\[3mm]0\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{KC}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}\\[3mm]1\\0\end{pmatrix}$
   Ainsi :
   $\begin{align*} KE&=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+0+1} \\
   &=\sqrt{\dfrac{5}{4}}\end{align*}$
   et :
   $\begin{align*} KC&=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+0+1} \\
   &=\sqrt{\dfrac{5}{4}}\end{align*}$
   Ainsi $CKEL$ est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont la même longueur. C’est un losange.
   $\quad$
   b. D’après la question 3.b on sait que $\vect{KC}.\vect{KE}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{-1}{2}=-\dfrac{1}{4}$.
   On sait également que $\vect{KC}.\vect{KE}=KC\times KE\times \cos \left(\widehat{CKE}\right)$.
   Ainsi
   $\begin{align*} \sqrt{\dfrac{5}{4}}\times \sqrt{\dfrac{5}{4}}\times \cos\left(\widehat{CKE}\right)=-\dfrac{1}{4}&\ssi \dfrac{5}{4}\cos\left(\widehat{CKE}\right)=-\dfrac{1}{4} \\
   &\ssi \cos\left(\widehat{CKE}\right)=-\dfrac{1}{5}\end{align*}$
   Ainsi $\widehat{CKE}\approx 102$ °.
   $\quad$

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     (5 points)

Une concession automobile vend deux sortes de véhicules :

• $60 \%$ sont des véhicules tout-électrique ;
• $40 \%$ sont des véhicules hybrides rechargeables.

$75 \%$ des acheteurs de véhicules tout-électrique et $52 \%$ des acheteurs de véhicules hybrides ont la possibilité matérielle d’installer une borne de recharge à domicile.
On choisit un acheteur au hasard et on considère les événements suivants :

• $E$ : « l’acheteur choisit un véhicule tout-électrique » ;
• $B$ : « l’acheteur a la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile »

Dans l’ensemble de l’exercice, les probabilités seront arrondies au millième si nécessaire.

1. Calculer la probabilité que l’acheteur choisisse un véhicule tout-électrique et qu’il ait la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile.
   On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
   $\quad$
2. Démontrer que $P(B) = 0,658$.
   $\quad$
3. Un acheteur a la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile. Quelle est la probabilité qu’il choisisse un véhicule tout-électrique ?
   $\quad$
4. On choisit un échantillon de $20$ acheteurs. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.
   On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre total d’acheteurs pouvant installer une borne de recharge à leur domicile parmi l’échantillon de $20$ acheteurs.
   a. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
   $\quad$
   b. Calculer $P(X = 8)$.
   $\quad$
   c. Calculer la probabilité qu’au moins 10 acheteurs puissent installer une borne de recharge.
   $\quad$
   d. Calculer l’espérance de $X$.
   $\quad$
   e. La directrice de la concession décide d’offrir l’installation de la borne de recharge aux acheteurs ayant la possibilité d’en installer une à leur domicile. Cette installation coûte $1~200$ €.
   En moyenne, quelle somme doit-elle prévoir d’engager pour cette offre lors de la vente de $20$ véhicules ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (6 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. On considère la fonction $f$ définie $\R$ par $f(x)=\e^x+x$.
   Affirmation A : La fonction $f$ admet pour tableau de variations le tableau ci-dessous :
   $\quad$
   
   $\quad$
   Affirmation B : L’équation $f(x)=-2$ admet deux solutions dans $\R$.
   $\quad$
2. Affirmation C : $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)-x^2+2}{3x^2}=-\dfrac{1}{3}$.
   $\quad$
3. On considère la fonction $k$ définie et continue sur $\R$ par
   $k(x)=1+2\e^{-x^2+1}$.
   Affirmation D : Il existe une primitive de la fonction $k$ décroissante sur $\R$.
   $\quad$
4. On considère l’équation différentielle $(E):~3y’+y=1$.
   Affirmation E : La fonction $g$ définie sur $\R$ par
   $g(x)=4\e^{-\frac{1}{3}x}+1$ est solution de l’équation différentielle $(E)$ avec $g(0)=5$.
   $\quad$
5. Affirmation F : Une intégration par parties permet d’obtenir : $$\int_0^1 x\e^{-x}\dx=1-2\e^{-1}$$
   $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (4 points)

On considère une pyramide à base carrée formée de boules identiques empilées les unes sur les autres :

• le $1^{\text{er}}$ étage, situé au niveau le plus haut, est
  composé de $1$ boule ;
• le $2^{\text{e}}$ étage, niveau juste en dessous, est composé
  de $4$ boules ;
• le $3^{\text{e}}$ étage possède $9$ boules ;
• $\ldots$
• le $n$-ième étage possède $n^2$ boules.

Pour tout entier $n \pg 1$, on note $u_n$ le nombre de boules qui composent le $n$-ième étage en partant du haut de la pyramide. Ainsi, $u_n=n^2$.

1. Calculer le nombre total de boules d’une pyramide de $4$ étages.
   $\quad$
2. On considère la suite $\left(S_n\right)$ définie pour tout entier $n\pg 1$ par $S_n=u_1+u_2+\ldots+u_n$.
   a. Calculer $S_5$ et interpréter ce résultat.
   $\quad$
   b. On considère la fonction pyramide ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python. Recopier et compléter sur la copie le cadre ci-dessous de sorte que, pour tout entier naturel non nul $\text{n}$, l’instruction $\text{pyramide(n) }$ renvoie le nombre de boules composant une pyramide de $n$ étages.
   
   Python

   def pyramide(n): S = 0 for i in range(1,n+1): S = ... return ...

   1 2 3 4 5

   def pyramide(n):      S = 0      for i in range(1,n+1):           S = ...      return ...

   
   $\quad$
   c. Vérifier que pour tout entier naturel $n$ :
   $$\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)(n+2)\left[2(n+1)+1\right]}{6}$$
   $\quad$

   d. Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\pg 1$ : $$S_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
   $\quad$

3. Un marchand souhaite disposer des oranges en pyramide à base carrée. Il possède $200$ oranges. Combien d’oranges utilise-t-il pour construire la plus grande pyramide possible ?
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (5 points)

On considère un cube $ABCDEFGH$ et l’espace est rapporté au repère orthonormal $\left(A;\vec{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.
Pour tout réel $m$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 1]$, on considère les points $K$ et $L$ de coordonnées : $$K(m ; 0 ; 0) \text{ et } L(1-m ; 1 ; 1)$$

1. Donner les coordonnées des points $E$ et $C$ dans ce repère.
   $\quad$
2. Dans cette question, $m=0$. Ainsi, le point $L(1 ; 1 ; 1)$ est confondu avec le point $G$, le point $K(0 ; 0 ; 0)$ est confondu avec le point $A$ et le plan $(LEK)$ est donc le plan $(GEA)$.
   a. Justifier que le vecteur $\vect{DB}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ est normal au plan $(GEA)$.
   $\quad$
   b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(GEA)$.
   $\quad$

On s’intéresse désormais à la nature de $CKEL$ en fonction du paramètre $m$.

3. Dans cette question, $m$ est un réel quelconque de l’intervalle $[0; 1]$.
   a. Démontrer que $CKEL$ est un parallélogramme.
   $\quad$
   b. Justifier que $\vect{KC}.\vect{KE}= m(m-1)$.
   $\quad$
   c. Démontrer que $CKEL$ est un rectangle si, et seulement si, $m =0$ ou $m=1$.
   $\quad$
4. Dans cette question, $m=\dfrac{1}{2}$. Ainsi, $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};1;1\right)$ et $K$ a pour
   coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};0;0\right)$.
   a. Démontrer que le parallélogramme $CKEL$ est alors un losange.
   $\quad$
   b. À l’aide de la question 3. b., déterminer une valeur approchée au degré près de la mesure de l’angle $\widehat{CKE}$.
   $\quad$

$\quad$