Bac – Polynésie – jour 2 – juin 2024

Polynésie – 20 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. On a $P(J)=0,6$ et $P_J(S)= \dfrac{8}{9}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} P(J\cap S)&=P(J)\times P_J(S)\\
    &=0,6\times \dfrac{8}{9} \\
    &=\dfrac{8}{15}\end{align*}$
    La probabilité que la personne choisie ait l’intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est de $\dfrac{8}{15}$.
    $\quad$
  2. a. On a $P(S)=\dfrac{2}{3}$
    $\left(J,\conj{J}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(S)=P(J\cap S)+P\left(\conj{J}\cap S\right) &\ssi \dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{15}+P\left(\conj{J}\cap S\right) \\
    &\ssi P\left(\conj{J}\cap S\right)=\dfrac{2}{15}\end{align*}$.
    La probabilité que la personne choisie n’ait pas l’intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est égale à $\dfrac{2}{15}$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{J}\cap S\right)=P\left(\conj{J}\right)\times P_{\conj{J}}(S)&\ssi \dfrac{2}{15}=0,4\times P_{\conj{J}}(S) \\
    &\ssi P_{\conj{J}}(S)=\dfrac{\dfrac{2}{15}}{0,4} \\
    &\ssi P_{\conj{J}}(S)=\dfrac{1}{3} \end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On répète $30$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{2}{3}$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    b. On a ainsi :
    $\begin{align*} P(X=16)&=\dbinom{30}{16}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{16}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{14} \\
    &\approx 0,046\end{align*}$
    La probabilité qu’exactement $16$ personnes déclarent pratiquer une activité sportive est environ égale à $0,046$.
    $\quad$
    c. $\dfrac{10~000}{380} \approx 26,3$.
    Le budget prévu ne permet d’offrir que $26$ places.
    Or, d’après la calculatrice,
    $\begin{align*} P(X>26)&=1-P(X\pp 26)\\
    &\approx 0,003\end{align*}$.
    La probabilité que ce budget soit insuffisant est environ égale à $0,003$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Nous avons une équation différentielle de la forme $y’=ay+b$ avec $a=-3$ et $b=7$.
    Les solutions de cette équation sont les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=C\e^{ax}-\dfrac{b}{a}$.
    Donc, ici, $f(x)=C\e^{-3x}+\dfrac{7}{3}$.
    On veut que $f(0)=1\ssi C+\dfrac{7}{3}=1\ssi C=-\dfrac{4}{3}$.
    Ainsi, $f(x)=-\dfrac{4}{3}\e^{-3x}+\dfrac{7}{3}$
    Réponse B
    $\quad$
  2. La fonction $f$ semble continue et positive sur $[1;5]$. $I$ est donc égale à l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe représentant la fonction $f$ et les droites d’équation $x=1$ et $x=5$.
    $5$ carreaux sont contenus dans ce domaine et ce domaine est contenu dans un ensemble de $10$ carreaux.
    Donc $5\pp I\pp 10$.
    Réponse C
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} \int_0^2 g'(x)\dx&=Big[g(x)\big]_0^2 \\
    &=g(2)-g(0)\\
    &=4\ln(8)-0\\
    &\approx 8,3\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  4. Il existe $\dfrac{31}{5}$ groupes différents de $5$ élèves dans une classe de $31$ élèves.
    Réponse D
    $\quad$
  5. Il y a $\dbinom{20}{3}$ groupes différents de $3$ élèves ayant choisi la spécialité SES.
    Il y a $\dbinom{31-20}{5-3}=\dbinom{11}{2}$ façons différentes de choisir les $2$ autres élèves parmi les élèves n’ayant pas choisi la spécialité SES.
    Il y a donc $\dbinom{20}{3}\dbinom{11}{2}$ groupes possibles.
    Réponse A
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. $u_1=8-\ln(2)\approx 7,31$
    $u_2=8-\ln(2)-\ln\left(\dfrac{8-\ln(2)}{4}\right) \approx 6,70$.
    $\quad$
    b. Cet appel renvoie une valeur approchée de la somme $\ds \sum_{k=0}^{9} u_k=u_0+\ldots+u_{9}$.
    $\quad$
    c. On peut écrire :

    Remarque : On suppose que $k$ est un entier naturel non nul.
    $\quad$
  2. $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ par hypothèse.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=1-\dfrac{~\dfrac{1}{4}~}{\dfrac{x}{4}} \\
    &=1-\dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{x-1}{x}\end{align*}$
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x-1$ car $x>0$.
    or $x-1=0\ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]0;1]$ et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
    $\begin{align*}f(1)&=1-\ln\left(\dfrac{1}{4}\right) \\
    &=1+\ln(4)\end{align*}$
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    Remarque : Si on veut calculer les limites (ce qui n’est pas demandé) :
    $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{x}{4}=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f(x)&=x-\ln(x)+\ln(4) \\
    &=x\left(1-\dfrac{\ln(x)}{x}+\dfrac{\ln(4)}{x}\right) \end{align*}$
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(4)}{x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~1\pp u_{n+1}\pp u_n$.
    Initialisation : $u_0=8$ et $u_1\approx 7,31$ donc $1\pp u_1\pp u_0$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    On a donc $1\pp u_{n+1}\pp u_n$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[1;+\infty[$ donc :
    $f(1) \pp f\left(u_{n+1}\right)\pp f\left(u_n\right)$
    Soit $1<1+\ln(4)\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$ et $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp u_{n+1} \pp u_n$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone, la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell \in[1;+\infty[$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi x-\ln\left(\dfrac{x}{4}\right)=x \\
    &\ssi -\ln\left(\dfrac{x}{4}\right)=0 \\
    &\ssi \dfrac{x}{4}=1 \qquad (\text{stricte croissance de la fonction } \ln )\\
    &\ssi x=4\end{align*}$
    L’unique solution de l’équation $f(x)=x$ est $4$.
    $\quad$
    d. La suite $\left(u_n\right)$ vérifie pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ où $f$ est une fonction continue (car dérivable) sur $]0;+\infty[$.
    D’après la question 3.b. cette suite converge vers un réel $\ell$.
    Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
    D’après la question précédente $\ell=4$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}5\\-1\\-13\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\-2\\-10\end{pmatrix}$
    Or $\dfrac{5}{2}\neq \dfrac{-1}{-10}$.
    Les deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
    Par conséquent $A$, $B$ et $C$$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. a. D’une part $\vec{n}.\vect{AB}=10+3-13=0$
    D’autre part $\vec{n}.\vect{AC}=4+6-10=0$
    $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. Il est donc normal au plan $\mathcal{P}$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne de ce plan est donc de la forme $2x-3y+z+d=0$.
    Or $A(-1;-1;17)$ appartient à ce plan.
    Ainsi $-2+3+17+d=0\ssi d=-18$.
    Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $2x-3y+z-18=0$.
    $\quad$
  3. a. Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. Les coordonnées du point $E$ sont solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} 2x-3y+z-18=0\\x=3t+2\\y=t+5\\z=4t+1\end{cases}&\ssi \begin{cases} 2(3t+2)-3(t+5)+(4t+1)-18=0\\x=3t+2\\y=t+5\\z=4t+1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 6t+4-3t-15+4t+1-18=0\\x=3t+2\\y=t+5\\z=4t+1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 7t-28=0\\x=3t+2\\y=t+5\\z=4t+1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=4\\x=14\\y=9\\z=17\end{cases}\end{align*}$
    Le point $E$ a donc pour coordonnées $(14;9;17)$.
    $\quad$
  4. On a $\vect{FD}\begin{pmatrix}-4\\6\\-2\end{pmatrix}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} FD&=\sqrt{(-4)^2+6^2+(-2)^2} \\
    &=\sqrt{16+36+4} \\
    &=\sqrt{56} \\
    &=\sqrt{4\times 14} \\
    &=2\sqrt{14}\end{align*}$
    La distance entre point $D$ et le plan $\mathcal{P}$ vaut $2\sqrt{14}$ centaines de mètres.
    $\quad$
  5. La plus petite distance entre le point $D$ et le plan $\mathcal{P}$ est $FD$.
    Le drone mettra donc $\dfrac{2\sqrt{14}\times 100}{18,6} \approx 40,2$ s pour parcourir cette distance.
    Le nouveau drone ne pourra pas arriver à temps.
    $\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées

Exercice 1     (4 points)

Un sondage réalisé en France fournit les informations suivantes :

  • $60 \%$ des plus de 15 ans ont l’intention de regarder les jeux Olympiques et Paralympiques (JOP) de Paris 2024 à la télévision;
  • parmi ceux qui ont l’intention de regarder les JOP, $8$ personnes sur $9$ déclarent pratiquer une activité sportive régulière.

On choisit au hasard une personne de plus de 15 ans. On considère les évènements suivants :

  • $J$ : « la personne a l’intention de regarder les JOP Paris 2024 à la télévision »;
  • $S$ : « la personne choisie déclare pratiquer une activité sportive régulière ».

On note $\conj{J}$ et $\conj{S}$ leurs évènements contraires.
Dans les questions 1. et 2., les probabilités seront données sous la forme d’une fraction irréductible

  1. Démontrer que la probabilité que la personne choisie ait l’intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est de $\dfrac{8}{15}$.
    On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
    $\quad$

Selon ce sondage, deux personnes sur trois parmi les plus de 15 ans déclarent pratiquer une activité sportive régulière.

  1. a. Calculer la probabilité que la personne choisie n’ait pas l’intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière.
    $\quad$
    b. En déduire la probabilité de $S$ sachant $\conj{J}$ notée $P_{\conj{J}}(S)$.
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, les résultats seront arrondis au millième.

  1.  Dans le cadre d’une opération de promotion, $30$ personnes de plus de 15 ans sont choisies au hasard.
    On assimile ce choix à un tirage avec remise.
    On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi les $30$ personnes.
    a. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité qu’exactement $16$ personnes déclarent pratiquer une activité sportive régulière parmi les $30$ personnes.
    $\quad$
    c. La fédération française de judo souhaite offrir une place pour la finale de l’épreuve par équipe mixte de judo à l’Arena Champ-de-Mars pour chaque personne déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi ces $30$ personnes.
    Le prix d’une place s’élève à $380$ € et on dispose d’un budget de $10~000$ euros pour cette opération.
    Quelle est la probabilité que ce budget soit insuffisant ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui comprend cinq questions. Les
cinq questions sont indépendantes. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte, ni n’enlève
aucun point.

  1. La solution f de l’équation différentielle $y’ =-3y +7$ telle que $f (0) = 1$ est la fonction
    définie sur $\R$ par :
    A. $f(x)=\e^{-3x}$
    B. $f(x)=-\dfrac{4}{3}\e^{-3x}+\dfrac{7}{3}$
    C. $f(x)=\e^{-3x}+\dfrac{7}{3}$
    D. $f(x)=-\dfrac{10}{3}\e^{-3x}-\dfrac{7}{3}$
    $\quad$
  2. La courbe d’une fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ est donnée ci-dessous.
    $\quad$

    $\quad$
    Un encadrement de l’intégrale $I=\ds \int_1^5 f(x)\dx$ est :
    A. $0\pp I\pp 4$
    B. $1\pp I \pp 5$
    C. $5\pp I\pp 10$
    D. $10\pp I\pp 15$
    $\quad$
  3. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = x^2\ln\left(x^2+4\right)$.
    Alors $\ds \int_0^2 g'(x)\dx$ vaut, à $10^{-1}$ près :
    A. $4,9$
    B. $8,3$
    C. $1,7$
    D. $7,5$
    $\quad$
  4. Une professeure enseigne la spécialité mathématiques dans une classe de $31$ élèves
    de terminale.
    Elle veut former un groupe de $5$ élèves. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe de $5$ élèves ?
    A. $31^5$
    B. $31\times 30\times 29\times 28\times 27$
    C. $31+30+29+28+17$
    D. $\dbinom{31}{5}$
    $\quad$
  5. La professeure s’intéresse maintenant à l’autre spécialité des $31$ élèves de son groupe :
    $\bullet$ $10$ élèves ont choisi la spécialité physique-chimie;
    $\bullet$ $20$ élèves ont choisi la spécialité SES;
    $\bullet$ $1$ élève a choisi la spécialité LLCE espagnol.
    Elle veut former un groupe de $5$ élèves comportant exactement $3$ élèves ayant choisi
    la spécialité SES. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe ?
    A. $\dbinom{20}{3}\times \dbinom{11}{2}$
    B. $\dbinom{20}{3}+\dbinom{11}{2}$
    C. $\dbinom{20}{3}$
    D. $20^3\times 11^2$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     (6 points)

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$u_0 = 8 \text{ et pour tout entier naturel } n,~ u_{n+1}= u_n-\ln\left(\dfrac{u_n}{4}\right).$$

  1. a. Donner les valeurs arrondies au centième de $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
    b. On considère la fonction $\text{mystere}$ définie ci-dessous en Python. On admet que,
    pour tout réel strictement positif $\text{a}$, $\text{log(a)}$ renvoie la valeur du logarithme népérien de $\text{a}$.

    L’exécution de $\text{mystere(10)}$ renvoie $\text{58.44045206721732}$. Que représente ce résultat ?
    $\quad$
    c. Modifier la fonction précédente afin qu’elle renvoie la moyenne des $k$ premiers
    termes de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  2. On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[0 ; +\infty[$ par : $$f(x)=x-\ln\left(\dfrac{x}{4}\right)$$
    On donne ci-dessous une représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ pour les valeurs de $x$ comprises entre $0$ et $6$.
    $\quad$

    $\quad$
    Étudier les variations de $f$ sur $[0 ; +\infty[$ et dresser son tableau de variations.
    On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $[0 ; +\infty[$. Les limites ne sont pas demandées.
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, on remarquera que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$

  1. a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a : $$1\pp u_{n+1} \pp u_n$$
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite réelle.
    On note $\ell$ la valeur de cette limite.
    $\quad$
    c. Résoudre l’équation $f(x) = x$.
    $\quad$
    d. En déduire la valeur de $\ell$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     (5 points)

Une commune décide de remplacer le traditionnel feu d’artifice du 14 juillet par un spectacle de drones lumineux.

Pour le pilotage des drones, l’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$ dont l’unité est la centaine de mètres.

La position de chaque drone est modélisée par un point et chaque drone est envoyé d’un point de départ $D$ de coordonnées $(2 ; 5 ; 1)$.

On souhaite former avec des drones des figures en les positionnant dans un même plan $\mathcal{P}$.

Trois drones sont positionnés aux points $A(-1;-1; 17)$, $B(4 ;-2 ; 4)$ et $C(1 ;-3 ; 7)$.

  1. Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$

Dans la suite, on note $\mathcal{P}$ le plan $(ABC)$ et on considère le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$.

  1. a. Justifier que $\vec{n}$ est normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $2x-3y+z-18 = 0$.
    $\quad$
  2. Le pilote des drones décide d’envoyer un quatrième drone en prenant comme trajectoire la droite d dont une représentation paramétrique est donnée par : $$f~:~\begin{cases} x=3t+2\\y=t+5\\z=4t+1\end{cases}~~, \text{avec } t\in \R$$
    a. Déterminer un vecteur directeur de la droite $d$.
    $\quad$
    b. Afin que ce nouveau drone soit également placé dans le plan $\mathcal{P}$, déterminer par le calcul les coordonnées du point $E$, intersection de la droite $d$ avec le plan $\mathcal{P}$.
    $\quad$
  3. Le pilote des drones décide d’envoyer un cinquième drone le long de la droite $\Delta$ qui
    passe par le point $D$ et qui est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$. Ce cinquième drone est placé lui aussi dans le plan $\mathcal{P}$, soit à l’intersection entre la droite $\Delta$ et le plan $\mathcal{P}$. On admet que le point $F(6 ;-1 ; 3)$ correspond à cet emplacement.
    Démontrer que la distance entre le point de départ $D$ et le plan $\mathcal{P}$ vaut $2\sqrt{14}$ centaines de mètres.
    $\quad$
  4. L’organisatrice du spectacle demande au pilote d’envoyer un nouveau drone dans le plan (peu importe sa position dans le plan), toujours à partir du point $D$.
    Sachant qu’il reste $40$ secondes avant le début du spectacle et que le drone vole en trajectoire rectiligne à $18,6$ m.s$^{-1}$, le nouveau drone peut-il arriver à temps ?
    $\quad$

$\quad$