Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 2 – 28 mars 2023

Amérique du Nord – 28 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. La fonction $f’$ semble être positive sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et négative sur $[0,3;2,5]$.
    Par conséquent $f$ semble croissante sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et décroissante sur $[0,3;2,5]$.
    $\quad$
  2. La fonction $f’$ semble strictement croissante sur $]-\infty;-1]$ et $[2;+\infty[$ et strictement décroissante sur $[-1;2]$.
    La fonction $f$ semble être convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. D’après la limite des termes de plus haut degré, $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2-5x+6=\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$.
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x^2\e^x-5x\e^x+6\e^x$.
    $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to -\infty} x\e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2\e^x=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=(2x-5)\e^x+\left(x^2-5x+6\right)\e^x \\
    &=\left(2x-5+x^2-5x+6\right)\e^x \\
    &=\left(x^2-3x+1\right)\e^x\end{align*}$.
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent $f'(x)$ est du même signe que $x^2-3x+1$.
    Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=5>0$.
    Ses racines sont donc $\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$.
    $\quad$
    De plus son coefficient principal est $1>0$.
    Par conséquent :
    $\bullet~f'(x)<0$ sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ ;
    $\bullet~f'(x)=0$ si $x\in \acco{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}$ ;
    $\bullet~f'(x)>0$ sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$ et strictement décroissante sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ .
    $\quad$
  4. Une équation de $(\mathscr{T})$ est $y=f'(0)x+f(0)$.
    Or $f(0)=6$ et $f'(0)=1$.
    Une équation de $(\mathscr{T})$ est donc $y=x+6$.
    $\quad$
  5. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent $f\dsec(x)$ est du signe de $(x+1)(x-2)$.
    $x+1=0\ssi x=-1$ et $x+1>0\ssi x>-1$
    $x-2=0\ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$.
    Par conséquent $f\dsec(x)<0 \ssi x\in ]-1;2[$.
    La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$ et convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$. Sa courbe représentative est donc située sous ses tangentes sur cet intervalle.
    Or $0$ appartient à $[-1;2]$.
    Par conséquent $f(x)\pp x+6$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $a_{n+1}=(1-0,15)a_n+0,1b_n$ soit $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $b_{n+1}=0,15a_n+(1-0,1)b_n$ soit $b_{n+1}=0,15a_n+0,9b_n$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} a_1&=0,85\times 1~700+0,1\times 1~300\\
    &=1~575\end{align*}$
    $\begin{align*} b_1&=0,15\times 1~700+0,9\times 1~300\\
    &=1~425\end{align*}$
    En 2024, le club A comptera $1~575$ membres et le club B $1~425$.
    $\quad$
  2. Durant l’étude aucun sportif ne quitte le groupe.
    Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $a_n+b_n=3~000$.
    $\quad$
  3. Pour tout $n\in \N$ on a $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $a_n+b_n=3~000$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,85a_n+0,1\left(3~000-a_n\right) \\
    &=0,85a_n+300-0,1a_n \\
    &=0,75a_n+300\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
    Initialisation : $a_0=1~700$ et $a_1=1~575$. Donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$
    donc
    $900\pp 0,75a_{n+1}\pp 0,75a_n\pp 1~275$
    Par conséquent $1~200 \pp 0,75a_{n+1}+300\pp 0,75a_n+300\pp 1~575$.
    Donc $1~200\pp a_{n+2} \pp a_{n+1} \pp 1~575\pp 1~700$.
    Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout $n\in \N$, $1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(a_n\right)$ est décroissante et minorée par $1~200$ ; elle converge donc.
    $\quad$
  5. a. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-1~200 \\
    &=0,75a_n+300-1~200\\
    &=0,75a_n-900 \\
    &=0,75\left(a_n-1~200\right) \\
    &=0,75v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_0=a_0-1~200$ soit $v_0=500$.
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N$ on a donc $v_n=500\times 0,75^n$.
    $\quad$
    c. Pour tout $n\in \N$ on a :
    $\begin{align*} a_n&=v_n+1~200 \\
    &=500\times 0,75^n+1~200\end{align*}$
    $\quad$
  6. a. $-1<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,75^n=0$. Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=1~200$.
    $\quad$
    b. Sur le long terme, le club A comptera ainsi $1~200$ membres.
    $\quad$
  7. a. On peut écrire
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \texttt{def seuil() :}\\
    \hspace{0.8cm} \texttt{n = 0}\\
    \hspace{0.8cm} \texttt{A = 1700}\\
    \hspace{0.8cm} \texttt{while A >= 1280 :}\\
    \hspace{1.6cm} \texttt{n = n + 1}\\
    \hspace{1.6cm} \texttt{A = 0.75 * A + 300}\\
    \hspace{0.8cm} \texttt{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} a_n< 1~280 &\ssi 500\times 0,75^n+1200< 1~280 \\
    &\ssi 500\times 0,75^n< 80 \\
    &\ssi 0,75^n < 0,16\\
    &\ssi n\ln(0,75)<\ln(0,16) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \qquad \text{(car $\ln(0,75)<0$)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \approx 6,4$.
    Ainsi l’appel de la fonction $\texttt{seuil}$ renverra $7$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. $\vect{EF}\begin{pmatrix}-4\\4\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{FG}\begin{pmatrix} 4\\0\\-4\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même composante nulle.
    Ainsi les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. a. Une représentation paramétrique de la droite $(FG)$ est donc $$\begin{cases} x=-1+4t\\y=2\\z=1-4t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
    $\quad$
    b. $-1+4t=2\ssi 4t=3\ssi t=\dfrac{3}{4}$
    $4t-1=-2 \ssi -1+4t=2\ssi t=\dfrac{3}{4}$
    Donc en prenant $t=\dfrac{3}{4}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(FG)$ on retrouve les coordonnées de point $H$.
    De plus $\vect{EH}\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}$.
    Ainsi $\vect{EH}.\vect{FG}=-4+0+4=0$.
    Les droites $(EH)$ et $(FG)$ sont perpendiculaires en $H$.
    $H$ est le projeté orthogonal du point $E$ sur la droite $(FG)$.
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} FG&=\sqrt{4^2+0+(-4)^2} \\
    &=\sqrt{32} \\
    &=4\sqrt{2}\end{align*}$
    $\begin{align*} EH&=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2} \\
    &=\sqrt{18} \\
    &=3\sqrt{2}\end{align*}$
    L’aire du triangle $EFG$ est donc égale à :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{EH\times FG}{2} \\
    &=\dfrac{4\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}}{2} \\
    &=12 \text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. $\vec{n}.\vect{EF}=-8+4+4=0$
    $\vec{n}.\vect{FG}=8+0-8=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EFG)$.
    Il est donc normal au plan $(EFG)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est de la forme $2x+y+2z+d=0$.
    $E(3;-2;-1)$ appartient à ce plan.
    Ainsi $6-2-2+d=0 \ssi d=-2$.
    Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est donc $2x+y+2z-2=0$.
    $\quad$
    c. Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est donc $$\begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\end{cases} \qquad \forall k\in \R$$
    $\quad$
    d. On résout le système :
    $\begin{align*} \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\2x+y+2z-2=0\end{cases}&\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\6+4k+1+k+10+4k-2=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\9k=-15\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}k=-\dfrac{5}{3}\\[2mm]x=-\dfrac{1}{3}\\[2mm]y=-\dfrac{2}{3}\\[2mm]z=\dfrac{5}{3}\end{cases}\end{align*}$
    Donc $K$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
    $\quad$
  4. a. $\vect{DK}\begin{pmatrix}-\dfrac{10}{3}\\[2mm]-\dfrac{5}{3}\\[2mm]-\dfrac{10}{3}\end{pmatrix}$
    $\begin{align*} DK&=\sqrt{\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{100}{9}+\dfrac{25}{9}+\dfrac{100}{9}} \\
    &=\sqrt{25} \\
    &=5 \text{ cm}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le volume du tétraèdre $DEFG$ est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times DK \\
    &=\dfrac{1}{3}\times 12\times 5 \\
    &=20\text{ cm}^3\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. Pour tout réel $x>1$ on a $f(x)=0,05-\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{x}{x-1}$.
    D’après la limite des termes de plus haut degré $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x-1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x}=1$.
    Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0,05$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. La fonction $h$ est continue sur l’intervalle $[-2;4]$ et donc également sur l’intervalle $[1;3]$.
    $h(1)=4>0$ et $h(3)=-1<0$.
    D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $h(x)=0$ admet au moins une solution sur l’intervalle $[1;3]$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$. Il existe donc un entier naturel $N$ tel que, pour tout $n\pg N$, on ait $u_n\pg 1$.
    Par conséquent, pour tout $n\pg N$ : $0\pp \dfrac{1}{u_n} \pp 1$ et $0\pp \dfrac{v_n}{u_n}\pp v_n$.
    $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0$.
    D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{v_n}{u_n}=0$.
    Réponse b
    $\quad$
  4. On considère la variable aléatoire $X$ égale au gain algébrique du joueur.
    $P(X=8)=\dfrac{1}{6}$ (s’il obtient $1$)
    $P(X=-1)=\dfrac{1}{2}$ (s’il obtient un nombre pair)
    $P(X=-4)=\dfrac{1}{3}$ (sinon)
    L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=8\times \dfrac{1}{6}-1\times \dfrac{1}{2}-4\times \dfrac{1}{3} \\
    &=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} P(X=0)=\dfrac{1}{125}&\ssi (1-p)^3=\dfrac{1}{125} \\
    &\ssi 1-p=\dfrac{1}{5} \\
    &\ssi p=\dfrac{4}{5}\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$

 

 

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     5 points

Partie A

Le plan est muni d’un repère orthogonal.

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f’$ sa fonction dérivée. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$.

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$. Aucune justification n’est demandée.

  1. Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$. On utilisera des valeurs approchées si besoin.
    $\quad$
  2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble être convexe.
    $\quad$

Partie B

On admet que la fonction $f$ de la partie A est définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^{2}-5 x + 6\right) \e^{x}$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.

  1. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout réel $x$, on a $f'(x)=\left(x^{2}-3 x+1\right) \e^{x}$.
    $\quad$
  3. En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. Déterminer l’équation réduite de la tangente $(\mathcal{T})$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$. On note $f”$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. On admet que, pour tout réel $x$, on a $f”(x) = (x+1)(x- 2) \e^{x}$.

  1. a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[-1~;~2]$, on a $f(x) \pp x + 6$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

On étudie un groupe de $3~000$ sportifs qui pratiquent soit l’athlétisme dans le club A, soit le basketball dans le club B.

En 2023, le club A compte $1~700$ membres et le club B en compte $1~300$.

On décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement par deux suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$, où $n$ désigne le rang de l’année à partir de 2023.
L’année 2023 correspond au rang $0$. On a alors $a_{0}= 1~700$ et $b_{0} = 1~300$.

Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes :

  • durant l’étude, aucun sportif ne quitte le groupe ;
  • chaque année, $15\%$ des sportifs du club A quittent le club et adhèrent au club B ;
  • chaque année, $10\%$ des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club $A$.
  1. Calculer les nombres de membres de chaque club en 2024.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, déterminer une relation liant $a_{n}$ et $b_{n}$.
    $\quad$
  3. Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)$ vérifie la relation suivante pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n+1}= 0,75 a_{n} + 300$
    $\quad$
  4. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $$1~200 \pp a_{n+1} \pp a_{n} \pp 1~700$$
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(a_{n}\right)$ converge.
    $\quad$
  5. Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=a_{n}- 1~200$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n, a_{n}= 500 \times 0,75^{n}+ 1~200$.
    $\quad$
  6. a. Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.
    $\quad$
    b. Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  7. a. Recopier et compléter le programme Python ci-dessous afin qu’il renvoie la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle le nombre de membres du club A est strictement inférieur à $1~280$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \textbf{def }\text{seuil() :}\\
    \quad\text{n = 0}\\
    \quad \text{A = 1700}\\
    \quad \textbf{while} \text{ … :}\\
    \qquad \text{n = n + 1} \phantom{123456789}\\
    \qquad \text{A = …}\\
    \quad \textbf{return}\text{ …}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Déterminer la valeur renvoyée lorsqu’on appelle la fonction $\text{seuil}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé d’unité $1$ cm, on considère les points $$D(3;1;5) \qquad E(3;-2;-1) \qquad F(-1;2;1) \qquad G(3;2;-3)$$

  1. a. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{EF}$ et $\vect{FG}$.
    $\quad$
    b. Justifier que les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(FG)$.
    $\quad$
    b. On appelle $H$ le point de coordonnées $(2;2;-2)$.
    Vérifier que $H$ est le projeté orthogonal de $E$ sur la droite $(FG)$ .
    $\quad$
    c. Montrer que l’aire du triangle $EFG$ est égale à  $12$ cm$^{2}$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(EFG)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(EFG)$.
    $\quad$
    c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $D$ et orthogonale au plan $(EFG)$.
    $\quad$
    d. On note $K$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(EFG)$.
    À l’aide des questions précédentes, calculer les coordonnées du point $K$.
    $\quad$
  4. a. Vérifier que la distance $DK$ est égale à $5$ cm.
    $\quad$
    b. En déduire le volume du tétraèdre $DEFG$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Les cinq questions sont indépendantes.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]1~;+\infty[$ par $f(x)= 0,05-\dfrac{\ln x}{x- 1}$.
    La limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à :
    a. $+\infty$
    b. $0,05$
    c. $-\infty$
    d. $0$
    $\quad$
  2. On considère une fonction $h$ continue sur l’intervalle $[-2 ; 4]$ telle que : $$h(-1)=0, \qquad h(1) = 4, \qquad h(3) = -1$$
    On peut affirmer que :
    a. la fonction $h$ est croissante sur l’intervalle $[-1~;~1]$.
    b. la fonction $h$ est positive sur l’intervalle $[-1~;~1]$.
    c. il existe au moins un nombre réel $a$ dans l’intervalle $[1;3]$ tel que $h(a) = 1$.
    d. l’équation $h(x)=1$ admet exactement deux solutions dans l’intervalle $[-2;4]$.
    $\quad$
  3. On considère deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ à termes strictement positifs telles que $\lim\limits_{n \to+\infty} u_{n}=+\infty$ et $\left(v_{n}\right)$ converge vers $0$.
    On peut affirmer que :
    a. la suite $\left(\dfrac{1}{v_{n}}\right)$ converge.
    b. la suite $\left(\dfrac{v_{n}}{u_{n}}\right)$ converge.
    c. la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
    d. $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-u_{n}\right)^{n}=-\infty$
    $\quad$
  4. Pour participer à un jeu, un joueur doit payer $4$ €.
    Il lance ensuite un dé équilibré à six faces :
    $\bullet$ s’il obtient $1$, il remporte $12$ €;
    $\bullet$ s’il obtient un nombre pair, il remporte $3$ €;
    $\bullet$ sinon, il ne remporte rien.
    En moyenne, le joueur :
    a. gagne $3,50$ €.
    b. perd $3$ €.
    c. perd $1,50$ €.
    d. perd $0,50$ €.
    $\quad$
  5. On considère la variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;~p)$.
    On sait que $P(X = 0) = \dfrac{1}{125}$. On peut affirmer que :
    a. $p = \dfrac{1}{5}$
    b. $P(X = 1) =\dfrac{124}{125}$
    c. $p = \dfrac{4}{5}$
    d. $P(X= 1) =\dfrac{4}{5}$
    $\quad$

$\quad$