Exercice 1

Partie A

1. La fonction $f’$ semble être positive sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et négative sur $[0,3;2,5]$.
   Par conséquent $f$ semble croissante sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et décroissante sur $[0,3;2,5]$.
   $\quad$
2. La fonction $f’$ semble strictement croissante sur $]-\infty;-1]$ et $[2;+\infty[$ et strictement décroissante sur $[-1;2]$.
   La fonction $f$ semble être convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
   $\quad$

Partie B

1. a. D’après la limite des termes de plus haut degré, $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2-5x+6=\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$.
   De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
   $\quad$
   b. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x^2\e^x-5x\e^x+6\e^x$.
   $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2\e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2\e^x=0$.
   Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$.
   $\quad$
2. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=(2x-5)\e^x+\left(x^2-5x+6\right)\e^x \\
   &=\left(2x-5+x^2-5x+6\right)\e^x \\
   &=\left(x^2-3x+1\right)\e^x\end{align*}$.
   $\quad$
3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Par conséquent $f'(x)$ est du même signe que $x^2-3x+1$.
   Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=5>0$.
   Ses racines sont donc $\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$.
   $\quad$
   De plus son coefficient principal est $1>0$.
   Par conséquent :
   $\bullet~f'(x)<0$ sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ ;
   $\bullet~f'(x)=0$ si $x\in \acco{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}$ ;
   $\bullet~f'(x)>0$ sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$.
   La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$ et strictement décroissante sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ .
   $\quad$
4. Une équation de $(\mathscr{T})$ est $y=f'(0)x+f(0)$.
   Or $f(0)=6$ et $f'(0)=1$.
   Une équation de $(\mathscr{T})$ est donc $y=x+6$.
   $\quad$
5. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
   Par conséquent $f\dsec(x)$ est du signe de $(x+1)(x-2)$.
   $x+1=0\ssi x=-1$ et $x+1>0\ssi x>-1$
   $x-2=0\ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$.
   Par conséquent $f\dsec(x)<0 \ssi x\in ]-1;2[$.
   La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$ et convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
   $\quad$
   b. La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$. Sa courbe représentative est donc située sous ses tangentes sur cet intervalle.
   Or $0$ appartient à $[-1;2]$.
   Par conséquent $f(x)\pp x+6$.
   $\quad$

Exercice 2

1. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $a_{n+1}=(1-0,15)a_n+0,1b_n$ soit $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $b_{n+1}=0,15a_n+(1-0,1)b_n$ soit $b_{n+1}=0,15a_n+0,9b_n$.
   Par conséquent
   $\begin{align*} a_1&=0,85\times 1~700+0,1\times 1~300\\
   &=1~575\end{align*}$
   $\begin{align*} b_1&=0,15\times 1~700+0,9\times 1~300\\
   &=1~425\end{align*}$
   En 2024, le club A comptera $1~575$ membres et le club B $1~425$.
   $\quad$
2. Durant l’étude aucun sportif ne quitte le groupe.
   Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $a_n+b_n=3~000$.
   $\quad$
3. Pour tout $n\in \N$ on a $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $a_n+b_n=3~000$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} a_{n+1}&=0,85a_n+0,1\left(3~000-a_n\right) \\
   &=0,85a_n+300-0,1a_n \\
   &=0,75a_n+300\end{align*}$
   $\quad$
4. a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
   Initialisation : $a_0=1~700$ et $a_1=1~575$. Donc $P(0)$ est vraie.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
   $1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$
   donc
   $900\pp 0,75a_{n+1}\pp 0,75a_n\pp 1~275$
   Par conséquent $1~200 \pp 0,75a_{n+1}+300\pp 0,75a_n+300\pp 1~575$.
   Donc $1~200\pp a_{n+2} \pp a_{n+1} \pp 1~575\pp 1~700$.
   Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Pour tout $n\in \N$, $1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
   $\quad$
   b. La suite $\left(a_n\right)$ est décroissante et minorée par $1~200$ ; elle converge donc.
   $\quad$
5. a. Soit $n\in \N$.
   $\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-1~200 \\
   &=0,75a_n+300-1~200\\
   &=0,75a_n-900 \\
   &=0,75\left(a_n-1~200\right) \\
   &=0,75v_n\end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_0=a_0-1~200$ soit $v_0=500$.
   $\quad$
   b. Pour tout $n\in \N$ on a donc $v_n=500\times 0,75^n$.
   $\quad$
   c. Pour tout $n\in \N$ on a :
   $\begin{align*} a_n&=v_n+1~200 \\
   &=500\times 0,75^n+1~200\end{align*}$
   $\quad$
6. a. $0<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,75^n=0$. Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=1~200$.
   $\quad$
   b. Sur le long terme, le club A comptera ainsi $1~200$ membres.
   $\quad$
7. a. On peut écrire
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   \texttt{def seuil() :}\\
   \hspace{0.8cm} \texttt{n = 0}\\
   \hspace{0.8cm} \texttt{A = 1700}\\
   \hspace{0.8cm} \texttt{while A >= 1280 :}\\
   \hspace{1.6cm} \texttt{n = n + 1}\\
   \hspace{1.6cm} \texttt{A = 0.75 * A + 300}\\
   \hspace{0.8cm} \texttt{return A}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
   $\begin{align*} a_n< 1~280 &\ssi 500\times 0,75^n+1200< 1~280 \\
   &\ssi 500\times 0,75^n< 80 \\
   &\ssi 0,75^n < 0,16\\
   &\ssi n\ln(0,75)<\ln(0,16) \\
   &\ssi n>\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \qquad \text{(car $\ln(0,75)<0$)}\end{align*}$
   Or $\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \approx 6,4$.
   Ainsi l’appel de la fonction $\texttt{seuil}$ renverra $7$.
   $\quad$

Exercice 3

1. a. $\vect{EF}\begin{pmatrix}-4\\4\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{FG}\begin{pmatrix} 4\\0\\-4\end{pmatrix}$
   $\quad$
   b. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même composante nulle.
   Ainsi les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
   $\quad$
2. a. Une représentation paramétrique de la droite $(FG)$ est donc $$\begin{cases} x=-1+4t\\y=2\\z=1-4t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
   $\quad$
   b. $-1+4t=2\ssi 4t=3\ssi t=\dfrac{3}{4}$
   $4t-1=-2 \ssi -1+4t=2\ssi t=\dfrac{3}{4}$
   Donc en prenant $t=\dfrac{3}{4}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(FG)$ on retrouve les coordonnées de point $H$.
   De plus $\vect{EH}\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}$.
   Ainsi $\vect{EH}.\vect{FG}=-4+0+4=0$.
   Les droites $(EH)$ et $(FG)$ sont perpendiculaires en $H$.
   $H$ est le projeté orthogonal du point $E$ sur la droite $(FG)$.
   $\quad$
   c. On a :
   $\begin{align*} FG&=\sqrt{4^2+0+(-4)^2} \\
   &=\sqrt{32} \\
   &=4\sqrt{2}\end{align*}$
   $\begin{align*} EH&=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2} \\
   &=\sqrt{18} \\
   &=3\sqrt{2}\end{align*}$
   L’aire du triangle $EFG$ est donc égale à :
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{EH\times FG}{2} \\
   &=\dfrac{4\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}}{2} \\
   &=12 \text{ cm}^2\end{align*}$
   $\quad$
3. a. $\vec{n}.\vect{EF}=-8+4+4=0$
   $\vec{n}.\vect{FG}=8+0-8=0$
   Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EFG)$.
   Il est donc normal au plan $(EFG)$.
   $\quad$
   b. Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est de la forme $2x+y+2z+d=0$.
   $E(3;-2;-1)$ appartient à ce plan.
   Ainsi $6-2-2+d=0 \ssi d=-2$.
   Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est donc $2x+y+2z-2=0$.
   $\quad$
   c. Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est donc $$\begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\end{cases} \qquad \forall k\in \R$$
   $\quad$
   d. On résout le système :
   $\begin{align*} \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\2x+y+2z-2=0\end{cases}&\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\6+4k+1+k+10+4k-2=0\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\9k=-15\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases}k=-\dfrac{5}{3}\\[2mm]x=-\dfrac{1}{3}\\[2mm]y=-\dfrac{2}{3}\\[2mm]z=\dfrac{5}{3}\end{cases}\end{align*}$
   Donc $K$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
   $\quad$
4. a. $\vect{DK}\begin{pmatrix}-\dfrac{10}{3}\\[2mm]-\dfrac{5}{3}\\[2mm]-\dfrac{10}{3}\end{pmatrix}$
   $\begin{align*} DK&=\sqrt{\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2} \\
   &=\sqrt{\dfrac{100}{9}+\dfrac{25}{9}+\dfrac{100}{9}} \\
   &=\sqrt{25} \\
   &=5 \text{ cm}\end{align*}$
   $\quad$
   b. Le volume du tétraèdre $DEFG$ est :
   $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times DK \\
   &=\dfrac{1}{3}\times 12\times 5 \\
   &=20\text{ cm}^3\end{align*}$
   $\quad$

Exercice 4

1. Pour tout réel $x>1$ on a $f(x)=0,05-\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{x}{x-1}$.
   D’après la limite des termes de plus haut degré $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x-1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x}=1$.
   Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
   Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0,05$.
   Réponse b
   $\quad$
2. La fonction $h$ est continue sur l’intervalle $[-2;4]$ et donc également sur l’intervalle $[1;3]$.
   $h(1)=4>0$ et $h(3)=-1<0$.
   D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $h(x)=0$ admet au moins une solution sur l’intervalle $[1;3]$.
   Réponse c
   $\quad$
3. $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$. Il existe donc un entier naturel $N$ tel que, pour tout $n\pg N$, on ait $u_n\pg 1$.
   Par conséquent, pour tout $n\pg N$ : $0\pp \dfrac{1}{u_n} \pp 1$ et $0\pp \dfrac{v_n}{u_n}\pp v_n$.
   $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0$.
   D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{v_n}{u_n}=0$.
   Réponse b
   $\quad$
4. On considère la variable aléatoire $X$ égale au gain algébrique du joueur.
   $P(X=8)=\dfrac{1}{6}$ (s’il obtient $1$)
   $P(X=-1)=\dfrac{1}{2}$ (s’il obtient un nombre pair)
   $P(X=-4)=\dfrac{1}{3}$ (sinon)
   L’espérance de $X$ est :
   $\begin{align*} E(X)&=8\times \dfrac{1}{6}-1\times \dfrac{1}{2}-4\times \dfrac{1}{3} \\
   &=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$
   Réponse d
   $\quad$
5. $\quad$
   $\begin{align*} P(X=0)=\dfrac{1}{125}&\ssi (1-p)^3=\dfrac{1}{125} \\
   &\ssi 1-p=\dfrac{1}{5} \\
   &\ssi p=\dfrac{4}{5}\end{align*}$
   Réponse c
   $\quad$

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