Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 1 – 18 mai 2022

Amérique du nord – 18 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant:
    $\quad$
    $\quad$
    b. $\left(V,\conj{V}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(R)&=P(R\cap V)+P\left(R\cap \conj{V}\right) \\
    &=P(V)\times P_V(R)+P\left(\conj{V}\right)\times P_{\conj{V}}(R)\\
    &=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{50}+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{10} \\
    &=\dfrac{7}{150}\end{align*}$
    La probabilité que Paul rate son train est égale à $\dfrac{7}{150}$.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_R(V)&=\dfrac{P(R\cap V)}{P(R)} \\
    &=\dfrac{~\dfrac{2}{150}~}{\dfrac{7}{150}} \\
    &=\dfrac{2}{7}\end{align*}$
    La probabilité que Paul ait pris son vélo pour rejoindre la gare sachant qu’il a raté son train est égale à $\dfrac{2}{7}$.
    $\quad$
  2. a. On répète $20$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli. $X$ compte le nombre de jours où Paul prend son vélo sur ces $20$ jours.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} P(X=10)&=\dbinom{20}{10}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{10}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{10} \\
    &\approx 0,054\end{align*}$
    La probabilité que Paul prenne son vélo exactement $10$ jours sur ces $20$ jours pour se rendre à la gare est environ égale à $0,054$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} P(X\pg 10)&=1-P(X\pp 9) \\
    &\approx 0,962\end{align*}$
    La probabilité que Paul prenne son vélo au moins $10$ jours sur ces $20$ jours pour se rendre à la gare est environ égale à $0,962$.
    d. L’espérance mathématique de $X$ est
    $\begin{align*} E(X)&=np\\
    &=20\times \dfrac{2}{3}\\
    &=\dfrac{40}{3}\end{align*}$
    En moyenne, sur un période choisie au hasard de $20$ jours, Paul prend son vélo environ $13$ jours pour se rendre à la gare.
    $\quad$
  3. L’espérance mathématique de $T$ est :
    $\begin{align*} E(T)&=10\times P(T=10)+11\times P(T=11)+\ldots+18\times P(T=18) \\
    &=13,5\end{align*}$
    En moyenne Paul met $13,5$ minutes pour se rendre à la gare en voiture.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on note $P(n):~T_n\pg 20$.
    Initialisation : $T_0=180\pg 20$ donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $\begin{align*} T_n\pg 20&\ssi 0,955T_n \pg 19,1 \\
    &\ssi 0,955T_n+0,9 \pg 20 \\
    &\ssi T_{n+1} \pg 20\end{align*}$
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$, $T_n\pg 20$.
    $\quad$
    b. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} T_{n+1}-T_n&=0,955T_n+0,9 -T_n \\
    &=-0,045T_n+0,9 \\
    &=-0,045\left(T_n-0,9\right)\end{align*}$
    $\quad$
    Pour tout $n\in \N$ on a $T_n\pg 20 \ssi T_n-20\pg 0$.
    Ainsi $T_{n+1}-T_n\pp 0$.
    Par conséquent $\left(T_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(T_n\right)$ est décroissante et minorée par $20$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
    $\quad$
  2. a. Soit $n\in \N$. $u_n=T_n-20\ssi T_n=u_n+20$
    $\begin{align*} u_{n+1}&=T_{n+1}-20 \\
    &=0,955T_n+0,9-20 \\
    &=0,955T_n-19,1\\
    &=0,955\left(u_n+20\right)-19,1 \\
    &=0,955u_n+19,1-19,1\\
    &=0,955u_n\end{align*}$
    Par conséquent, la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $0,955$ et de premier terme $u_0=160$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=160\times 0,955^n$.
    Donc $T_n=u_n+20=20+160\times 0,955^n$.
    $\quad$
    c. $-1<0,955<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,955^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} T_n=20$.
    $\quad$
    d.
    $\begin{align*} T_n\pp 120&\ssi 20+160\times 0,955^n \pp 120 \\
    &\ssi 160\times 0,955^n \pp 100 \\
    &\ssi 0,955^n \pp 0,625 \\
    &\ssi n\ln(0,955) \pp \ln(0,625) \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,625)}{\ln(0,955)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,625)}{\ln(0,955)} \approx 10,2$.
    L’ensemble solution de $T_n\pp 120$ est l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $11$.
    $\quad$
  3. a. La température au centre du gâteau va décroitre jusqu’à atteindre la température ambiante.
    Il était donc prévisible que $\lim\limits_{n\to +\infty} T_n=20$.
    $\quad$
    b. La fonction $\texttt{temp}$ renvoie le plus petit entier naturel $n$ tel que $T_n\pp x$.
    D’après la question 2.d. la commande $\texttt{temp(120)}$ renvoie $11$.
    Cela signifie que la température au centre du gâteau devient inférieure à $120$ degré Celsius au bout de $11$ minutes.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. $\vect{JK}\begin{pmatrix} -1\\2\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{JL}\begin{pmatrix} -4\\-2\\-3\end{pmatrix}$
    Donc
    $\begin{align*} \vect{JK}.\vect{JL}&=-1\times (-4)+2\times (-2)+0\times (-3) \\
    &=4-4\\
    &=0\end{align*}$
    Les vecteurs $\vect{JK}$ et $\vect{JL}$ sont donc orthogonaux. Le triangle $JKL$ est par conséquent rectangle en $J$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} JK&=\sqrt{(-1)^2+2^2+0^2} \\
    &=\sqrt{5}\end{align*}$
    $\begin{align*} JL&=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+(-3)^2} \\
    &=\sqrt{29}\end{align*}$
    L’aire du triangle $JKL$ est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{JK\times JL}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{5}\times \sqrt{29}}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{145}}{2} \text{ cm}^2\end{align*}$
    c. Dans le triangle $JKL$ rectangle en $J$ on a $\tan \widehat{JKL}=\dfrac{JL}{JK}$
    Soit $\tan \widehat{JKL}=\dfrac{\sqrt{29}}{\sqrt{5}}$
    Par conséquent $\widehat{JKL} \approx 67,5$°
    $\quad$
  2. a. D’une part :
    $\begin{align*}\vect{JK}.\vec{n}&=6\times (-1)+3\times 2+0\times (-10) \\
    &=-6+6\\
    &=0\end{align*}$
    D’autre part
    $\begin{align*}\vect{JL}.\vec{n}&=6\times (-4)+3\times (-2)+(-10)\times (-3)
    &=-24-6+30\\
    &=0\end{align*}$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteur non colinéaires (puisqu’orthogonaux) du plan $(JKL)$.
    $\vec{n}$ est par conséquent un vecteur normal au plan $(JKL)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(JKL)$ est donc de la forme $6x+3y-10z+d=0$.
    Le point $J(2;0;1)$ appartient au plan $(JKL)$.
    Par conséquent $12+0-10+d=0 \ssi d=-2$
    Une équation cartésienne du plan $(JKL)$ est $6x+3y-10z-2=0$.
    $\quad$
  3. a. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $\Delta$.
    Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc $\begin{cases} x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\end{cases} \qquad ,t\in \R$.
    $\quad$
    b. On résout le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\\6x+3y-10z-2=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\\6(10+6t)+3(9+3t)-10(-6-10t)-2=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\\60+36t+27+9t+60+100t-2=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\\145t+145=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases}t=-1\\ x=4\\y=6\\z=4\end{cases}\end{align*}$
    Ainsi $H$ a pour coordonnées $(4;6;4)$.
    $\quad$
    c. $\vect{HT}\begin{pmatrix} 6\\3\\-10\end{pmatrix}$
    Donc
    $\begin{align*} HT&=\sqrt{6^2+3^2+(-10)^2} \\
    &=\sqrt{145}\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times HT \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{145}{2}\times \sqrt{145}\\
    &=\dfrac{145}{6} \text{ cm}^3\end{align*}$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. Soit $x\in \R$
    $\begin{align*} 1-\dfrac{1-\e^x}{1+\e^x}&=\dfrac{1+\e^x-1+\e^x}{1+\e^x} \\
    &=\dfrac{2\e^x}{1+\e^x} \\
    &=\dfrac{2\e^x}{\e^x\left(\e^{-x}+1\right)} \\
    &=\dfrac{2}{1+\e^{-x}}\end{align*}$
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*} g(x)=\dfrac{1}{2} &\ssi \dfrac{\e^x}{\e^x+1}=\dfrac{1}{2} \\
    &\ssi 2\e^x=\e^x+1 \\
    &\ssi \e^x=1 \\
    &\ssi x=0\end{align*}$
    L’équation $g(x)=\dfrac{1}{2}$ admet une unique solution : $0$.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=2x\e^{-x}-x^2\e^{-x} \\
    &=\left(2x-x^2\right)\e^{-x} \\
    &=x(2-x)\e^{-x}\end{align*}$
    Si l’axe des abscisses est tangent à la courbe $C$ en $A\left(x_A;y_A\right)$ alors $f’\left(x_A\right)=0$.
    Or $f'(x)=0 \ssi x(2-x)=0$ car la fonction exponentielle est strictement positive.
    $x(2-x)=0 \ssi x=0$ ou $x=2$.
    Cependant $f(0)=0$ et $f(2)=4\e^{-2}\neq 0$. Le point de coordonnées $(0;0)$ appartient à l’axe des abscisses mais le point de coordonnées $\left(2;4\e^{-2}\right)$ n’appartient pas à cet axe.
    L’axe des abscisses est tangent à la courbe $C$ qu’en l’origine du repère.
    Affirmation 3 vraie
    $\quad$
  4. La fonction $h$ est deux fois dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions deux fois dérivables.
    Soit $x\in \R$
    $\begin{align*} h'(x)&=\e^x\left(1-x^2\right)-2x\e^x \\
    &=\e^x\left(-x^2-2x+1\right)\end{align*}$
    $\begin{align*} h\dsec(x)&=\e^x\left(-x^2-2x+1\right)+\e^{-x}(-2x-2)\\
    &=\e^x\left(-x^2-2x+1-2x-2\right) \\
    &=\e^x\left(-x^2-4x-1\right)\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $h\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x^2-4x-1$.
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est $\Delta=12>0$.
    Ainsi l’équation $-x^2-4x-1=0$ admet $2$ solutions distinctes et $h\dsec(x)$ change deux fois de signe en s’annulant.
    La courbe représentative de la fonction $h$ admet donc deux points d’inflexion.
    Affirmation 4 fausse
    $\quad$
  5. Soit $x>0$. $\dfrac{\e^x}{\e^x+x}=\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{\e^x}}$
    Or, par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{\e^x}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{1+\dfrac{x}{\e^x}}=1$
    Affirmation 5 fausse
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*} 1+\e^{2x}\pg 2\e^x &\ssi \left(\e^x\right)^2-2\e^x+1 \pg 0\\
    &\ssi \left(\e^x-1\right)^2 \pg 0\end{align*}$
    Cette dernière inégalité est vraie pour tout réel $x$.
    Affirmation 6 vraie
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     7 points

Thème : probabilités

Chaque chaque jour où il travaille, Paul doit se rendre à la gare pour rejoindre son lieu de travail en train. Pour cela, il prend son vélo deux fois sur trois et, si il ne prend pas son vélo, il prend sa voiture.

  1. lorsqu’il prend son vélo pour rejoindre la gare, Paul ne rate le train qu’une fois sur $50$ alors que, lorsqu’il prend sa voiture pour rejoindre la gare Paul rate son train une fois sur $10$.
    On considère une journée au hasard lors de laquelle Paul sera à la gare pour prendre le train qui le conduira au travail.
    On note :
    • $V$ l’évènement « Paul prend son vélo pour rejoindre la gare »;
    • $R$ l’évènement « Paul rate son train ».
    a. Faire un arbre pondéré résumant la situation.
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité que Paul rate son train est égale à $\dfrac{7}{150}$.
    $\quad$
    c. Paul a raté son train. Déterminer la valeur exacte de la probabilité qu’il ait pris son vélo pour rejoindre la gare.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard un mois pendant lequel Paul s’est rendu $20$ jours à la gare pour rejoindre son lieu de travail selon les modalités décrites en préambule.
    On suppose que, pour chacun de ces $20$ jours, le choix entre le vélo et la voiture est indépendant des choix des autres jours.
    On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de jours où Paul prend son vélo sur ces $20$ jours.
    a. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres.
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo exactement 10 jours sur ces $20$ jours pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à $10^{-3}$.
    $\quad$
    c. Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo au moins $10$ jours sur ces $20$ jours pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à $10^{-3}$.
    $\quad$
    d. En moyenne, combien de jours sur une période choisie au hasard de $20$ jours pour se rendre à la gare, Paul prend-il son vélo ? On arrondira la réponse à l’entier.
    $\quad$
  3. Dans le cas où Paul se rend à la gare en voiture, on note $T$ la variable aléatoire donnant le temps de trajet nécessaire pour se rendre à la gare. La durée du trajet est donnée en minutes, arrondie à la minute. La loi de probabilité de $T$ est donnée par le tableau ci-dessous :
    $\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    k\text{ (en minutes)}&10&11&12&13&14&15&16&17&18\\
    \hline
    P(T=k)&0,14&0,13&0,13&0,12&0,12&0,11&0,10&0,08&0,07\\
    \hline
    \end{array}$
    Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $T$ et interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points

Thème : suites

Dans cet exercice, on considère la suite $\left(T_n\right)$ définie par :
$$T0 = 180 \text{ et, pour tout entier naturel }n,~ T_{n+1} = 0,955T_n +0,9$$

  1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $T_n > 20$.
    $\quad$
    b. Vérifier que pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1}-T_n = −0,045\left(T_n-20\right))$. En déduire le sens de
    variation de la suite $\left(T_n\right)$.
    $\quad$
    c. Conclure de ce qui précède que la suite $\left(T_n\right)$ est convergente. Justifier.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $u_n = T_n-20$.
    a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $T_n = 20+160×0,955^n$.
    $\quad$
    c. Calculer la limite de la suite $\left(T_n\right)$.
    $\quad$
    d. Résoudre l’inéquation $T_n\pp 120$ d’inconnue $n$ entier naturel.
    $\quad$
  3. Dans cette partie, on s’intéresse à l’évolution de la température au centre d’un gâteau après sa sortie du four.
    On considère qu’à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de $180$° C et celle de l’air ambiant de $20$° C.
    La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente $\left(T_n\right)$. Plus précisément, $T_n$ représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius, n minutes après sa sortie du four.
    a. Expliquer pourquoi la limite de la suite $\left(T_n\right)$ déterminée à la question 2. c. était prévisible dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
    b. On considère la fonction Python ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def temp(x):}\\
    \quad \text{T = 180} \\
    \quad \text{n = 0}\\
    \quad \text{while T > x:} \\
    \qquad \text{T = 0.955 * T + 0.9}\\
    \qquad \text{n = n + 1}\\
    \quad \text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Donner le résultat obtenu en exécutant la commande $\texttt{temp(120)}$.
    Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Thème : géométrie dans l’espace

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$ d’unité $1$ cm, on considère les points suivants :
$$J(2 ; 0 ; 1),~~ K(1 ; 2 ; 1) \text{ et } L(−2 ; −2 ; −2)$$

  1. a. Montrer que le triangle $JKL$ est rectangle en $J$.
    $\quad$
    b. Calculer la valeur exacte de l’aire du triangle $JKL$ en cm$^2$.
    $\quad$
    c. Déterminer une valeur approchée au dixième près de l’angle géométrique $\widehat{JKL}.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées$\begin{pmatrix}6\\3\\-10\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(JKL)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $(JKL)$.

$\quad$
Dans la suite, $T$ désigne le point de coordonnées $(10 ; 9 ; −6)$.

  1. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan $(JKL)$ et passant par $T$.
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $T$ sur le plan $(JKL)$.
    $\quad$
    c. On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V=\dfrac{1}{3}\mathscr{B}\times h \text{où $\mathscr{B}$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondante}$$
    Calculer la valeur exacte du volume du tétraèdre $JKLT$ en cm$^3$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

Thème : fonction exponentielle

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.

  1. Affirmation 1 : Pour tout réel $x$ : $1-\dfrac{1-\e^x}{1+\e^x}=\dfrac{2}{1+\e^{-x}}$.
    $\quad$
  2. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) =
    \dfrac{\e^x}{\e^x+1}$.
    Affirmation 2 : L’équation $g(x) = \dfrac{1}{2}$ admet une unique solution dans $\R$.
    $\quad$
  3. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2\e^{-x}$ et on note $\mathscr{C}$ sa courbe dans un repère orthonormé.
    Affirmation 3 : L’axe des abscisses est tangent à la courbe $\mathscr{C}$ en un seul point.
    $\quad$
  4. On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=\e^x\left(1-x^2\right)$.
    Affirmation 4 : Dans le plan muni d’un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction $h$ n’admet pas de point d’inflexion.
    $\quad$
  5. Affirmation 5 : $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x}{\e^x+x}=0$.
    $\quad$
  6. Affirmation 6 : Pour tout réel $x$, $1+\e^{2x}\pg 2\e^x$.
    $\quad$

$\quad$