Exercice 1

Partie A

1. a. $u_1=0,9\times 400+60=420$ et $u_2=0,9\times 420+60=438$.
   $\quad$
   b. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit strictement croissante.
   $\quad$
2. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 600$.
   Initialisation : $u_0=400$ et $u_1=420$ donc $0\pp u_0\pp u_1\pp 600$ et $P(0)$ est vraie.
   $\quad$
   Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
   $\begin{align*} 0\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 600&\ssi 0\pp 0,9u_n \pp 0,9u_{n+1} \pp 540 \\
   &\ssi 60 \pp 0,9u_n+60\pp 0,9u_{n+1}+60 \pp 600 \\
   &\ssi 60\pp u_{n+1}\pp u_{n+2}\pp 600\end{align*}$
   Par conséquent $0\pp u_{n+1}\pp u_{n+2} \pp 600$ et $P(n+1)$ est vraie.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 600$.
   $\quad$
3. a. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $600$; elle converge donc vers un réel $\ell$.
   $\quad$
   b. La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=0,9x+60$ est continue sur $\R$ en tant que fonction affine.
   Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
   $\ell$ est donc solution de l’équation $f(x)=x$.
   $\begin{align*} f(x)=x&\ssi x=0,9x+60 \\
   &\ssi 0,1x=60 \\
   &\ssi x=600\end{align*}$.
   Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=600$.
   $\quad$
4. La fonction $\texttt{mystere}$ renvoie le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n$ est supérieur à la valeur saisie en paramètre.
   $\texttt{mystere(500)}$ renvoie donc $7$ car $u_6\approx 493,7<500$ et $u_7\approx 504,3>500$.
   $\quad$

Partie B

Si on appelle, pour l’année $2023+n$, $u_n$ le nombre d’arbres plantés dans le verger on a alors, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=(1-0,1)u_n+60$ soit $u_{n+1}=0,9u_n+60$.
On retrouve ainsi la suite définie dans la partie précédente.
On a vu que cette suite est croissante et converge vers $600$.
D’après la question 4., en 2030, l’arboriculteur aura plus de $500$ arbres et sera confronté à un problème de place dans son verger.
$\quad$

 

 

Exercice 2

1. $\vect{MN}\begin{pmatrix} -1\\-\dfrac{1}{2}\\[2mm]\dfrac{1}{4}\end{pmatrix}$ et $\vect{MP}\begin{pmatrix}0\\-1\\-2\end{pmatrix}$
   $\quad$
2. On obtient la figure suivante :
   $\quad$
   
   $\quad$
3. Les vecteurs $\vect{MN}$ et $\vect{MP}$ n’ont pas la même composante nulle. Ils ne sont donc pas colinéaires et les points $M$, $N$ et $P$ ne sont pas alignés.
   $\quad$
4. a. $\vect{MP}.\vect{MN}=0+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0$. Les deux vecteurs sont orthogonaux.
   Par conséquent, le triangle $MNP$ est rectangle en $M$.
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*} MN&=\sqrt{(-1)^2+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{4}\right)^2} \\
   &=\sqrt{1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}} \\
   &=\sqrt{\dfrac{21}{16}} \\
   &=\dfrac{\sqrt{21}}{4}\end{align*}$
   $\quad$
   $\begin{align*} MP&=\sqrt{(0+(-1)^2+(-2)^2}\\
   &=\sqrt{5}\end{align*}$
   Ainsi l’aire du triangle $MNP$ rectangle en $M$ est :
   $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{MN\times MP}{2} \\
   &=\dfrac{\dfrac{\sqrt{21}}{4}\times \sqrt{5}}{2} \\
   &=\dfrac{\sqrt{105}}{8}\end{align*}$
   $\quad$
5. a. $\vec{n}.\vect{MN}=-5+4+1=0$ et $\vect{MP}.\vec{n}=0+8-8=0$.
   Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(MNP)$.
   Par conséquent $\vec{n}$ est normal au plan $(MNP)$.
   $\quad$
   b. Une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est donc de la forme $5x-8y+4z+d=0$.
   Le point $N\left(0;\dfrac{1}{2};1\right)$ appartient à ce plan.
   Ainsi $0-4+4+d=0 \ssi d=0$.
   Une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est donc $5x-8y+4z=0$.
   $\quad$
6. Une représentation paramétrique de la droite $d$ est $$\begin{cases} x=1+5t\\y=-8t\\z=1+4t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
   $\quad$
7. On résout le système :
   $\begin{align*} \begin{cases} x=1+5t\\y=-8t\\z=1+4t\\5x-8y+4z=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1+5t\\y=-8t\\z=1+4t\\5+25t+64t+4+16t=0\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} x=1+5t\\y=-8t\\z=1+4t\\9+105t=0\end{cases} \\
   &\ssi \begin{cases} t=-\dfrac{9}{105}\\[2mm]x=1+5t\\y=-8t\\z=1+4t\end{cases}
   &\ssi \begin{cases} t=-\dfrac{3}{35}\\[2mm]x=\dfrac{4}{7}\\[2mm]y=\dfrac{24}{35}\\[2mm]z=\dfrac{23}{35}\end{cases}\end{align*}$
   Donc $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4}{7};\dfrac{24}{35};\dfrac{23}{35}\right)$.
   $\quad$
8. On a $\vect{FL}\begin{pmatrix} -\dfrac{3}{7}\\[2mm]\dfrac{24}{35}\\[2mm]-\dfrac{12}{35}\end{pmatrix}$.
   Par conséquent :
   $\begin{align*} FL&=\sqrt{\left(-\dfrac{3}{7}\right)^2+\left(\dfrac{24}{35}\right)^2+\left(-\dfrac{12}{35}\right)^2 } \\
   &=\sqrt{\dfrac{9}{49}+\dfrac{576}{1~225}+\dfrac{144}{1~225}}\\
   &=\sqrt{\dfrac{27}{35}}\\
   &=\dfrac{3\sqrt{105}}{35}\end{align*}$
   $\quad$
   Par conséquent :
   $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times FL\\
   &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{105}}{8}\times \dfrac{3\sqrt{105}}{35} \\
   &=\dfrac{3}{8}\end{align*}$

 

 

Exercice 3

1. Graphiquement, l’équation $\ln(x)=x$ ne semble pas admettre de solution et l’équation $f(x)=0,2x$ semble admettre deux solutions.
   $\quad$
2. a. Pour tout $x>0$ on a
   $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{x}-1 \\
   &=\dfrac{1-x}{x}\end{align*}$
   $\quad$
   b. $1-x=0\ssi x=1$ et $1-x>0 \ssi -x>-1 \ssi x<1$.
   On obtient donc le tableau de variations suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
   La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
   $\quad$
   c. La fonction $f$ admet donc en $1$ un maximum qui vaut $-1$.
   Par conséquent, pour tout réel $x>0$, on a $f(x)\pp -1<0$.
   Ainsi, pour tout réel $x>0$, on a $\ln(x)<x$.
   L’équation $\ln(x)=x$ n’admet, par conséquent, aucune solution.
   $\quad$
3. a.
   $\bullet$ Si $g\left(\dfrac{1}{k}\right)<0$ alors, pour tout réel $x>0$ on a $g(x)<0$ et l’équation $g(x)=0$ n’admet aucune solution.
   $\quad$
   $\bullet$ Si $g\left(\dfrac{1}{k}\right)=0$. La fonction est strictement croissante sur $\left]0;\dfrac{1}{k}\right[$ et strictement décroissante sur $\left]\dfrac{1}{k};+\infty\right[$.
   Par conséquent, pour tout réel $x$ strictement positif différent de $\dfrac{1}{k}$, on a $g(x)<g\left(\dfrac{1}{k}\right)$ soit $g(x)<0$.
   L’équation $g(x)=0$ admet alors une unique solution $\dfrac{1}{k}$.
   $\quad$
   $\bullet$ Si $g\left(\dfrac{1}{k}\right)>0$. La fonction $g$ est continue (en tant que somme de fonctions continues) et strictement croissante sur $\left]0;\dfrac{1}{k}\right]$.
   $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=-\infty$ et $g\left(\dfrac{1}{k}\right)>0$.
   D’après le théorème de la bijection, l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $\left]0;\dfrac{1}{k}\right]$.
   La fonction $g$ est continue (en tant que somme de fonctions continues) et strictement décroissante sur $\left[\dfrac{1}{k};+\infty\right[$.
   $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$ et $g\left(\dfrac{1}{k}\right)>0$.
   D’après le théorème de la bijection, l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $\left[\dfrac{1}{k};+\infty\right[$.
   Finalement, l’équation $g(x)=0$ admet deux solutions.
   $\quad$
   b.
   $\begin{align*} g\left(\dfrac{1}{k}\right)&=\ln\left(\dfrac{1}{k}\right)-k\times \dfrac{1}{k} \\
   &=-\ln(k)-1\end{align*}$
   $\quad$
   c.
   $\begin{align*} g\left(\dfrac{1}{k}\right)>0 &\ssi-\ln(k)-1>0 \\
   &\ssi -\ln(k)>1 \\
   &\ssi \ln(k)<-1\end{align*}$
   $\quad$
   d. $\ln(k)<-1 \ssi k<\e^{-1}$.
   D’après les questions 3.a. et 3.c. l’équation $\ln(x)=kx$ admet exactement deux solutions si $k\in \left]0; \e^{-1}\right[$.
   $\quad$
   e. $g\left(\dfrac{1}{k}\right)=0 \ssi -\ln(k)-1=0 \ssi \ln(k)=-1\ssi k=\e^{-1}$.
   D’après les question 3.a. et 3.c :
   – $\ln(x)=kx$ n’admet aucune solution si $k>\e^{-1}$
   – $\ln(x)=kx$ admet une unique solution si $k=e^{-1}$
   – $\ln(x)=kx$ admet exactement deux solutions si $k\in \left]0;\e^{-1}\right[$.
   $\quad$

 

 

Exercice 4

1. Il y a $4$ billes bleues et $5$ billes vertes numérotées d’un nombre pair.
   Ainsi la probabilité cherchée est $\dfrac{5+4}{15}=\dfrac{9}{15}$
   Réponse B
   $\quad$
2. Il y a $10$ billes vertes et, parmi elles, une seule porte le numéro $7$.
   La probabilité cherchée est $\dfrac{1}{10}$.
   Réponse C
   $\quad$
3. L’événement $[G=5]$ ne se produit que si le joueur tire la bille bleue numérotée $5$ ou si le joueur tire la bille verte numérotée $15$. En effet, son gain algébrique est alors $3\times 5-10=5$ ou $10-15=5$.
   $P(G=5)=\dfrac{2}{15}$.
   Réponse B
   $\quad$
4. Si le joueur tire une bille rouge alors il ne remporte rien. Son gain algébrique est alors égal à $-10$.
   Donc $P_R(G=0)=0$.
   Réponse A
   $\quad$
5. Si $G=-4$ cela signifie que le joueur a soit tiré la bille verte numérotée $6$ soit tiré la bille bleue numérotée $2$.
   Ainsi $P_{(G=-4)}(V)=\dfrac{1}{2}$
   Réponse C
   $\quad$

 

 

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie.
Les candidates et les candidats sont invités à faire figurer sur leurs copies toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse.

Exercice 1     5 points

Partie A

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ définie par $u_0=400$ et pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=0,9u_n+60$.

1. a. Calculer $u_1$ et $u_2$.
   $\quad$
   b. Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$.
   $\quad$
2. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a l’inégalité $0\pp u_n\pp u_{n+1}\pp 600$.
   $\quad$
3. a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est convergente.
   $\quad$
   b. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$. Justifier.
   $\quad$
4. On donne une fonction écrite en langage Python :
   $$\begin{array}{|l|}
   \hline
   \textbf{def } \text{mystere(seuil):}\\
   \quad \text{n = 0}\\
   \quad \text{u = 400}\\
   \quad \textbf{while } \text{u <= seuil :}\\
   \qquad \text{n = n + 1}\\
   \qquad \text{u = 0.9 * u + 60}\\
   \quad \textbf{return }\text{n}\\
   \hline
   \end{array}$$
   Quelle valeur obtient-on en tapant dans la console de Python : $\text{mystere(500)}$ ?
   $\quad$

Partie B

Un arboriculteur possède un verger dans lequel il a la place de cultiver au maximum $500$ arbres. Chaque année il vend $10\%$ des arbres de son verger et puis il replante $60$ nouveaux arbres. Le verger compte $400$ arbres en 2023.

L’arboriculteur pense qu’il pourra continuer à vendre et à planter les arbres au même rythme pendant les années à venir.

Va-t-il être confronté à un problème de place dans son verger? Expliquer votre réponse.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

On considère le cube $ABCDEFGH$ qui est représenté en ANNEXE.

Dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB};\vect{AD};\vect{AE}\right)$, on considère les points $M$, $N$ et $P$ de coordonnées : $$M\left(1;1;\dfrac{3}{4}\right)~,~N\left(0;\dfrac{1}{2};1\right)~,~P\left(1;0;-\dfrac{5}{4}\right)$$

Dans cet exercice, on se propose de calculer le volume du tétraèdre $FMNP$.

1. Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{MN}$ et $\vect{MP}$.
   $\quad$
2. Placer les points $M$, $N$ et $P$ sur la figure donnée en ANNEXE qui sera à rendre avec la copie.
   $\quad$
3. Justifier que les points $M$, $N$ et $P$ ne sont pas alignés.
   Dès lors les trois points définissent le plan $(MNP)$.
   $\quad$
4. a. Calculer le produit scalaire $\vect{MN}.\vect{MP}$, puis en déduire la nature du triangle $MNP$.
   $\quad$
   b. Calculer l’aire du triangle $MNP$.
   $\quad$
5. a. Montrer que le vecteur $\vec{n}(5;-8;4)$ est un vecteur normal au plan $(MNP)$.
   $\quad$
   b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(MNP)$ est $5x-8y+4z=0$.
   $\quad$
6. On rappelle que le point $F$ a pour coordonnées $F(1;0;1)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ orthogonale au plan $(MNP)$ et passant par le point $F$.
   $\quad$
7. On note $L$ le projeté orthogonal du point $F$ sur le plan $(MNP)$.
   Montrer que les coordonnées du point $L$ sont $L\left(\dfrac{4}{7};\dfrac{24}{35};\dfrac{23}{35}\right)$.
   $\quad$
8. Montrer que $FL=\dfrac{3\sqrt{105}}{35}$ puis calculer le volume du tétraèdre $FMNP$.
   On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V=\dfrac{1}{3}\times \text{aire d’une base} \times \text{hauteur associée à cette base}$$
   $\quad$

ANNEXE

$\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Soit $k$ un réel strictement positif. Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de solutions de l’équation $\ln(x)=kx$ de paramètre $k$.

1. Conjectures graphiques :
   On a représenté, ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbe d’équation $y=\ln(x)$, la droite d’équation $y=x$ ainsi que la droite d’équation $y=0,2x$ :
   $\quad$
   
   $\quad$
   À partie du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l’équation $\ln(x)=kx$ pour $k=1$ puis pour $k=0,2$.
   $\quad$
2. Étude du cas $\boldsymbol{k=1}$ :
   On considère la fonction $f$, définie et dérivable sur $]0;+\infty[$, par $f(x)=\ln(x)-x$.
   On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
   a. Calculer $f'(x)$.
   $\quad$
   b. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
   Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ en y faisant figurer la valeur exacte des extrema s’il y en a. Les limites aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
   $\quad$
   c. En déduire le nombre de solutions de l’équation $\ln(x)=x$.
   $\quad$
3. Étude du cas général :
   $k$ est un nombre réel strictement positif. On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=\ln(x)-kx$.
   On admet que le tableau des variations de la fonction $g$ est le suivant :
   $\quad$
   
   $\quad$
   a. Donner, en fonction du signe de $g\left(\dfrac{1}{k}\right)$, le nombre de solutions de l’équation $g(x)=0$.
   $\quad$
   b. Calculer $g\left(\dfrac{1}{k}\right)$ en fonction du réel $k$.
   $\quad$
   c. Montrer que $g\left(\dfrac{1}{k}\right)>0$ équivaut à $\ln(k)<-1$.
   $\quad$
   d. Déterminer l’ensemble des valeurs de $k$ pour lesquelles l’équation $\ln(x)=kx$ possède exactement deux solutions.
   $\quad$
   e. Donner, selon les valeurs de $k$, le nombre de solutions de l’équation $\ln(x)=kx$.
   $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Pour chacune des cinq questions de cet exercice, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte, ni n’enlève de point.

Une urne contient $15$ billes indiscernables au toucher, numérotées de $1$ à $15$.
La bille numérotée $1$ est rouge.
Les billes numérotées $2$ à $5$ sont bleues.
Les autres billes sont vertes.

On choisit une bille au hasard dans l’urne.
On note $R$ (respectivement $B$ et $V$) l’événement : « La bille tirée est rouge » (respectivement bleue et verte).

Question 1 :

Quelle est la probabilité que la bille tirée soir bleue ou numérotée d’un nombre pair ?

Réponse A : $\dfrac{7}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse B : $\dfrac{9}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse C : $\dfrac{11}{10}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse D : Aucune des affirmations précédentes n’est juste.

$\quad$

Question 2 :

Sachant que la bille tirée est verte, quelle est la probabilité qu’elle soit numérotée $7$ ?

Réponse A : $\dfrac{1}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse B : $\dfrac{7}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse C : $\dfrac{1}{10}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse D : Aucune des affirmations précédentes n’est juste.

$\quad$

Un jeu est mis en place. Pour pouvoir joueur, le joueur paie la somme de $10$ euros appelée la mise.
Ce jeu consiste à tirer une bille au hasard dans l’urne.

• Si la bille tirée est bleue, le joueur remporte, en euro, trois fois le numéro de la bille.
• Si la bille tirée est verte, le joueur remporte, en euro, le numéro de la bille.
• Si la bille tirée est rouge, le joueur ne remporte rien.

On note $G$ la variable aléatoire qui donne le gain algébrique du joueur, c’est-à-dire la différence entre ce qu’il remporte et sa mise de départ.
Par exemple, si le joueur tire la bille bleue numérotée $3$, alors son gain algébrique est $-1$ euro.

Question 3 :

Que vaut $P(G=5)$ ?

Réponse A : $\dfrac{1}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse B : $\dfrac{2}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse C : $\dfrac{1}{3}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse D : Aucune des affirmations précédentes n’est juste.

$\quad$

Question 4 :

Quelle est la valeur de $P_R(G=0)$ ?

Réponse A : $0\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse B : $\dfrac{1}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse C : $1\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse D : Aucune des affirmations précédentes n’est juste.

$\quad$

Question 5 :

Que vaut $P_{[G=-4)}(V)$ ?

Réponse A : $\dfrac{1}{15} \phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse B : $\dfrac{4}{15}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse C : $\dfrac{1}{2}\phantom{\dfrac{1^2}{2_4}}$
Réponse D : Aucune des affirmations précédentes n’est juste.

$\quad$